Lösbarkeit von LGS Beweis < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Di 13.11.2012 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass ein LGS der Form:
[mm] a_{11}+a_{12}=b_{1}
[/mm]
[mm] a_{21}+a_{22}=b_{2}
[/mm]
genau dann eindeutig lösbar ist (d.h. genau eine Lösung besitzt), wenn [mm] a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\not=0 [/mm] gilt. |
Hallo ich muss oben beschriebene Aufgabe lösen und habe folgendes Ansatz gemacht:
[mm] \pmat{a_{11} & a_{12} | b_1 \\a_{21} & a_{22} | b_2} [/mm] (ich habe keine Ahnung wie ich den langen Strich vor den b's machen kann. Dann forme ich, dass um:
[mm] \pmat{a_{11} & a_{12} | b_1 \\0 & a_{11}a_{22} | b_2a_{11}} [/mm] und jetzt nochmal ausgehend von Ausgangsgleichung:
[mm] \pmat{a_{21} & a_{22} | b_2 \\0 & -a_{12}a_{21} | -b_1a_{21}}
[/mm]
Und wenn ich mir das angucke dann steht jeweils in der zweiten Zeile das was ich suche nur eben in zwei teilen. Ich könnte argumentieren, dass wenn die letzte Zeile eine 0 Zeile oder Widerspruchszeile ist, dann hat die Gleichung keine Eindeutige Lösung und Wenn die beiden Werte zusammenaddiert gleich Null sind, dann würde rauskommen, dass beide Lösungen gleich sind bzw. die Koeffizienten gleich sind und das LGS hat den Rang 1. Macht diese Argumentation irgendwie Sinn oder mache ich da etwas falsch? Ich würde mich über Fehlerkorrektur und Verbesserungsvorschläge/tipps freuen.
Mit Freundlichen Grüßen
P.S. Wie macht man in einer Matriz diesen Strich der die Einfache von der Erweiterten Koeefizientenmatrix trennt?
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Hallo Arkathor,
zunächst einmal lässt sich sagen, dass die Aufgabenstellung schon fehlerhaft ist, da sie keine Variablen beinhaltet.
Ich gehe davon aus, dass das LGS heißt:
(I) [mm] a_{11}x [/mm] + [mm] a_{12}y [/mm] = [mm] b_{1}
[/mm]
(II) [mm] a_{12}x [/mm] + [mm] a_{22}y [/mm] = [mm] b_{2}
[/mm]
> folgendes Ansatz gemacht:
> [mm]\pmat{a_{11} & a_{12} | b_1 \\a_{21} & a_{22} | b_2}[/mm]
> [mm]\pmat{a_{11} & a_{12} | b_1 \\0 & a_{11}a_{22} | b_2a_{11}}[/mm]
Deine Umformungen sind falsch, (du multipliziert die zweite Zeile mit [mm] a_{11}??) [/mm] denn [mm] a_{11} [/mm] * [mm] a_{21} \not= [/mm] 0
Ich präsentier dir somit meinen Ansatz:
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} &| b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & | b_{2} } [/mm]
Umformung: Zweite Zeile - [mm] \bruch{a_{21}}{a_{11}} [/mm] * erste Zeile
--> [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} &| b_{1}\\ a_{21} - \bruch{a_{21}}{a_{11}} * a_{11} & a_{22}- \bruch{a_{21}}{a_{11}} * a_{12} & | b_{2}- \bruch{a_{21}}{a_{11}} * b_{1} }
[/mm]
--> [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} &| b_{1}\\ 0 & a_{22}- \bruch{a_{21}}{a_{11}} * a_{12} & | b_{2}- \bruch{a_{21}}{a_{11}} * b_{1} }
[/mm]
Nun definiere ich:
[mm] \delta(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}):= a_{11} [/mm] * [mm] a_{22} [/mm] - [mm] a_{12}*a_{21}
[/mm]
Laut der zweiten Zeile in der umgeformten Matrix gilt:
[mm] a_{22}- \bruch{a_{21}}{a_{11}} [/mm] * [mm] a_{12} [/mm] * y [mm] =b_{2}- \bruch{a_{21}}{a_{11}} [/mm] * [mm] b_{1} [/mm]
Erweitere diese Gleichung mit [mm] a_{11} [/mm] und du erhälst:
[mm] (a_{11}* a_{22} [/mm] - [mm] a_{12} [/mm] * [mm] a_{21}) [/mm] *y = [mm] b_{2} [/mm] * [mm] a_{11} [/mm] - [mm] a_{21} [/mm] * [mm] b_{1}
[/mm]
was ja dasselbe ist wie:
[mm] \delta(a_{11},a_{12},a_{21}, a_{22}) [/mm] *y = [mm] \delta(a_{11},a_{21},b_{1},b_{2})
[/mm]
--> Wenn y eindeutig sein sollen (eindeutige Lösung) darf somit [mm] \delta(a_{11},a_{12},a_{21}, a_{22}) [/mm] nicht 0 sein.
Nun mache das ganze analog für x. :)
Viele Grüße petapahn
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