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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Lösbarkeit des GLS
Lösbarkeit des GLS < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösbarkeit des GLS: mit Parameter "k"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 So 05.10.2008
Autor: RuffY

Aufgabe
Für welche k ist

[mm]2x-3y+z=11[/mm]
[mm]x+4y-3z=-16[/mm]
[mm]3x+y-2z=k[/mm]

lösbar und wie lautet in diesem Fall die allg. Lösung? Mache eine Aussage über die Dimension des Lösungsraumes!

Hallo,

zur Klausurvorbereitung habe ich oben stehende Aufgabe und nach elementaren Gauss-Umformungen für k= -5 heraus.
Ist dieses Ergebnis richtig, bzw. was muss ich noch unternehmen um diese Aufg. der Fragestellung entsprechen zu lösen?

MfG

Basti

        
Bezug
Lösbarkeit des GLS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 So 05.10.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Sebastian,

> Für welche k ist
>  
> [mm]2x-3y+z=11[/mm]
>  [mm]x+4y-3z=-16[/mm]
>  [mm]3x+y-2z=k[/mm]
>  
> lösbar und wie lautet in diesem Fall die allg. Lösung?
> Mache eine Aussage über die Dimension des Lösungsraumes!
>  Hallo,
>  
> zur Klausurvorbereitung habe ich oben stehende Aufgabe und
> nach elementaren Gauss-Umformungen für k= -5 heraus. [ok]
> Ist dieses Ergebnis richtig,

Ja, denn nur im Falle $k=-5$ ist $rg(A)=rg(A|b)$, das LGS also lösbar

> bzw. was muss ich noch
> unternehmen um diese Aufg. der Fragestellung entsprechen zu
> lösen?

Na, etwas über die Dimension des Lösungsraumes sagen ...

Mit $k=-5$ hast du eine Nullzeile, $rg(A|b)=rg(A)=2$, also ist die Dimension des (affinen) Lösungsraumes 3-2=1 (du hast 1 freie Variable)

>  
> MfG
>  
> Basti


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Lösbarkeit des GLS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 So 05.10.2008
Autor: RuffY

Aufgabe
Für welche t gilt:
[mm] \vmat{ 2-t & 1 & -1 \\ 1 & 1-2 & 0 \\ -1 & 0 & 1-t }=0 [/mm]

Vorgehen: Wende Laplace'schen Entwicklungssatz an!


Hallo Schachuzipus und Andere,

zu der Aufgabe oben, ist nun alles klar!
Aber die neue Aufgabe birgt für mich noch einige Schwierigkeiten...

Ich habe nach Laplace nach der 2. Zeile entwickelt, da dort eine 0 steht und so der letzte Term 0 wird:

[mm] 1*\vmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1-t }+(1-t)*\vmat{ 2-t & -1 \\ -1 & 1-t } [/mm]

[mm] =t^{3}-3t^{2}+5t-2 [/mm]

ich glaube nicht, dass das so richtig ist, weil ich einen reellen Wert sowie 2 komplexe Werte rausbekomme :-(

Kannst du/ ihr mir sagen, wo ich den Fehler gemacht habe...? Konnte ihn leider nach langem Suchen nicht finden!

MfG

Basti



Bezug
                        
Bezug
Lösbarkeit des GLS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 So 05.10.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Sebastian,

> Für welche t gilt:
>  [mm]\vmat{ 2-t & 1 & -1 \\ 1 & 1-\red{t} & 0 \\ -1 & 0 & 1-t }=0[/mm]
>  
> Vorgehen: Wende Laplace'schen Entwicklungssatz an!
>  
>
> Hallo Schachuzipus und Andere,
>  
> zu der Aufgabe oben, ist nun alles klar!
>  Aber die neue Aufgabe birgt für mich noch einige
> Schwierigkeiten...
>  
> Ich habe nach Laplace nach der 2. Zeile entwickelt, da dort
> eine 0 steht und so der letzte Term 0 wird:
>  
> [mm]1*\vmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1-t }+(1-t)*\vmat{ 2-t & -1 \\ -1 & 1-t }[/mm]
>  
> [mm]=t^{3}-3t^{2}+5t-2[/mm]
>  
> ich glaube nicht, dass das so richtig ist, weil ich einen
> reellen Wert sowie 2 komplexe Werte rausbekomme :-(
>  
> Kannst du/ ihr mir sagen, wo ich den Fehler gemacht
> habe...?

Die Entwicklung nach Laplace stimmt nicht ganz, du hast die Vorzeichen noicht bedacht.

Es sollte korrekt lauten:  [mm] $\red{-1}\cdot{}\vmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1-t }+(1-t)\cdot{}\vmat{ 2-t & -1 \\ -1 & 1-t }$ [/mm]

Dann kommt auch ein "nettes" Polynom mit 3 "schönen" reellen NSTen heraus ...


> Konnte ihn leider nach langem Suchen nicht
> finden!

Denke immer an das Schachbrettmuster der Vorzeichenverteilung bei Laplace:

[mm] $\vmat{+&-&+&-&...&+&-\\-&+&-&+&...&-&+\\\vdots{}&\vdots{}&\ddots{}&\ddots&...&\vdots{}&\vdots{}\\+&-&+&-&...&+&-\\-&+&-&+&...&-&+}$ [/mm]

>  
> MfG
>  
> Basti


LG

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Lösbarkeit des GLS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 So 05.10.2008
Autor: RuffY

...ich habe (zum Glück!) dank dir den Fehler in einigen Berechnungen gefunden, bin immer erst nach LaPlace vorgegangen, hatte immer das falsche Ergebnis raus, und nachdem ich die selbe Aufgabe nach Sarrus berechnet habe das Richtige... Dankeschön!

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