Lösen von Ungleichungen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Do 07.05.2009 | | Autor: | frankina |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Ungleichungen:
a) [mm] \bruch{2x+3}{4-x}>3
[/mm]
b) [mm] \bruch{x-2}{3x+2}<\bruch{x+1}{3x-1}
[/mm]
c) [mm] 6x^{2}+ [/mm] 5x - 6 < 0
d) [mm] |x-3|>3\*|2x-3| [/mm] |
a) [mm] \bruch{2x+3}{4-x}>3
[/mm]
1. Fall: x [mm] \in (-\infty [/mm] ; 4) (--> (4 - x) > 0)
2. Fall: x [mm] \in [/mm] (4; [mm] \infty) [/mm] (--> (4 - x) < 0)
1.
2x + 3 < 3(4 - x)
x < 1.8
[mm] L_{1} [/mm] = [mm] (-\infty [/mm] ; 4) [mm] \cap (-\infty [/mm] ; 1.8) = [mm] (-\infty [/mm] ; 1.8)
2.
2x + 3 > 3(4 - x)
x > 1.8
[mm] L_{2} [/mm] = (4; [mm] \infty) \cap [/mm] (1.8; [mm] \infty) [/mm] = (4; [mm] \infty)
[/mm]
L = [mm] L_{1} \cup L_{2} [/mm] = [mm] (-\infty [/mm] ; 1.8) [mm] \cup [/mm] (4; [mm] \infty)
[/mm]
b) [mm] \bruch{x-2}{3x+2}<\bruch{x+1}{3x-1}
[/mm]
1. Fall: x < [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] (--> (3x+2)(3x-1) > 0)
2. Fall: [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] < x < [mm] \bruch{1}{3} [/mm] (--> (3x+2)(3x-1) < 0)
3. Fall: x > [mm] \bruch{1}{3} [/mm] (--> (3x+2)(3x-1) > 0)
1.
[mm] \bruch{x-2}{3x+2}<\bruch{x+1}{3x-1} [/mm]
(x-2)(3x-1) < (x+1)(3x+2)
-7x < 5x
-12x < 0
x > 0
[mm] L_{1} [/mm] = [mm] (-\infty; -\bruch{2}{3}) \cap [/mm] (0; [mm] \infty) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
2.
[mm] \bruch{x-2}{3x+2}<\bruch{x+1}{3x-1} [/mm]
(x-2)(3x-1) > (x+1)(3x+2)
-12x > 0
x < 0
[mm] L_{2} [/mm] = [mm] (-\bruch{2}{3}; \bruch{1}{3}) \cap (-\infty; [/mm] 0) = [mm] (-\bruch{2}{3}; [/mm] 0)
3.
[mm] \bruch{x-2}{3x+2}<\bruch{x+1}{3x-1} [/mm]
(x-2)(3x-1) < (x+1)(3x+2)
-12x < 0
x > 0
[mm] L_{3} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{3}; \infty) \cap [/mm] (0; [mm] \infty) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{3}; \infty)
[/mm]
L = [mm] L_{1} \cup L_{2} \cup L_{3}= (-\bruch{2}{3}; [/mm] 0) [mm] \cup (\bruch{1}{3}; \infty)
[/mm]
Ich würde gerne wissen, ob das soweit richtig ist.
(Abgesehen von der schreibweise der Lösungsmengen, die habe ich so von meinem Professor übernommen.)
c) [mm] 6x^{2}+ [/mm] 5x - 6 < 0
Bei der Aufgabe stehe ich auf dem Schlauch.
Man muss doch zuerst die quadratische Gleichung lösen, oder?
Aber leider komme ich mit der pq-Formel auf eine negative wurzel...
Könnte mir hier jemand beim Ansatz helfen ?
d) [mm] |x-3|>3\*|2x-3|
[/mm]
1. Fall: x [mm] \ge [/mm] 3
2. Fall: 1.5 [mm] \le [/mm] x < 3
3. Fall: x < 1.5
Ist die Fallunterscheidung so richtig ?
Bin mir unsicher wegen den zwei Beträgen.
Und wenn ja kann ich doch bei der Lösung die Beträge weglassen und einfach die Fälle berechnen, oder ?
Vielen dank an alle!
Frankina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Do 07.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Lösen Sie folgende Ungleichungen:
> a) [mm]\bruch{2x+3}{4-x}>3[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{x-2}{3x+2}<\bruch{x+1}{3x-1}[/mm]
>
> c) [mm]6x^{2}+[/mm] 5x - 6 < 0
>
> d) [mm]|x-3|>3\*|2x-3|[/mm]
>
>
>
> a) [mm]\bruch{2x+3}{4-x}>3[/mm]
>
> 1. Fall: x [mm]\in (-\infty[/mm] ; 4) (--> (4 - x) > 0)
> 2. Fall: x [mm]\in[/mm] (4; [mm]\infty)[/mm] (--> (4 - x) < 0)
>
> 1.
