Lösen der DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:12 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Cyantific |
| Aufgabe | Berechnen Sie für folgende DLG's möglichs allgemeine Lösungen.
a) y'' + 6y' + 10y = x |
Hab zu dieser Aufgabe 3 Lösungen und hätte ganz gern gewusst welche davon stimmt.
Allgemein: [mm] y_{g} [/mm] = [mm] y_{h} [/mm] + [mm] y_{p} [/mm]
Lösung 1 (meine):
[mm] y_{p}=x/10
[/mm]
[mm] y_{h}= e^{-3x} [/mm] * cos(x) * c
Lösung 2 (Dozent):
[mm] y_{p}=x/19-6/100
[/mm]
[mm] y_{h}= c_{1}*e^{-3x} [/mm] * cos(x) + [mm] c_{2}*e [/mm] -3x*sin(x)
Lösung 3 (Wolfram Alpha):
--> [mm] c_{1}*e^{-3x}*sin(x) [/mm] + [mm] c_{2}*e^{-3x}*cos(x) [/mm] + (5x-3)/50
Danke schonmal im Voraus!
|
|
| |
|
Hallo,
> Berechnen Sie für folgende DLG's möglichs allgemeine
> Lösungen.
>
> a) y'' + 6y' + 10y = x
> Hab zu dieser Aufgabe 3 Lösungen und hätte ganz gern
> gewusst welche davon stimmt.
>
> Allgemein: [mm]y_{g}[/mm] = [mm]y_{h}[/mm] + [mm]y_{p}[/mm]
>
>
> Lösung 1 (meine):
>
> [mm]y_{p}=x/10[/mm]
>
> [mm]y_{h}= e^{-3x}[/mm] * cos(x) * c
>
>
> Lösung 2 (Dozent):
>
> [mm]y_{p}=x/19-6/100[/mm]
>
> [mm]y_{h}= c_{1}*e^{-3x}[/mm] * cos(x) + [mm]c_{2}*e[/mm] -3x*sin(x)
>
>
> Lösung 3 (Wolfram Alpha):
>
> --> [mm]c_{1}*e^{-3x}*sin(x)[/mm] + [mm]c_{2}*e^{-3x}*cos(x)[/mm] + (5x-3)/50
Im Zweifel rechne der Computer richtig.
Rechne doch deine Version mal vor.
Wozu sollen wir das denn nochmal nachrechnen - all dieser Aufwand.
Besser deine Rechnung kontrollieren und schauen, ob es passt oder ob ein Fehler drin ist.
Dann kann man da ansetzen.
Also zeige mal her, was du so gerechnet hast ...
>
>
>
> Danke schonmal im Voraus!
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ok, na dann mal los:
y'' + 6y' +10y = x
also [mm] y_{p} [/mm] = x/10
und [mm] y_{h} [/mm] = [mm] c_{1,2}e^{k1,2*x}
[/mm]
mit [mm] k_{1,2}: [/mm] -6/2 [mm] \pm \wurzel{9-10}
[/mm]
--> [mm] k_{1,2} [/mm] = -3 [mm] \pm [/mm] i
also:
--> [mm] c_{1}*e^{(-3+i)x} [/mm] + [mm] c_{2}*e^{(-3-i)x}
[/mm]
--> [mm] e^{-3x}*(c_{1}*e^{ix} [/mm] + [mm] c_{2}*e^{-ix})
[/mm]
--> [mm] e^{-3x}*(c_{1}*(cos(x)+i*sin(x)) [/mm] + [mm] c_{2}*(cos(x)-i*sin(x))
[/mm]
--> [mm] c_{1} =c_{2} [/mm] = c/2
--> [mm] e^{-3x} [/mm] *cos(x) *c + x/10
In beiden anderen Lösungen kommt noch sin(x) vor, der kürzt sich jedoch weg oder?
Ist die Rechnung korrekt?
|
|
|
| |
|
Vielen Dank erstmal für die Antworten!
Aber wie lautet dieses reele Fundamentalsystem?
Wie komme ich von meinem Ausgangspunkt: [mm] e^{-3x}*(c_{1}*(cos(x)+i*sin(x)) [/mm] + [mm] c_{2}*(cos(x)-i*sin(x))) [/mm] darauf?
Was hab ich dann berechnet, in meinen Unterlagen steht was von [mm] c_{1} [/mm] = [mm] c_{2} [/mm] wählen......
Gruss
|
|
|
| |
|
Hallo Cyantific,
> Vielen Dank erstmal für die Antworten!
>
> Aber wie lautet dieses reele Fundamentalsystem?
>
> Wie komme ich von meinem Ausgangspunkt:
> [mm]e^{-3x}*(c_{1}*(cos(x)+i*sin(x))[/mm] + [mm]c_{2}*(cos(x)-i*sin(x)))[/mm]
> darauf?
>
> Was hab ich dann berechnet, in meinen Unterlagen steht was
Das sind dann die komplexen Lösungen dee homogenen DGL.
> von [mm]c_{1}[/mm] = [mm]c_{2}[/mm] wählen......
