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hallöle...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt, aber noch keine antwort erhalten.
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/260442,0.html
habe ein problem bei der Lösung der folgenden Aufgabe:
gegeben ist die lineare Differentialgleichung y'' + 4y = e^(3x)
a) ermitteln sie die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
b) berechnen sie die spezielle lösung der inhomogenen Gleichung (ansatz: y = c * e^(3x)
c) geben sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung an
----------
zu a)
ich habe das soweit:
y'' + 4y = 0 (Ansatz: y = e^(lambda*x)
dann y' und y'' nach ansatz:
y' = lambda * e^(lambda*x)
y'' = [mm] lambda^2 [/mm] * e^(lambda*x)
dann eingesetzt:
[mm] lambda^2 [/mm] * e^(lambda*x) + 4 * e^(lambda*x)
dann komme ich auf lambda = 2i
daraus folgt:
y = e^(2xi)
y = cos(2x) + i*sin(2x), da e^(phi*i) = cos(phi) + i*sin(phi)
ist das schon mein ergebnis für a)?
und b und c weiß ich nicht wie ich da ran gehen soll
bin für jeden hinweis dankbar...
LG
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Hallo und herzlich
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
zu a) du hast 2 Lösungen: [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \pm2i
[/mm]
zu b) den Ansatz hast du doch schon gegeben, das ist meist das schwierigste.
2mal ableiten, einsetzen fertig
c) y = [mm] y_{h} [/mm] + [mm] y_{p} [/mm] also die Summe aus a) und b)
Gruss Christian
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dankeschön für das willkommen 
also wenn ich 2 Lösungen habe, lautet mein ergebnis für a):
y = [mm] c_1 [/mm] * cos(2x) + [mm] c_2 [/mm] * sin(2x)
ist das korrekt?
nur das ich nicht falsch weiterrechne...
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> dankeschön für das willkommen
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> also wenn ich 2 Lösungen habe, lautet mein ergebnis für
> a):
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> y = [mm]c_1[/mm] * cos(2x) + [mm]c_2[/mm] * sin(2x)
>
> ist das korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> nur das ich nicht falsch weiterrechne...
gruß tee
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die spezielle Lösung für die inhomogene Gleichung mit Ansatz y = c * e^(3x):
y' = 3 * c * e^(3x)
y'' = 9 * c * e^(3x)
also ist mein ergebnis hier:
y = 9 * c * e^(3x) + 4 * c * e^(3x)
y = 13c * e^(3x)
ist das korrekt?
und dann ist c)
y = [mm] c_1 [/mm] * cos(2x) + [mm] c_2 [/mm] * sin(2x) + 1/13 * e^(3x)
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Hallo
> die spezielle Lösung für die inhomogene Gleichung mit
> Ansatz y = c * e^(3x):
>
> y' = 3 * c * e^(3x)
> y'' = 9 * c * e^(3x)
>
> also ist mein ergebnis hier:
>
> y = 9 * c * e^(3x) + 4 * c * e^(3x)
> y = 13c * e^(3x)
>
> ist das korrekt?
Man kann explizit dein c ausrechnen:
Du hast ja [mm] 9ce^{3x} [/mm] + [mm] 4ce^{3x} [/mm] = [mm] e^{3x} \Rightarrow e^{3x}13c [/mm] = [mm] e^{3x} \Rightarrow [/mm] 13c = 1
Somit haste c = [mm] \bruch{1}{13} [/mm] und eingesetzt in deinem Ansatz ergibt sich
y = [mm] \bruch{e^{3x}}{13}
[/mm]
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Sa 27.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
also theoretisch das, was ich erst bei c gemacht habe 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Sa 27.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> also theoretisch das, was ich erst bei c gemacht habe
Naja, bei c) ist meiner Meinung nach die gesamtlösung gefragt, also die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung überhaupt..
y = [mm] y_{H} [/mm] + [mm] y_{P} [/mm] = [mm] c_{1}cos(2x) [/mm] + [mm] c_{2}sin(2x) [/mm] + [mm] \bruch{e^{3x}}{13} [/mm] :)
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Sa 27.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
genau das habe ich auch für c raus... steht ja weiter oben in meinem beitrag...
ich meinte nur, dass ich b erst in c weiter umgewandelt habe
...fein... dann hab ichs ja...
danke für eure Hilfe
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