Lösung der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen SIe die Lösung der linearen DGL
[mm] y^{(iv)}-y^{iii}-2y^{ii}+6y^{i}-4 [/mm] = 0
mit [mm] y(0)=y^{i}(0)=y^{ii}(0)=0 [/mm] und [mm] y^{iii}(0)=10
[/mm]
Hinweis: Zwei Nullstellen der charakteristischen Gleichung sind 1 und -2 |
Ich habe leider keine Ahnung wie ich bei dieser AUfgabe zu einer Lösung komme.
Mein Ansatz war, dass ich eine Funktion etwa [mm] y=\bruch{5}{3}x^3 [/mm] als Lösung nehme - diese erfüllt die Angegebenen Werte, allerdings ist diese Funktion keine Lösung der Gleichung :-(
Ich weiß auch nicht so recht, wie ich den Hinweis verwenden kann.
Es wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Liebe Grüße 
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Hallo,
du könntest zunächst die zugehörige charakteristische Gleichung:
[mm] \lambda^4-\lambda^3-2*\lambda^2+6*\lambda-4=0
[/mm]
lösen. Man kann hier sehr leicht zwei Lösungen erraten und die restlichen per Polynomdivision gewinnen. Abhängig von der Art der Lösungen wählt man dann einen passenden Ansatz. Aber das solltet ihr durchgenommen haben?
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> du könntest zunächst die zugehörige charakteristische
> Gleichung:
>
> [mm]\lambda^4-\lambda^3-2*\lambda^2+6*\lambda-4=0[/mm]
>
> lösen. Man kann hier sehr leicht zwei Lösungen erraten
> und die restlichen per Polynomdivision gewinnen. Abhängig
> von der Art der Lösungen wählt man dann einen passenden
> Ansatz. Aber das solltet ihr durchgenommen haben?
>
> Gruß, Diophant
Die zwei "einfachen" Lösungen sind [mm] \lambda=1 [/mm] und [mm] \lambda=-2
[/mm]
Durch Polynomdivision erhalte ich dann folgende Gleichung:
[mm] \lambda^2-2\lambda+2=0 [/mm] diese Gleichung enthält aber nur noch komplexe Nullstellen?
Wie man die Lösungen der Lambdas dann als ANsatz verwendet habe ich glaube ich verstanden....
y(x) = [mm] C_1e^{\lambda_1 x} [/mm] + [mm] C_2e^{\lambda_2 x} [/mm] + ...
heißt das dann das ich nur diese beiden Lambdas verwende oder muss ich auch die komplexen berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mi 21.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > du könntest zunächst die zugehörige charakteristische
> > Gleichung:
> >
> > [mm]\lambda^4-\lambda^3-2*\lambda^2+6*\lambda-4=0[/mm]
> >
> > lösen. Man kann hier sehr leicht zwei Lösungen erraten
> > und die restlichen per Polynomdivision gewinnen. Abhängig
> > von der Art der Lösungen wählt man dann einen passenden
> > Ansatz. Aber das solltet ihr durchgenommen haben?
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Die zwei "einfachen" Lösungen sind [mm]\lambda=1[/mm] und
> [mm]\lambda=-2[/mm]
>
> Durch Polynomdivision erhalte ich dann folgende Gleichung:
>
> [mm]\lambda^2-2\lambda+2=0[/mm] diese Gleichung enthält aber nur
> noch komplexe Nullstellen?
Ja, und zwar: [mm] $\lambda= [/mm] 1 [mm] \pm [/mm] i$
>
> Wie man die Lösungen der Lambdas dann als ANsatz verwendet
> habe ich glaube ich verstanden....
>
> y(x) = [mm]C_1e^{\lambda_1 x}[/mm] + [mm]C_2e^{\lambda_2 x}[/mm] + ...
>
> heißt das dann das ich nur diese beiden Lambdas verwende
Nein.
> oder muss ich auch die komplexen berechnen?
Wegen [mm] e^{(1+i)x}=e^x*cos(x)+ie^x*sin(x)$, [/mm] bekommst Du für einreelles Fundamentalsystem die 2 lin. unabh. Lösungen
[mm] e^x*cos(x) [/mm] und [mm] e^x*sin(x)
[/mm]
dazu.
