Lösung Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Fr 09.07.2010 | | Autor: | wolle58 |
| Aufgabe | 1. Es seien [mm] a,b,c\in \IR. [/mm] Lösen Sie y´=ay+b auf [mm] \IR [/mm] mit der Anfangsbedingung [mm] \phi (x_{0})=c
[/mm]
2. Prüfen durch direktes Einsetzen, dass Ihre Lösung aus Teil 1. die Anfangsbedingung erfüllt und die Differentialgleichung löst (für a=0 und [mm] a\not=0)
[/mm]
3. Lösen Sie y´=sin(x) exp(y) auf I=]-p,p[ mit der Anfangsbedingung [mm] \phi(0)=0. [/mm] Was ist der größte Wert von p, so dass die Lösung auf I existiert?
4. Prüfen durch direktes Einsetzen, dass Ihre Lösung aus Teil 3. die Anfangsbedingung erfüllt und die Differentialgleichung löst. |
Hallo ich habe diese Aufgabe hier zu lösen. Wir sind gerade bei Lösungen von Differentialgleichungen (DGL) und haben die methoden: getrennte Variablen, lineare homogene Differentialgleichung und Variation der Konstanten kennengelernt. Bei der 1. wäre das dann die Lösung mit Hilfe der lineare homogene Differentialgleichung oder? Ich habe keine Ahnung wie ich jetzt ganz praktisch an die Aufgabe ran gehe und was ich wie rechnen kann. Kann mir jemand auf die sprünge helfen und mir einen schub geben mit dem ich anfangen kann?
gruß wolle
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Fr 09.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu 2.:
Wie lautet die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y´=ay ?
Wie bestimmt man eine partikuliäre Lösung von y´=ay+b ?
Wie lautet die allgemeine Lösung von y´=ay+b
wie lautet dann die Lösung des AWPs y´=ay+b, $ [mm] \phi (x_{0})=c [/mm] $
Arbeite diese Punkte mal ab.
Zu 3.: Ist die das Verfahren "Trennung der Variablen " bekannt ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Fr 09.07.2010 | | Autor: | wolle58 |
So, y´=ay hat die allgemeine Lösung mit der Angangsbedingung [mm] \phi_{0}(x_{0})=c:
[/mm]
[mm] \phi(x)=ce^{a(x-x_{0})} [/mm] richtig?
das hab ich vorher schon rausgefunden gehabt. probleme bereitet es mir eine lösung zu finden weil da noch ein +b dran hängt. mit was ist eigentlich das [mm] x_0 [/mm] und das x? ist [mm] \phi(x) [/mm] eigentlich das was ich für y einsetzen kann bzw. soll?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Fr 09.07.2010 | | Autor: | abakus |
> So, y´=ay hat die allgemeine Lösung mit der
> Angangsbedingung [mm]\phi_{0}(x_{0})=c:[/mm]
>
> [mm]\phi(x)=ce^{a(x-x_{0})}[/mm] richtig?
>
> das hab ich vorher schon rausgefunden gehabt. probleme
> bereitet es mir eine lösung zu finden weil da noch ein +b
> dran hängt. mit was ist eigentlich das [mm]x_0[/mm] und das x? ist
> [mm]\phi(x)[/mm] eigentlich das was ich für y einsetzen kann bzw.
> soll?
Wenn dich [mm] x_0 [/mm] irritiert, dann nenne es d.
[mm] \phi(x)=c*e^{a(x-d)}
[/mm]
Ableitung: [mm] \phi'(x)=a*c*e^{a(x-d)}=a*\phi(x)
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Fr 09.07.2010 | | Autor: | wolle58 |
Wenn dich $ [mm] x_0 [/mm] $ irritiert, dann nenne es d.
$ [mm] \phi(x)=c\cdot{}e^{a(x-d)} [/mm] $
Ableitung: $ [mm] \phi'(x)=a\cdot{}c\cdot{}e^{a(x-d)}=a\cdot{}\phi(x) [/mm] $
Warum schreibt man nicht für [mm] \phi(x) [/mm] = y oder verstehe ich da was falsch?
gut wenn ich jetzt die gleichung y´=ay+b habe würde sich die stammfunktion (also die Lösung) wie folgt ändern:
[mm] a*c*e^{a(x-d)}+\bruch{1}{2}b^{2} [/mm] richtig?
oder war das zu einfach gedacht?