Das ist nicht ganz richtig.
Richtig muss es lauten: [mm]c_{1}=\overline{c_{2}}[/mm]
([mm]c_{1}[/mm] wird gleich dem konjugiert komplexen von [mm]c_{2}[/mm] gesetzt)
>
>
> Gruss
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo,
das hab ich schon verstanden, dass das die komplexen Lösungen sind.
1. Wie komm ich aber auf dieses reelle Fundamentalsystem?
2. Und wie wende ich diesen Koeffizientenvergleich an?
(Ich denk, ich bin richtiger Annahme, wenn ich a und b durch 2 Gleichungssysteme bestimmen muss...)
Gruss
|
|
|
| |
|
Hallo Cyantific,
> Hallo,
>
> das hab ich schon verstanden, dass das die komplexen
> Lösungen sind.
>
> 1. Wie komm ich aber auf dieses reelle Fundamentalsystem?
Durch geeigente Wahl der Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm]
Hier kannst Du setzen: [mm]c_{1}=a-b*i, \ c_{2}=a+b*i, \ a.b \in \IR[/mm]
Und dies dann in die komplexe Lösungen einsetzen.
>
> 2. Und wie wende ich diesen Koeffizientenvergleich an?
> (Ich denk, ich bin richtiger Annahme, wenn ich a und b
> durch 2 Gleichungssysteme bestimmen muss...)
>
Es gibt 2 Gleichungen, aus denen a und b bestimmt werden sollen.
Diese 2 Gleichungen stellen ein Gleichungssysten dar.
>
> Gruss
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ahaaaaa!
Habe das jetzt ausgerechnet und ich komme auf [mm] e^{-3x}*(2a*cos(x) [/mm] + 2b*sin(x)).
Kann ich dann, weil ja die Lösung [mm] c_{1}*e^{-3x}*sin(x) [/mm] + [mm] c_{2}*e^{-3x}*cos(x) [/mm] ist, sagen, dass 2b mein [mm] c_{1} [/mm] und 2a mein [mm] c_{2} [/mm] ist? Seh ich das richtig?
Was mich an der ganzen Sache so verwirrt ist, dass wir in der Vorlesung folgendes aufgeschrieben haben:
-->y = [mm] e^{\alpha}*(c_{1}*(cos(\beta*x)+i*sin(\beta*x) [/mm] + [mm] c_{2}*(cos(\beta*x)-i*sin(\beta*x)
[/mm]
--> [mm] c_{1}=c_{2} [/mm] =c/2
--> dann streicht er die sinuse raus und kommt auf
--> y = [mm] c*e^{\alpha}*cos(beta*x)
[/mm]
Wenn ich a+bi und a-bi als c's nehme bleibt wie in der Lösung der sinus erhalten, gehe ich aber nach dem VORLESUNGSVERfAHREN fällt bei mir der sinus weg und ich komme, auf das von mir zuerst angegebene Ergebnis.
Wieso?
Kann mir jemand die 2 Gleichungen angeben? - werd aus Schachuzipus' Gleichung nicht schlau.
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Do 23.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu den komplexen bzw. reellen Losungen
1. eine homogene Dgl 2 ter Ordnung hat immer 2 linear unabhängige Lösungen 2. jede linearkombination von 2 solchen lösungen ist wieder eine Lösung Überleg warum!
3. die vereinfachte Rechnung mit dem char. polynom ergibt komplexe Lösungen, da die Dgl meist aus der Praxis stammt, sind diese uninteressant, man nimmt also linearkombinationen davon die reell sind.
natürlich muss man dazu aus den 2 Basisvektoren [mm] e1=e^{-i\lambda*x} [/mm] und [mm] e2=e^{i\lambda*x} [/mm] wieder 2 linear unabh. reelle b1 und b2 machen
das erreichst du mit b1=e1+e2 und b2 =i*(e2-e1).
4. Natürlich ist y = $ [mm] c\cdot{}e^{\alpha*x}\cdot{}cos(beta\cdot{}x) [/mm] $ eine lösung der Dgl aber wenn du etwa das AWP y(0)=0 [mm] y'(0)=v_0 [/mm] hast kannst du das mit dieser lösung nicht lösen.
wenn du nur y = $ [mm] c\cdot{}e^{\alpha*x}\cdot{}sin(beta\cdot{}x) [/mm] $
nimmst kannst du z, bsp das AWP y(0)=a, y'(0)=0 nicht lösen usw.
Das Vorgehen in der Vorlesg:
y = $ [mm] e^{\alpha*x}\cdot{}(c_{1}\cdot{}(cos(\beta\cdot{}x)+i\cdot{}sin(\beta\cdot{}x) [/mm] $ + $ [mm] c_{2}\cdot{}(cos(\beta\cdot{}x)-i\cdot{}sin(\beta\cdot{}x) [/mm] $
--> $ [mm] c_{1}=c_{2} [/mm] $ =c/2
--> dann streicht er die sinuse raus und kommt auf
--> y = $ [mm] c\cdot{}e^{\alpha*x}\cdot{}cos(beta\cdot{}x) [/mm] $
ist nicht falsch, es erzeugt ja EINE reelle Lösung
aber mit c1+c2=0 fällt der cos weg und es bleibt isin also wählst du c=i*(c1-c2)/2 und hast nur den reellen sin und damit eine 2te Fundamentallösung.