Die allg. Lösung der homogenen Gleichung lautet dann:
y(x) = [mm]C_1e^{ x}[/mm] + [mm]C_2e^{-2 x}[/mm] [mm] +C_3e^x*cos(x)+C_4e^x*sin(x)
[/mm]
FRED
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> > > Hallo,
> > >
> > > du könntest zunächst die zugehörige charakteristische
> > > Gleichung:
> > >
> > > [mm]\lambda^4-\lambda^3-2*\lambda^2+6*\lambda-4=0[/mm]
> > >
> > > lösen. Man kann hier sehr leicht zwei Lösungen erraten
> > > und die restlichen per Polynomdivision gewinnen. Abhängig
> > > von der Art der Lösungen wählt man dann einen passenden
> > > Ansatz. Aber das solltet ihr durchgenommen haben?
> > >
> > > Gruß, Diophant
> >
> > Die zwei "einfachen" Lösungen sind [mm]\lambda=1[/mm] und
> > [mm]\lambda=-2[/mm]
> >
> > Durch Polynomdivision erhalte ich dann folgende Gleichung:
> >
> > [mm]\lambda^2-2\lambda+2=0[/mm] diese Gleichung enthält aber nur
> > noch komplexe Nullstellen?
>
> Ja, und zwar: [mm]\lambda= 1 \pm i[/mm]
> >
> > Wie man die Lösungen der Lambdas dann als ANsatz verwendet
> > habe ich glaube ich verstanden....
> >
> > y(x) = [mm]C_1e^{\lambda_1 x}[/mm] + [mm]C_2e^{\lambda_2 x}[/mm] + ...
> >
> > heißt das dann das ich nur diese beiden Lambdas verwende
>
> Nein.
>
>
> > oder muss ich auch die komplexen berechnen?
>
> Wegen [mm]e^{(1+i)x}=e^x*cos(x)+ie^x*sin(x)$,[/mm] bekommst Du für
> einreelles Fundamentalsystem die 2 lin. unabh. Lösungen
>
> [mm]e^x*cos(x)[/mm] und [mm]e^x*sin(x)[/mm]
>
> dazu.
>
> Die allg. Lösung der homogenen Gleichung lautet dann:
>
> y(x) = [mm]C_1e^{ x}[/mm] + [mm]C_2e^{-2 x}[/mm]
> [mm]+C_3e^x*cos(x)+C_4e^x*sin(x)[/mm]
>
> FRED
>
Vielen Dank für die allg. Lösung - ich hatte es schon fast befürchtet, dass man die imaginären Nulsstellen verwenden muss :-/
Meine spezielle Lösung, die benötige ich ja, da die Ableitungen an der Stelle x=0 bestimmte Werte annehmen sollen, bekomme ich dann einfach durch probieren oder kann man die Cs berechnen?
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Hallo,
> Meine spezielle Lösung, die benötige ich ja, da die
> Ableitungen an der Stelle x=0 bestimmte Werte annehmen
> sollen, bekomme ich dann einfach durch probieren oder kann
> man die Cs berechnen?
Mathematik sollte sich nur im äußersten Notfall auf Probieren verlassen.
Leite dreimal ab und setze jeweils die Anfangswerte ein. Das sollte ein LGS eregeben, mit dem du die Integrationskonstanten bestimmen kannst.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> > Meine spezielle Lösung, die benötige ich ja, da die
> > Ableitungen an der Stelle x=0 bestimmte Werte annehmen
> > sollen, bekomme ich dann einfach durch probieren oder kann
> > man die Cs berechnen?
>
>
> Mathematik sollte sich nur im äußersten Notfall auf
> Probieren verlassen.
>
> Leite dreimal ab und setze jeweils die Anfangswerte ein.
> Das sollte ein LGS eregeben, mit dem du die
> Integrationskonstanten bestimmen kannst.
Achso, da x auch jedes Mal 0 ist, lässt es sich auch ziemlich gut lösen.
Vielen, vielen Dank für die Hilfe
>
> Gruß, Diophant
>
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> > > Hallo,
> > >
> > > du könntest zunächst die zugehörige charakteristische
> > > Gleichung:
> > >
> > > [mm]\lambda^4-\lambda^3-2*\lambda^2+6*\lambda-4=0[/mm]
> > >
> > > lösen. Man kann hier sehr leicht zwei Lösungen erraten
> > > und die restlichen per Polynomdivision gewinnen. Abhängig
> > > von der Art der Lösungen wählt man dann einen passenden
> > > Ansatz. Aber das solltet ihr durchgenommen haben?
