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| Aufgabe | Berechnen Sie für die folgenden Differentialgleichungen möglichst allgemeine Lösungen.
[mm] y'=y^2/x^2 [/mm] |
Der vorgegebene Lösungsweg lautet:
[mm] y'=y^2/x^2; [/mm] subst. z=y/x --> [mm] y'=z^2; [/mm] z=y/x, also y'=z'(x)+z;
dann gleichsetzen [mm] z'(x)+z=z^2 [/mm] ergibt [mm] z'(x)=z^2-z
[/mm]
ab hier ist glaub ich die Lösung falsch. Dann integrieren [mm] \integral dz/(z+z^2) [/mm] und
[mm] \integral [/mm] x*dx; [mm] ln(z)-ln(z+1)=1/2*x^2 [/mm] + c --> [mm] z=(e^{1/2x^2+c})/(1-e^{1/2x^2+c}) [/mm] --> y= [mm] x*(e^{1/2x^2+c})/(1-e^{1/2x^2+c})
[/mm]
So nun meine Fragen:
- müsste das nicht die Integration von [mm] dz/(z^2-z) [/mm] und 1*dx sein?
- wie kommt man auf die Stammfunktion von ln(z)-ln(z+1)?
Danke im Voraus!
Gruss
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> Berechnen Sie für die folgenden Differentialgleichungen
> möglichst allgemeine Lösungen.
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> [mm]y'=y^2/x^2[/mm]
> Der vorgegebene Lösungsweg lautet:
>
> [mm]y'=y^2/x^2;[/mm] subst. z=y/x --> [mm]y'=z^2;[/mm] z=y/x, also
> y'=z'(x)+z;
hier müsste $ y'=z'*x+z $ stehen
>
> dann gleichsetzen [mm]z'(x)+z=z^2[/mm] ergibt [mm]z'(x)=z^2-z[/mm]
>
dann ergibt sich hier auch korrekterweise
[mm] \frac{dz}{z^2-z}=\frac{dx}{x}
[/mm]
was am ende auf die richtige lösung von
[mm] y=\[-\frac{x}{c\,x-1}\] [/mm] führt
der rest ist sehr verworren, woher stammt diese lösung denn?
> ab hier ist glaub ich die Lösung falsch. Dann integrieren
> [mm]\integral dz/(z+z^2)[/mm] und
> [mm]\integral[/mm] x*dx; [mm]ln(z)-ln(z+1)=1/2*x^2[/mm] + c -->
> [mm]z=(e^{1/2x^2+c})/(1-e^{1/2x^2+c})[/mm] --> y=
> [mm]x*(e^{1/2x^2+c})/(1-e^{1/2x^2+c})[/mm]
>
> So nun meine Fragen:
>
> - müsste das nicht die Integration von [mm]dz/(z^2-z)[/mm] und 1*dx
> sein?
> - wie kommt man auf die Stammfunktion von ln(z)-ln(z+1)?
diese erhält man durch die pbz von [mm] \frac{1}{z+z^2}
[/mm]
>
> Danke im Voraus!
>
> Gruss
gruß tee
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Die Lösungen stammen vom Aufgabenblatt meines Profs.
So ok also: [mm] dz/z^2-z [/mm] = dx/x
- wieso 1/x? Von woher kommt denn das x immer?
- was ist pbz?
- Wie löse ich jetzt das Integral? (Ist es ln(z)-ln(z-1))?
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> Die Lösungen stammen vom Aufgabenblatt meines Profs.
>
> So ok also: [mm]dz/z^2-z[/mm] = dx/x
>
> - wieso 1/x? Von woher kommt denn das x immer?
> - was ist pbz?
> - Wie löse ich jetzt das Integral? (Ist es ln(z)-ln(z-1))?
es war doch [mm] y'=y^2/x^2
[/mm]
dann kam die (wenn auch unnötige) substitution $ z=y/x $
das stellt man nach y um und leitet ab:
$ y=z*x [mm] \Rightarrow [/mm] y'=z'*x+z $ (implizite differentiation is das stichwort). das letzte ergebnis setzt man auf die linke seite statt y' ein, und auf die rechte wird die substitution angewandt
aus [mm] y'=y^2/x^2 [/mm] wird nun
$ [mm] z'*x+z=z^2 [/mm] $
nun wird die trennung der variablen durchgeführt (mit z'=dz/dx)
[mm] \frac{dz}{dx}*x=z^2-z
[/mm]
[mm] \Rightarrow\frac{dz}{z^2-z}=\frac{dx}{x} [/mm] dies wird nun von dir integriert mit hilfe der Partialbruchzerlegung (PBZ)
gruß tee
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Ok jetzt weiß ich woher das x kommt.
Könntest du das mal vorrechnen? Weiß nämlich nicht wie ich das lösen soll?!
Danke.
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> Ok jetzt weiß ich woher das x kommt.
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> Könntest du das mal vorrechnen? Weiß nämlich nicht wie
> ich das lösen soll?!
>
> Danke.
bevor man wild rumintegriert, ist die kenntnis der partialbruchzerlegung eine grundlage, die du mit sicherheit schon hattest.
aber vorrechnen werde ich nicht.
hier ein ansatz, damit du dich erinnerst?!
[mm] \frac{1}{z^2-z}=\frac{1}{z*(z-1)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-1} [/mm] und nun die unbekannten bestimmen
gruß tee
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