> 2x + 3 < 3(4 - x)
> x < 1.8
> [mm]L_{1}[/mm] = [mm](-\infty[/mm] ; 4) [mm]\cap (-\infty[/mm] ; 1.8) = [mm](-\infty[/mm] ;
> 1.8)
>
> 2.
> 2x + 3 > 3(4 - x)
> x > 1.8
> [mm]L_{2}[/mm] = (4; [mm]\infty) \cap[/mm] (1.8; [mm]\infty)[/mm] = (4; [mm]\infty)[/mm]
>
> L = [mm]L_{1} \cup L_{2}[/mm] = [mm](-\infty[/mm] ; 1.8) [mm]\cup[/mm] (4; [mm]\infty)[/mm]
Korrekt
>
>
> b) [mm]\bruch{x-2}{3x+2}<\bruch{x+1}{3x-1}[/mm]
>
> 1. Fall: x < [mm]-\bruch{2}{3}[/mm] (--> (3x+2)(3x-1) > 0)
> 2. Fall: [mm]-\bruch{2}{3}[/mm] < x < [mm]\bruch{1}{3}[/mm] (-->
> (3x+2)(3x-1) < 0)
> 3. Fall: x > [mm]\bruch{1}{3}[/mm] (--> (3x+2)(3x-1) > 0)
>
> 1.
> [mm]\bruch{x-2}{3x+2}<\bruch{x+1}{3x-1}[/mm]
> (x-2)(3x-1) < (x+1)(3x+2)
> -7x < 5x
> -12x < 0
> x > 0
> [mm]L_{1}[/mm] = [mm](-\infty; -\bruch{2}{3}) \cap[/mm] (0; [mm]\infty)[/mm] =
> [mm]\emptyset[/mm]
>
> 2.
> [mm]\bruch{x-2}{3x+2}<\bruch{x+1}{3x-1}[/mm]
> (x-2)(3x-1) > (x+1)(3x+2)
> -12x > 0
> x < 0
> [mm]L_{2}[/mm] = [mm](-\bruch{2}{3}; \bruch{1}{3}) \cap (-\infty;[/mm] 0) =
> [mm](-\bruch{2}{3};[/mm] 0)
>
> 3.
> [mm]\bruch{x-2}{3x+2}<\bruch{x+1}{3x-1}[/mm]
> (x-2)(3x-1) < (x+1)(3x+2)
> -12x < 0
> x > 0
> [mm]L_{3}[/mm] = [mm](\bruch{1}{3}; \infty) \cap[/mm] (0; [mm]\infty)[/mm] =
> [mm](\bruch{1}{3}; \infty)[/mm]
>
> L = [mm]L_{1} \cup L_{2} \cup L_{3}= (-\bruch{2}{3};[/mm] 0) [mm]\cup (\bruch{1}{3}; \infty)[/mm]
Das ist korrekt.
>
>
> Ich würde gerne wissen, ob das soweit richtig ist.
> (Abgesehen von der schreibweise der Lösungsmengen, die
> habe ich so von meinem Professor übernommen.)
>
>
> c) [mm]6x^{2}+[/mm] 5x - 6 < 0
>
> Bei der Aufgabe stehe ich auf dem Schlauch.
> Man muss doch zuerst die quadratische Gleichung lösen,
> oder?
> Aber leider komme ich mit der pq-Formel auf eine negative
> wurzel...
> Könnte mir hier jemand beim Ansatz helfen ?
[mm] 6x^{2}+5x-6=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1;2}=-\bruch{5}{12}\pm\wurzel{\bruch{169}{144}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{5}{12}\pm\bruch{13}{12}
[/mm]
Also [mm] x_{1}=-\bruch{3}{2} [/mm] und [mm] x_{2}=bruch{2}{3}
[/mm]
Somit:
[mm] 6x^{2}+5x-6<0
[/mm]
[mm] \gdw 6\left(x+\bruch{3}{2}\right)\left(x-\bruch{2}{3}\right)<0
[/mm]
>
>
> d) [mm]|x-3|>3\*|2x-3|[/mm]
>
> 1. Fall: x [mm]\ge[/mm] 3
> 2. Fall: 1.5 [mm]\le[/mm] x < 3
> 3. Fall: x < 1.5
>
> Ist die Fallunterscheidung so richtig ?
Yep.
Für x>3:
[mm] |x-3|>3\*|2x-3|
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x-3>3(2x-3)
Für 1.5 [mm] \le [/mm] x < 3
[mm] |x-3|>3\*|2x-3|
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -(x-3)>3(2x-3)
Für x<1,5:
[mm] |x-3|>3\*|2x-3|
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -(x-3)>3(-(2x-3))
> Bin mir unsicher wegen den zwei Beträgen.
> Und wenn ja kann ich doch bei der Lösung die Beträge
> weglassen und einfach die Fälle berechnen, oder ?
Fast. Du musst nur passende Minusklammern machen, das ist die Definition der Betragsfunktion
>
> Vielen dank an alle!
> Frankina
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. :)
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Do 07.05.2009 | | Autor: | frankina |
vielen dank für die schnelle antwort :)
|
|
|
|