> > >
> > > Gruß, Diophant
> >
> > Die zwei "einfachen" Lösungen sind [mm]\lambda=1[/mm] und
> > [mm]\lambda=-2[/mm]
> >
> > Durch Polynomdivision erhalte ich dann folgende Gleichung:
> >
> > [mm]\lambda^2-2\lambda+2=0[/mm] diese Gleichung enthält aber nur
> > noch komplexe Nullstellen?
>
> Ja, und zwar: [mm]\lambda= 1 \pm i[/mm]
> >
> > Wie man die Lösungen der Lambdas dann als ANsatz verwendet
> > habe ich glaube ich verstanden....
> >
> > y(x) = [mm]C_1e^{\lambda_1 x}[/mm] + [mm]C_2e^{\lambda_2 x}[/mm] + ...
> >
> > heißt das dann das ich nur diese beiden Lambdas verwende
>
> Nein.
>
>
> > oder muss ich auch die komplexen berechnen?
>
> Wegen [mm]e^{(1+i)x}=e^x*cos(x)+ie^x*sin(x)$,[/mm] bekommst Du für
> einreelles Fundamentalsystem die 2 lin. unabh. Lösungen
>
> [mm]e^x*cos(x)[/mm] und [mm]e^x*sin(x)[/mm]
>
> dazu.
Diesen Schritt habe ich jetzt beim durchgehen nicht verstanden. Weshalb benutzt man nur [mm] e^{(1+i)x} [/mm] und nicht auch [mm] e^{(1-i)x}.
[/mm]
Ich bekomme ja für [mm] \lambda_3 [/mm] = 1+i und für [mm] lambda_4 [/mm] = 1-i heraus oder?
ist das eine feste Regel, dass [mm] e^{(ix)} [/mm] = [mm] \cos(x) [/mm] + [mm] i\sin(x) [/mm] ist.
Falls ja ist [mm] e^{-ix} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\cos(x) + i\sin(x)} [/mm] oder ist es [mm] \sin(x) [/mm] + [mm] i\cos(x) [/mm] und ich erhalte daher die zwei Lösungen?
>
> Die allg. Lösung der homogenen Gleichung lautet dann:
>
> y(x) = [mm]C_1e^{ x}[/mm] + [mm]C_2e^{-2 x}[/mm]
> [mm]+C_3e^x*cos(x)+C_4e^x*sin(x)[/mm]
>
> FRED
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Hallo LittleStudi,
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > du könntest zunächst die zugehörige charakteristische
> > > > Gleichung:
> > > >
> > > > [mm]\lambda^4-\lambda^3-2*\lambda^2+6*\lambda-4=0[/mm]
> > > >
> > > > lösen. Man kann hier sehr leicht zwei Lösungen erraten
> > > > und die restlichen per Polynomdivision gewinnen. Abhängig
> > > > von der Art der Lösungen wählt man dann einen passenden
> > > > Ansatz. Aber das solltet ihr durchgenommen haben?
> > > >
> > > > Gruß, Diophant
> > >
> > > Die zwei "einfachen" Lösungen sind [mm]\lambda=1[/mm] und
> > > [mm]\lambda=-2[/mm]
> > >
> > > Durch Polynomdivision erhalte ich dann folgende Gleichung:
> > >
> > > [mm]\lambda^2-2\lambda+2=0[/mm] diese Gleichung enthält aber nur
> > > noch komplexe Nullstellen?
> >
> > Ja, und zwar: [mm]\lambda= 1 \pm i[/mm]
> > >
> > > Wie man die Lösungen der Lambdas dann als ANsatz verwendet
> > > habe ich glaube ich verstanden....
> > >
> > > y(x) = [mm]C_1e^{\lambda_1 x}[/mm] + [mm]C_2e^{\lambda_2 x}[/mm] + ...
> > >
> > > heißt das dann das ich nur diese beiden Lambdas verwende
> >
> > Nein.
> >
> >
> > > oder muss ich auch die komplexen berechnen?
> >
> > Wegen [mm]e^{(1+i)x}=e^x*cos(x)+ie^x*sin(x)$,[/mm] bekommst Du für
> > einreelles Fundamentalsystem die 2 lin. unabh. Lösungen
> >
> > [mm]e^x*cos(x)[/mm] und [mm]e^x*sin(x)[/mm]
> >
> > dazu.
