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Forum "Aussagenlogik" - Lösen von Logik - Gleichung
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Lösen von Logik - Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Mi 08.07.2009
Autor: JohnBoyLL

Aufgabe
(p->q) $ [mm] \wedge [/mm] $ (q->r) [mm] \Rightarrow [/mm] (p->r)

Wer kann mir diese Aufgabe lösen?
Ich hänge da schon einige Zeit dran und komm nicht weiter.

Wenn mir eine diese Aufgabe evt. mit Erklärung lösen kann, komme ich bestimmt weiter und kann mir die restlichen Aufgaben selbst erschließen und lösen, daher habe ich sie erstmal nicht hier gepostet.

Vielen Dank!

        
Bezug
Lösen von Logik - Gleichung: Edit (Korrektur)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Mi 08.07.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> (p->q) [mm]\wedge[/mm] (q->r) [mm]\Rightarrow[/mm] (p->r)
>  Wer kann mir diese Aufgabe lösen?
>  Ich hänge da schon einige Zeit dran und komm nicht
> weiter.

probiere es doch mal über eine Wahrheitstabelle, oder benutze
$$ s [mm] \rightarrow [/mm] t := [mm] \neg [/mm] s [mm] \vee [/mm] t [mm] \;\;\;\big(=(\neg [/mm] s) [mm] \vee t\big)\,.$$ [/mm]

Also
$$(p [mm] \rightarrow [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] (q [mm] \rightarrow r)=\big(\neg [/mm] p [mm] \vee q\big) \wedge \big(\neg [/mm] q [mm] \vee r\big)\,.$$ [/mm]

Das kann man (mit gewissen Rechenregeln wie $u [mm] \wedge [/mm] (v [mm] \vee [/mm] w)=(u [mm] \wedge [/mm] v) [mm] \vee [/mm] (u [mm] \wedge [/mm] w)$ etc.) umschreiben zu
[mm] $$=\Big(\big(\neg [/mm] p [mm] \vee q\big) \wedge \neg q\Big) \vee \Big(\big(\neg [/mm] p [mm] \vee q\big) \wedge r\Big)\,.$$ [/mm]

was sich wegen [mm] $\neg [/mm] q [mm] \wedge [/mm] q=0$ (bzw. [mm] $=\text{false}$) [/mm] weiter umschreiben läßt zu
[mm] $$=\big(\neg [/mm] p [mm] \wedge \neg q\big) \vee \big(\neg [/mm] p [mm] \wedge r\big) \vee \big(q \wedge r\big)=\ldots$$ [/mm]

Du musst das nun weiter umformen, bis Du zu [mm] $\neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] r$ gelangst.

Edit: Der letzte Satz ist missverständlich. Am Ende dieser Gleichungskette soll [mm] $\neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] r$ in dem Endterm "enthalten" sein.  

Anderes Beispiel, damit Du siehst, was ich meine:
$A [mm] \leftrightarrow B$ $\Rightarrow$ $A \Rightarrow B\,.$ Hier gilt $$A \leftrightarrow B=\blue{(\neg A \vee B)} \wedge (\neg B \vee A)\,,$$ die rechte Seite "enthält" daher offensichtlich $\blue{A \rightarrow B}\,.$ Wobei das Bsp. trivial ist nach Definition von $\wedge$ und $\leftrightarrow$... Gruß, Marcel [/mm]

Bezug
                
Bezug
Lösen von Logik - Gleichung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:57 Mi 08.07.2009
Autor: JohnBoyLL

Mit einer Wahrheitstabelle habe ich es soweit auch schon versucht und meiner Meinung nach hinbekommen - bin mir aber nicht sicher.

Kann man hier Wahrheitstabellen einfügen?
Dann könnte ich meine überprüfen, ob sie richtig ist.

Leider soll die Aufgabe nicht durch eine eine Wahrheitstabelle gelöst werden und deiner Rechnung kann ich nicht ganz folgen.

Wie komme ich denn im letzten Schritt zu [mm] \neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] r ??
Evt. durch eine Umformungsregel die ich noch nicht kenne?

