Lösen eines Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Do 05.05.2011 | | Autor: | NoAim |
| Aufgabe | Geben Sie die die Lösung y (x) des Anfangswertproblems explizit an und bestimmen Sie das maximale Definitionsintervall für die Lösung.
y'(x) = [mm] \bruch{x^{2}}{y(x)} [/mm] |
Meine Idee:
[mm] \bruch{dy/dx} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{y(x)}
[/mm]
= y(x) dy = [mm] x^{2} [/mm] dx
und nun? Integrieren?
wenn ja - wie/nach welchen Grenzen?
Mit freundlichen Grüßen
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Hallo NoAim,
> Geben Sie die die Lösung y (x) des Anfangswertproblems
Für ein Anfangswertproblem muß eine Anfangsbedingung
vorgegeben sein.
> explizit an und bestimmen Sie das maximale
> Definitionsintervall für die Lösung.
>
> y'(x) = [mm]\bruch{x^{2}}{y(x)}[/mm]
> Meine Idee:
>
> [mm]\bruch{dy/dx}[/mm] = [mm]\bruch{x^{2}}{y(x)}[/mm]
>
> = y(x) dy = [mm]x^{2}[/mm] dx
>
> und nun? Integrieren?
>
> wenn ja - wie/nach welchen Grenzen?
Hier bildest Du nur Stammfunktionen zu y bzw. [mm]x^{2}[/mm]
>
> Mit freundlichen Grüßen
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Do 05.05.2011 | | Autor: | NoAim |
| Aufgabe | Anfangswert:
y(0)=1 |
Tut mir leid den anfangswert hatte ich vergessen..
Also sieht das dann folgendermaßen aus:
[mm] \bruch{1}{2} y^{2} [/mm] +C = [mm] \bruch{1}{3} x^{3} [/mm] +D ?
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Hallo,
das sieht doch schon ganz gut aus. Bedenke, dass es ausreicht, auf einer Seite eine Integrationskonstante hinzuzuaddieren. So macht man das auch, und zwar auf der rechten Seite. Das sähe dann ersteinmal so aus:
[m]1/2*y^2=1/3*x^3+C[/m]
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Do 05.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig. da man C und D zusammenfassen kann schreibt man eigentlich immer nur eine konstante. also hier [mm] y^2=2/3*x^3+C
[/mm]
C durch einsetzen des anfangswertes bestimmen.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:49 Fr 06.05.2011 | | Autor: | NoAim |
Danke an alle die mir geholfen haben :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Fr 06.05.2011 | | Autor: | NoAim |
| Aufgabe | | Lösen sie das Anfangswertproblem: y′ (x) + 2xy (x) = [mm] x^{3}, [/mm] y (1) = 1. |
Ich habe jetzt in die integrierte Gleichung den Anfangswert y(0) = 1 eingesetzt und komme auf ein C.
Bei einer anderen Aufgabe siehe oben habe ich ein Umformungsproblem.
wenn ich nun anfange umzuformen:
y'(x) = [mm] x^{3}-2xy(x)
[/mm]
nur wie forme ich jetzt weiter um? das y(x) muss ja alleine auf der anderen Seite stehen - oder?
Wenn ich jetzt x ausklammere hilft mir das auch nicht viel.
Ich verstehe das nicht :/
Bitte um hilfe x.x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Fr 06.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du löst ewrst die homogene Dgl y'+2xy=0 allgemein
Dann suchst du eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl.
a) Du weisst wie Variation der Konstanten geht
b) du rätst [mm] y=ax^2+Bx+C [/mm] setzest ein und bestimmst A,B,C durch Koeffizientenvergleich.
(was habt ihr denn bisher zu Dgl gelernt??
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Fr 06.05.2011 | | Autor: | NoAim |
erstmal vielen dank für die Antwort.
Ich bin jetzt soweit, dass ich folgendes hab:
y' + 2xy = 0
y' = -2xy
[mm] \bruch{y'}{y} [/mm] = -2x
Integriert:
ln y = [mm] e^{-x²}
[/mm]
Wenn ich jetzt den AW einsetze erhalte ich
C = 1-(1/e)
Und nun?
Ich hab schonmal was von dieser variante B gehört...nur glaube nicht ganz verstanden :/
Mit freundlichen Grüßen
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Hallo NoAim,
> erstmal vielen dank für die Antwort.
>
> Ich bin jetzt soweit, dass ich folgendes hab:
>
> y' + 2xy = 0
> y' = -2xy
>
> [mm]\bruch{y'}{y}[/mm] = -2x
>
> Integriert:
>
> ln y = [mm]e^{-x²}[/mm]
Integriert ergibt das zunächst:
[mm]\ln\left(y\right)=-x^{2}+C[/mm]
Daraus ergeben sich die Lösungen der homogenen DGL.
Wende nun z.B. ![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten an.
>
> Wenn ich jetzt den AW einsetze erhalte ich
>
> C = 1-(1/e)
>
> Und nun?
>
> Ich hab schonmal was von dieser variante B gehört...nur
> glaube nicht ganz verstanden :/
>
> Mit freundlichen Grüßen
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Fr 06.05.2011 | | Autor: | NoAim |
ach gott es ist schon spät - ich schaue es mir sofort an ^^ blöder fehler bei der integration x)
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