Wie geht ich damit jetzt weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Fr 09.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Wenn dich [mm]x_0[/mm] irritiert, dann nenne es d.
> [mm]\phi(x)=c\cdot{}e^{a(x-d)}[/mm]
> Ableitung:
> [mm]\phi'(x)=a\cdot{}c\cdot{}e^{a(x-d)}=a\cdot{}\phi(x)[/mm]
>
> Warum schreibt man nicht für [mm]\phi(x)[/mm] = y oder verstehe ich
> da was falsch?
>
> gut wenn ich jetzt die gleichung y´=ay+b habe würde sich
> die stammfunktion (also die Lösung) wie folgt ändern:
>
> [mm]a*c*e^{a(x-d)}+\bruch{1}{2}b^{2}[/mm] richtig?
> oder war das zu einfach gedacht?
Hallo,
da b eine Konstante ist, wird beim Ableiten aus [mm] \bruch{1}{2}b^{2} [/mm] nicht b, sondern Null.
>
> Wie geht ich damit jetzt weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Fr 09.07.2010 | | Autor: | wolle58 |
ach ja... es wird ja nach x integriert... müsste dann b nicht immer zwangsläufig entstehen? also als zusatz +C? hat das mal jemand ausgerechnet was da raus kommt? ich komm da nicht weiter es sind irgendwie zu viele variablen. wenn ich ein ergebnis errechnen soll bei dem die Anfangsbedingung mithilfe des wertes a kontrolliert werden soll können doch nicht mehr so viele variablen stehen mit c a x [mm] x_{0} [/mm] und vielleicht noch was für das b. warum ist als anfangsbedingung [mm] \phi(x)=c [/mm] vorrausgesetzt und wir setzten für [mm] c*e^{x-x_{0})}=\phi(x) [/mm] ein müsst dann [mm] e^{(x-x{0})}=1 [/mm] sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Fr 09.07.2010 | | Autor: | wolle58 |
so ich habe jetzt bei der dritten mal mit der Trennung der Variablen was errechnet bin mir aber nicht sicher ob das richtig ist bzw wie ich damit weiter machen soll:
[mm] y´=sin(x)*e^{y}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=sin(x)*e^{y}
[/mm]
[mm] dy*e^{y}=sin(x)dx
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{e^{y} dy}=\integral_{}^{}{sin(x) dx}
[/mm]
[mm] e^{y}+C=-cos(x)+C [/mm] /-C
[mm] e^{y}=-cos(x)
[/mm]
y=ln(-cos(x))
Ist das richtig?
wie mache ich da jetzt weiter? ich hab das mit dem Intervall und der anfangsbedingung noch nicht so ganz verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Fr 09.07.2010 | | Autor: | abakus |
$ [mm] a\cdot{}c\cdot{}e^{a(x-d)}+\bruch{1}{2}b^{2} [/mm] $
ist zu kompliziert.
Setze mal an:
$ [mm] y=c\cdot{}e^{a(x-d)}+k [/mm] $
Dann gilt
[mm] $y'=a\cdot{}c\cdot{}e^{a(x-d)} [/mm] $
Letzteres ist nun NICHT das a-fache von y.
Deshalb addieren wir zu y' den Term a*k und subtrahieren ihn gleich wieder:
[mm] $y'=a\cdot{}c\cdot{}e^{a(x-d)} [/mm] +a*k-a*k$
Im vorderen Teil kannst du a ausklammern:
[mm] $y'=a\cdot{}(c\cdot{}e^{a(x-d)} [/mm] +k)-a*k$
Das bedeutet:
y'=a*y-ak
Das soll aber ergeben:
y'=a*y+b
Also musst du k nur so wählen, dass -a*k=b ist.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Fr 09.07.2010 | | Autor: | wolle58 |
hmmm. sorry aber ich versteh das nicht so ganz wie bringe ich denn die Anfangsbedinung da überein und wie soll das b so gewählt werden, dass -a*k=b -a*k für die rechnung des Integrals doch zentral ist. Ist das schon die Lösung des Integrals in dem wir b definieren als -a*k=b?
