Lösbarkeit Gleichungssystem < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (1)
[mm] \vmat{ a1 & b1 & =c1\\ a2 & b2 & =c2 }
[/mm]
Zeigen Sie, dass ein solches Gleichungssystem nur dann eine Lösung besitzt, falls gilt:
a1*b2-a2*b1 [mm] \not= [/mm] 0
Leiten sie für diesen allgemeinen Fall eine Lösungsformel her. |
Mein erster Gedanke um dies zu zeigen geht in Richtung Matrizenrechnen.
Sprich es soll gezeigt werden, dass das Gleichungssystem für den Fall, dass die Determinante = 0 nicht eindeutig lösbar ist (es sei die Nebendeterminate ergibt einen Sonderfall).
zusätzlich (laut Lehrer) darf ich a1 [mm] \not= [/mm] 0 annehmen.
Nun fehlt mir aber irgendwie der Wink in die richtige Richtung, wie ich das verlangte zeigen soll.
Betrachte ich die Matrix kann ich mit
a1*b2-a2*b1 die Determinante bestimmen, nur was soll ich jetzt tun?
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> (1)
> [mm]\vmat{ a1 & b1 & =c1\\
a2 & b2 & =c2 }[/mm]
>
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> Zeigen Sie, dass ein solches Gleichungssystem nur dann eine
> Lösung besitzt, falls gilt:
>
> a1*b2-a2*b1 [mm]\not=[/mm] 0
Hallo,
ich vermute, Du sollst etwas anderes zeigen:
daß das Gleichungssystem genau dann eine eindeutige (!) Lösung besitzt,wenn die Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist.
>
> Leiten sie für diesen allgemeinen Fall eine Lösungsformel
> her.
> Mein erster Gedanke um dies zu zeigen geht in Richtung
> Matrizenrechnen.
Ich weiß ja nun nicht, was in der Schule so alles dran war.
Zwei Möglichkeiten hätte ich vorzuschlagen:
1. Klamüsere aus, wie die inverse Matrix aussieht und multipliziere diese dann von links an die Gleichung.
2. Da Du neben det=0 auch [mm] a_1\not=0 [/mm] voraussetzen darfst, kannst Du die erste Zeile durch [mm] a_1 [/mm] dividieren. Löse jetzt mal das Gleichungssystem, z.B. mit Gauß.
Gruß v. Angela
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