Lösbarkeit einer Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Do 30.08.2012 | | Autor: | mariluz |
| Aufgabe | Sei p>2 prim, [mm] q=p^{\alpha}, (\alpha\ge [/mm] 1) und [mm] a\in \IZ [/mm] mit (a,p)=1. Sei n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] n|\phi(q). [/mm] Man zeige, dass die Kongruenz [mm] x^{n} \equiv [/mm] a (mod q) genau dann lösbar ist, wenn
[mm] a^{\bruch{\phi(n)}{n}} \equiv [/mm] 1 (mod q)
gilt. |
Ich habe versucht anhand Folgendes, es zu zeigen aber komme nicht weiter:
1) p prim, deswegen [mm] \phi(q)= p^{\alpha-1} [/mm] (p-1)
2) Es gilt: [mm] a^{k} \equiv [/mm] 1(mod m) [mm] \gdw k\equiv [/mm] 0 (f) (insbesondere gilt f| [mm] \phi(m))
[/mm]
(und wollte dann zeigen, dass die Gleichung für x=a lösbar ist.)
Könnte jemand mir ein Tipp geben, damit ich mit der Aufgabe weiter komme?
Vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Do 30.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, ich hab mir gerade versucht, das an einem Beispiel irgendwie klar zu machen, allerdings hab ich da folgendes raus:
Setzt man p = 7 und [mm] \alpha [/mm] = 1, dann ist p = q. Ist a = 2, dann ist ggt(2,7)=1. Setze n=2, dann gilt [mm] 2|\phi(7)=6, [/mm] dann ist für x = 4 die Kongruenz: [mm] x^2 \equiv [/mm] 2 mod 7 erfüllt . Es gilt aber [mm] 2^{\frac{\phi(2)}{2}}= 2^{\frac{1}{2}}\not\equiv [/mm] 1 mod 7.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Do 30.08.2012 | | Autor: | mariluz |
Hallo!
ich glaube mit [mm] \bruch{\phi(n)}{n} [/mm] ist der Legendre-Symbol gemeint oder so, kann das sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Do 30.08.2012 | | Autor: | mariluz |
übrigens, vielen Dank für die schnelle Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Do 30.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, das wirds sein.. 
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Do 30.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo,
für ein Legendre-Symbol wäre es ein bisschen komisch notiert, aber immerhin mag es sein.
Grammatisch gesehen sind Symbole allerdings neutrisch: das Symbol, Legendre hin oder her...
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Do 30.08.2012 | | Autor: | hippias |
Es muss natuerlich [mm] $\frac{\phi(q)}{n}$ [/mm] statt [mm] $\frac{\phi(n)}{n}$ [/mm] im Exponenten heissen. Die Implikation [mm] $a\equiv_{q} x^{n}\Rightarrow a^{\frac{\phi(q)}{n}}\equiv_{q} [/mm] 1$ sollte mit dem Satz von Fermat machbar sein. Fuer die Umkehrung ist es hilfreich zu wissen, dass die Einheitengruppe von [mm] $\IZ_{q}$ [/mm] bei den gemachten Voraussetzungen zyklisch ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Fr 31.08.2012 | | Autor: | mariluz |
Vielen vielen Dank für deine Hilfe!!!
Mit [mm] \bruch{\phi(q)}{n} [/mm] verstehe ich die Aufgabe.
Grüsse!
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