(solange man nicht komplex rechnen kann oder konnt musste man mit dem ansatz [mm] y=e^{alpha*t}*(acos(\beta*t)+c*sin(\beta*t) [/mm] in die dgl gehen und /alpha und [mm] \beta [/mm] bestimmen, das geht auch ist aber sehr viel rechenaufwendiger)
Welche 2 Gleichungen meinst du mit der frage am Ende?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Danke erstmal.
Die 2 Gleichungen für die partikuläre Lösung.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Danke erstmal.
>
> Die 2 Gleichungen für die partikuläre Lösung.
Nun, die Störfunktion auf der rechten Seite ist ein Polynom ersten Grades:
[mm]g(x)=x[/mm]
Dazu wählt man als Ansatz für die part. Lösung ein Polynom ersten Grades:
[mm]y_p(x)=ax+b[/mm]
Damit geht man in die DGL und berechnet [mm]y_p''+6y_p'+10y_p[/mm]
Das gibt: $0+6a+10(ax+b)$
Klar soweit?
Das vereinfacht sich zu [mm]\red{10a}x+\blue{(6a+10b)}[/mm]
Rechterhand steht [mm]g(x)=x=\red{1}\cdot{}x+\blue{0}[/mm]
Ein Koeffizientenvgl. liefert die beiden Gleichungen
1) [mm]\red{10a=1}[/mm]
2) [mm]\blue{6a+10b=0}[/mm]
Damit kann man [mm]a,b[/mm] bestimmen und hat so [mm]y_p[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Mir ist manches immernoch nicht ganz klar, deshalb frag ich frag jetzt einfach nochmal ganz direkt:
Ich komme von der DLG y''+6y' +10y = x
Bis zum Schritt: [mm] e^{-3x}*(c_{1}*(cos(x) [/mm] +i*sin(x)) [mm] +c_{2}*(cos(x)-i*sin(x)))
[/mm]
Die c's sind frei wählbar, dass ist mir bewusst. Ich hab jetzt 2 Möglichkeiten wie ich sehe: V1) [mm] c_{1} [/mm] = [mm] c_{2} [/mm] =c/2 V2) [mm] c_{1} [/mm] = a+b*i [mm] c_{2}= [/mm] a-b*i.
V1) führt mich zu der Lösung: [mm] e^{-3x}*c*cos(x)
[/mm]
V2) führt mich zu der [mm] Lösung:e^{-3x}*(2b*sin(x) [/mm] + 2a*cos(x))
Frage:
1. Sind beide Lösungen richtig?
2. Wie unterscheiden sie sich?
3. Kann ich dann einfach sagen das bei der Lösung von V2) [mm] 2b=c_{1} [/mm] ist und [mm] 2a=c_{2} [/mm] oder wie komm ich sonst auf die Lösung von [mm] c_{1}*e^{-3x}*sin(x) [/mm] + [mm] c_{2}*e^{-3x}*cos(x)?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Cyantific,
> Mir ist manches immernoch nicht ganz klar, deshalb frag ich
> frag jetzt einfach nochmal ganz direkt:
>
> Ich komme von der DLG y''+6y' +10y = x
>
> Bis zum Schritt: [mm]e^{-3x}*(c_{1}*(cos(x)[/mm] +i*sin(x))
> [mm]+c_{2}*(cos(x)-i*sin(x)))[/mm]
>
> Die c's sind frei wählbar, dass ist mir bewusst. Ich hab
> jetzt 2 Möglichkeiten wie ich sehe: V1) [mm]c_{1}[/mm] = [mm]c_{2}[/mm] =c/2
> V2) [mm]c_{1}[/mm] = a+b*i [mm]c_{2}=[/mm] a-b*i.
>
> V1) führt mich zu der Lösung: [mm]e^{-3x}*c*cos(x)[/mm]
> V2) führt mich zu der [mm]Lösung:e^{-3x}*(2b*sin(x)[/mm] +
> 2a*cos(x))
>
> Frage:
>
> 1. Sind beide Lösungen richtig?
Ja.
> 2. Wie unterscheiden sie sich?
V1) stellt nur eine reelle Lösung der homogenen DGL dar,
während V2) alle zwei Lösungen darstellt.
> 3. Kann ich dann einfach sagen das bei der Lösung von V2)
> [mm]2b=c_{1}[/mm] ist und [mm]2a=c_{2}[/mm] oder wie komm ich sonst auf die
> Lösung von [mm]c_{1}*e^{-3x}*sin(x)[/mm] + [mm]c_{2}*e^{-3x}*cos(x)?[/mm]
>
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Do 23.06.2011 | | Autor: | Cyantific |
Nun sind alle meine Fragen beantwortet.
Recht herzlichen dank und großes Lob an euch (Schachuzipus,Mathepower, leduard)!
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