Wäre sehr dankbar, wenn du mir da auch nochmal auf die Sprünge helfen könntest

Bezug
                        
Bezug
Lösen von Logik - Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Mi 08.07.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> Mit einer Wahrheitstabelle habe ich es soweit auch schon
> versucht und meiner Meinung nach hinbekommen - bin mir aber
> nicht sicher.
>  
> Kann man hier Wahrheitstabellen einfügen?
>  Dann könnte ich meine überprüfen, ob sie richtig ist.
>  
> Leider soll die Aufgabe nicht durch eine eine
> Wahrheitstabelle gelöst werden und deiner Rechnung kann
> ich nicht ganz folgen.
>  
> Wie komme ich denn im letzten Schritt zu [mm]\neg[/mm] p [mm]\vee[/mm] r ??

Du musst schon ein wenig selbst weiterrechnen und versuchen, darauf zu kommen. Generell bietet sich bei solchen Rechnungen an:
[mm] $\bullet$ [/mm] de Morgansche Regeln wie [mm] $\neg(a \vee b)=\neg [/mm] a [mm] \wedge \neg [/mm] b$
[mm] $\bullet$ [/mm] $a [mm] \vee [/mm] (b [mm] \wedge [/mm] c)= (a [mm] \vee [/mm] b) [mm] \wedge [/mm] (a [mm] \vee [/mm] c)$
[mm] $\bullet$ [/mm] $a [mm] \vee \neg [/mm] a=1$ (bzw. [mm] $=\text{true}$) [/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] $a [mm] \wedge \neg [/mm] a=0$ (bzw. [mm] $=\text{false}$) [/mm]

Folgerungen daraus, z.B.
$$a [mm] \wedge (\neg [/mm] a [mm] \vee [/mm] b)=(a [mm] \wedge \neg [/mm] a) [mm] \vee [/mm] (a [mm] \wedge b)=a\wedge [/mm] b$$
etc.

P.S.:
Wahrheitstabellen kannst Du durchaus einfach als Matrizen schreiben:
[mm] $$\pmat{\blue{p} & \blue{q} & \blue{r}& \substack{\blue{p \rightarrow q\\(\text{bzw. } \neg p \vee q)}} & \substack{\blue{q \rightarrow r\\(\text{bzw. } \neg q \vee r)}} & \substack{\blue{p \rightarrow r\\(\text{bzw. } \neg p \vee r)}} \\ .&.& .&.&.&.\\ .&.& .&.&.&.\\ .&.& .&.&.&.\\ }$$ [/mm]
und dann [mm] $\text{true}=\text{wahr}=1$ [/mm] und [mm] $\text{false}=\text{falsch}=0$ [/mm] für die entsprechenden Einträge benutzen.

Gruß,
Marcel

Bezug
                                
Bezug
Lösen von Logik - Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Fr 10.07.2009
Autor: JohnBoyLL

Aufgabe
[mm] \vmat{ p q r & p ->q & \wedge & q->r & \Rightarrow & p->r\\ www & w & w & w &w &w \\ wwf & w & f & f & w & f \\ wff & f & f& w & w& &f \\ fww & w & w & w & w &w \\ ffw & w & w &w & w&w \\ fwf &w & f & f &w & w \\ wfw & f & f &w & w &w \\ fff & w & w & w & w& w&} [/mm]

Wäre dann eine Tautologie, richtig?

Kannst du nochmal drüber gucken und sagen ob das soweit richtig ist und evt. nochmal beim Beweis helfen?

Besten Dank

Bezug
                                        
Bezug
Lösen von Logik - Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Sa 11.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo JohnBoyLL,

> [mm]\vmat{ p q r & p ->q & \wedge & q->r & \Rightarrow & p->r\\ www & w & w & w &w &w \\ wwf & w & f & f & w & f \\ wff & f & f& w & w& f \\ fww & w & w & w & w &w \\ ffw & w & w &w & w&w \\ fwf &w & f & f &w & w \\ wfw & f & f &w & w &w \\ fff & w & w & w & w& w&}[/mm]
>  
> Wäre dann eine Tautologie, richtig? [ok]

>  
> Kannst du nochmal drüber gucken und sagen ob das soweit
> richtig ist und evt. nochmal beim Beweis helfen?

Es ist alles richtig!

>  
> Besten Dank


LG

schachuzipus

Bezug
                                        
Bezug
Lösen von Logik - Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:06 So 12.07.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> Kannst du nochmal drüber gucken und sagen ob das soweit
> richtig ist und evt. nochmal beim Beweis helfen?

schau nochmal den korrigierten Beitrag von hier; ich hatte dich leider in die falsche Richtung gelenkt. Sorry!

Gruß,
Marcel

Bezug
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