Wie kann ich dass denn dann nachprüfen mit [mm] a\not=0?
[/mm]
sorry das ich so schwer von begriff bin :-/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Fr 09.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
y'=ay+b
1. Lsg der hom:
[mm] y=C*e^{ax}
[/mm]
2. spezielle (partikuläre) Lösung der inhomogenen.
a) Verfahren der Variation der Konstanten
[mm] y=C(x)*s^{ax} [/mm] daraus [mm] y'=C'(x)*e^{ax}+C(x)*a*e^{ax}
[/mm]
eingesetzt in die Dgl:
[mm] C'(x)*e^{ax}+C(x)*a*e^{ax}=a*C(x)*e^{ax}+b [/mm] =>
[mm] C'*e^{ax}=b
[/mm]
[mm] C'=b*e^{-ax} [/mm] => [mm] C(x)=-b/a*e^{-ax}+C1
[/mm]
damit [mm] y=C(x)*s^{ax} =(-b/a*e^{-ax}+C1)*e^{ax}
[/mm]
jetz nur noch ausrechnen.
danach C1 aus den Anfangsbed. bestimmen.
b) spezielle Lösung raten ist hier leicht y=k y'=0
einsetzen in Dgl: 0=ak+b
k=-b/a
allg. Lösg also [mm] :y=C*e^{ax}-b/a
[/mm]
Wenn du die Lösung hast immer nochmal in die Dgl als probe einsetzen, um Fehler zu merken.!
das ist einfacher als a), aber man sollte für Fälle, wo man die spezielle lösg nicht raten kann die Variation der Konstanten beherrschen. also lies das durch, leg es weg, und mach es von vorn selbst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Fr 09.07.2010 | | Autor: | wolle58 |
| Aufgabe |
so ich habe jetzt bei der dritten mal mit der Trennung der Variablen was errechnet bin mir aber nicht sicher ob das richtig ist bzw wie ich damit weiter machen soll:
$ [mm] y´=sin(x)\cdot{}e^{y} [/mm] $
$ [mm] \bruch{dy}{dx}=sin(x)\cdot{}e^{y} [/mm] $
$ [mm] dy\cdot{}e^{y}=sin(x)dx [/mm] $
$ [mm] \integral_{}^{}{e^{y} dy}=\integral_{}^{}{sin(x) dx} [/mm] $
$ [mm] e^{y}+C=-cos(x)+C [/mm] $ /-C
$ [mm] e^{y}=-cos(x) [/mm] $
y=ln(-cos(x))
Ist das richtig?
wie mache ich da jetzt weiter? ich hab das mit dem Intervall und der anfangsbedingung noch nicht so ganz verstanden. |
kann mir dabei jemand helfen?
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Hallo wolle!
> [mm]y'=sin(x)\cdot{}e^{y}[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{dx}=sin(x)\cdot{}e^{y}[/mm]
> [mm]dy\cdot{}e^{y}=sin(x)dx[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Bei der Division der Gleichung durch [mm] $e^y$ [/mm] muss links [mm] $e^{\red{-}y}$ [/mm] stehen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Fr 09.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ausser dem Fehler mit [mm] e^{-y}
[/mm]
Du hast nicht auf beiden Seiten dieselbe Integrationskonstante, sondern C1 und C2 du kannst ann c2-c1 zu C zusammewnfassen. die allg. Lösung einer Dgl enthält immer eine Konstante, die erst durch die Anfangsbed. festgelegt wird.
Zur ersten Aufgabe: Du darfst die Anfangsbed nicht für die lösung der inhomogenen Dgl einsetzen sondern erst für die Gesamtlösung.
also 1. ALLGEMEINE Lösung der inh. Dgl
2. spezielle Lösg der homogenen
ergibt 3. allg, Lösg der inh.
dann 4. einsetzen der Anfangsbed bestimmt die verbleibende Konstante.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Fr 09.07.2010 | | Autor: | wolle58 |
Vielen dank... jetzt hab auch ich es hinbekommen.
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