>
> Diesen Schritt habe ich jetzt beim durchgehen nicht
> verstanden. Weshalb benutzt man nur [mm]e^{(1+i)x}[/mm] und nicht
> auch [mm]e^{(1-i)x}.[/mm]
> Ich bekomme ja für [mm]\lambda_3[/mm] = 1+i und für [mm]lambda_4[/mm] =
> 1-i heraus oder?
Klar bekommst Du das heraus.
Es ist aber so, falls eine DGL komplexe Lösungen hat,
so lösen Real- als auch Imaginärteil dieser komplexen Lösung die DGL.
>
> ist das eine feste Regel, dass [mm]e^{(ix)}[/mm] = [mm]\cos(x)[/mm] +
> [mm]i\sin(x)[/mm] ist.
>
Ja.
> Falls ja ist [mm]e^{-ix}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\cos(x) + i\sin(x)}[/mm] oder
> ist es [mm]\sin(x)[/mm] + [mm]i\cos(x)[/mm] und ich erhalte daher die zwei
> Lösungen?
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> >
> > Die allg. Lösung der homogenen Gleichung lautet dann:
> >
> > y(x) = [mm]C_1e^{ x}[/mm] + [mm]C_2e^{-2 x}[/mm]
> > [mm]+C_3e^x*cos(x)+C_4e^x*sin(x)[/mm]
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> > FRED
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>
Gruss
MathePower
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> Hallo LittleStudi,
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> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > du könntest zunächst die zugehörige charakteristische
> > > > > Gleichung:
> > > > >
> > > > > [mm]\lambda^4-\lambda^3-2*\lambda^2+6*\lambda-4=0[/mm]
> > > > >
> > > > > lösen. Man kann hier sehr leicht zwei Lösungen erraten
> > > > > und die restlichen per Polynomdivision gewinnen. Abhängig
> > > > > von der Art der Lösungen wählt man dann einen passenden
> > > > > Ansatz. Aber das solltet ihr durchgenommen haben?
> > > > >
> > > > > Gruß, Diophant
> > > >
> > > > Die zwei "einfachen" Lösungen sind [mm]\lambda=1[/mm] und
> > > > [mm]\lambda=-2[/mm]
> > > >
> > > > Durch Polynomdivision erhalte ich dann folgende Gleichung:
> > > >
> > > > [mm]\lambda^2-2\lambda+2=0[/mm] diese Gleichung enthält aber nur
> > > > noch komplexe Nullstellen?
> > >
> > > Ja, und zwar: [mm]\lambda= 1 \pm i[/mm]
> > > >
> > > > Wie man die Lösungen der Lambdas dann als ANsatz verwendet
> > > > habe ich glaube ich verstanden....
> > > >
> > > > y(x) = [mm]C_1e^{\lambda_1 x}[/mm] + [mm]C_2e^{\lambda_2 x}[/mm] + ...
> > > >
> > > > heißt das dann das ich nur diese beiden Lambdas verwende
> > >
> > > Nein.
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> > > > oder muss ich auch die komplexen berechnen?
> > >
> > > Wegen [mm]e^{(1+i)x}=e^x*cos(x)+ie^x*sin(x)$,[/mm] bekommst Du für
> > > einreelles Fundamentalsystem die 2 lin. unabh. Lösungen
> > >
> > > [mm]e^x*cos(x)[/mm] und [mm]e^x*sin(x)[/mm]
> > >
> > > dazu.
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> > Diesen Schritt habe ich jetzt beim durchgehen nicht
> > verstanden. Weshalb benutzt man nur [mm]e^{(1+i)x}[/mm] und nicht
> > auch [mm]e^{(1-i)x}.[/mm]
> > Ich bekomme ja für [mm]\lambda_3[/mm] = 1+i und für [mm]lambda_4[/mm] =
> > 1-i heraus oder?
>
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> Klar bekommst Du das heraus.
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> Es ist aber so, falls eine DGL komplexe Lösungen hat,
> so lösen Real- als auch Imaginärteil dieser komplexen
> Lösung die DGL.
>
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> >
> > ist das eine feste Regel, dass [mm]e^{(ix)}[/mm] = [mm]\cos(x)[/mm] +
> > [mm]i\sin(x)[/mm] ist.
> >
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> Ja.
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> > Falls ja ist [mm]e^{-ix}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\cos(x) + i\sin(x)}[/mm] oder
> > ist es [mm]\sin(x)[/mm] + [mm]i\cos(x)[/mm] und ich erhalte daher die zwei
> > Lösungen?
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> > > Die allg. Lösung der homogenen Gleichung lautet dann:
> > >
> > > y(x) = [mm]C_1e^{ x}[/mm] + [mm]C_2e^{-2 x}[/mm]
> > > [mm]+C_3e^x*cos(x)+C_4e^x*sin(x)[/mm]
> > >
> > > FRED
> > >
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>
> Gruss
> MathePower
Heißt dass, ich benutze dann nur mein [mm] \lambda_3 [/mm] -> davon den Real und Imaginärteil als meine Lösung (ohne das i)?
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Hallo LittleStudi,
> > Hallo LittleStudi,
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> > > > > > Hallo,
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> > > > > > du könntest zunächst die zugehörige charakteristische
> > > > > > Gleichung:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\lambda^4-\lambda^3-2*\lambda^2+6*\lambda-4=0[/mm]
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> > > > > > lösen. Man kann hier sehr leicht zwei Lösungen erraten
> > > > > > und die restlichen per Polynomdivision gewinnen. Abhängig
> > > > > > von der Art der Lösungen wählt man dann einen passenden
> > > > > > Ansatz. Aber das solltet ihr durchgenommen haben?
> > > > > >
> > > > > > Gruß, Diophant
> > > > >
> > > > > Die zwei "einfachen" Lösungen sind [mm]\lambda=1[/mm] und
> > > > > [mm]\lambda=-2[/mm]
> > > > >
> > > > > Durch Polynomdivision erhalte ich dann folgende Gleichung:
> > > > >
> > > > > [mm]\lambda^2-2\lambda+2=0[/mm] diese Gleichung enthält aber nur
> > > > > noch komplexe Nullstellen?
> > > >
> > > > Ja, und zwar: [mm]\lambda= 1 \pm i[/mm]
> > > > >
> > > > > Wie man die Lösungen der Lambdas dann als ANsatz verwendet
> > > > > habe ich glaube ich verstanden....
> > > > >
> > > > > y(x) = [mm]C_1e^{\lambda_1 x}[/mm] + [mm]C_2e^{\lambda_2 x}[/mm] + ...
> > > > >
> > > > > heißt das dann das ich nur diese beiden Lambdas verwende
> > > >
> > > > Nein.
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> > > > > oder muss ich auch die komplexen berechnen?
> > > >
> > > > Wegen [mm]e^{(1+i)x}=e^x*cos(x)+ie^x*sin(x)$,[/mm] bekommst Du für
> > > > einreelles Fundamentalsystem die 2 lin. unabh. Lösungen
> > > >
> > > > [mm]e^x*cos(x)[/mm] und [mm]e^x*sin(x)[/mm]
> > > >
> > > > dazu.
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> > > Diesen Schritt habe ich jetzt beim durchgehen nicht
> > > verstanden. Weshalb benutzt man nur [mm]e^{(1+i)x}[/mm] und nicht
> > > auch [mm]e^{(1-i)x}.[/mm]
> > > Ich bekomme ja für [mm]\lambda_3[/mm] = 1+i und für
> [mm]lambda_4[/mm] =
> > > 1-i heraus oder?
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> > Klar bekommst Du das heraus.
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> > Es ist aber so, falls eine DGL komplexe Lösungen hat,
> > so lösen Real- als auch Imaginärteil dieser komplexen
> > Lösung die DGL.
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> > >
> > > ist das eine feste Regel, dass [mm]e^{(ix)}[/mm] = [mm]\cos(x)[/mm] +
> > > [mm]i\sin(x)[/mm] ist.
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> > Ja.
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> > > Falls ja ist [mm]e^{-ix}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\cos(x) + i\sin(x)}[/mm] oder
> > > ist es [mm]\sin(x)[/mm] + [mm]i\cos(x)[/mm] und ich erhalte daher die zwei
> > > Lösungen?
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> > > > Die allg. Lösung der homogenen Gleichung lautet dann:
> > > >
> > > > y(x) = [mm]C_1e^{ x}[/mm] + [mm]C_2e^{-2 x}[/mm]
> > > > [mm]+C_3e^x*cos(x)+C_4e^x*sin(x)[/mm]
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> > > > FRED
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> > Gruss
> > MathePower
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> Heißt dass, ich benutze dann nur mein [mm]\lambda_3[/mm] -> davon
> den Real und Imaginärteil als meine Lösung (ohne das i)?
Ja.
Gruss
MathePower
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