Loesung des Gleichungssystems < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Do 06.12.2007 | | Autor: | Vale001 |
Wie loese ich das Gleichungssysyem Ax=b??
Die Aufgabe lautet:
A [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & 4 } [/mm] b [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 2 }
[/mm]
Hab mich schon gespielt und komme auf diese Loesung
x [mm] \pmat{ 2 \\ -1 \\ 0 } [/mm]
doch wenn ich dies mit einem Rechenprogramm vergleiche soll
x [mm] \pmat{ 0 \\ 3 \\ -2} [/mm] rauskommen.
Koennte mir bitte jemand helfen ??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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Hallo Christian,
bist du sicher, dass du alles richtig aufgeschrieben hast?
So wie ich das sehe, ist die Gleichung Ax=b nicht lösbar.
Wenn du [mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 &|&0\\ 2 & 3 & 4 &|&1\\ 4 & 4 & 4 &|&2}$ [/mm] mal in Zeilenstufenform bringst, erhältst du in der 3. Zeile 0=-2
Mache mal die Probe mit dem angeblichen Lösungsvektor [mm] $x=\vektor{0\\3\\-2}$
[/mm]
Dann ist [mm] $Ax=\vektor{0\\1\\4}\neq [/mm] b$
Schau also nochmal nach, ob die Matrix so wie sie dasteht, stimmt
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Do 06.12.2007 | | Autor: | Vale001 |
Du hast Recht, danke.
In der dritten Zeile und Spalte muesste eine 5 stehen.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & 5 }
[/mm]
Jetzt muesste es stimmen.
Chris
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Hi,
ok, dann klappt's auch 
Bringe mal $ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 &|&0\\ 2 & 3 & 4 &|&1\\ 4 & 4 & 5 &|&2} [/mm] $ in Zeilenstufenform.
Du kannst zB. damit beginnen, das (-2)-fache der 1.Zeile zur 2.Zeile
und das (-2)-fache der 2.Zeile zur 3.Zeile zu addieren ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Do 06.12.2007 | | Autor: | Vale001 |
Du hast Recht. Aber wieso habe ich das vorhin nicht geschaffft.
Ich habe zwar nicht so wie du es mir beschrieben hast gerechnet. Sondern anders. Doch das dachte ich, wuerde nichts ausmachen.
Habe zuvor die zweite Zeile mit (-2) mutlipliziert und von der dritten abgezogen. Anschliessend von der zweiten die erste Abgezogen.
Also ein bisschen gemischt.
Doch jetzt habe ich es auch geschafft, nach langem hin und her.
Wenn ich jetzt die inverse Matrix bilden moechte. Muss ich erst die Det ausrechenen und anschliessend mit einer Formel die Matrix neu berechenen!
Liege ich da Richtig?
Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Christian,
du meinst die Inverse zu A?
Das kannst du mit dieser Determinantenformel machen, das ist aber für eine [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix ziemlich lästig, weil du die Adjunkte von A berechnen musst.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) Adjunkte
Meiner persönlichen Meinung nach ist es handlicher, neben die Matrix A die Einheitsmatrix zu schreiben und dann A in die Einheitsmatrix zu überführen.
Dabei mache jeden Umformungsschritt auch an der nebenstehenden Einheitsmatrix, dann erhältst du am Schluss die Inverse von A
Also
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 &|&1&0&0\\ 2 & 3 & 4 &|&0&1&0\\ 4 & 4 & 5&|&0&0&1 }$
[/mm]
Wie oben addiere das (-2)fache der 1.Zeile zur 2.Zeile und das (-2)fache der 2.Zeile zur 3.Zeile. Das liefert
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 &|&1&0&0\\ 0 & -1 & -2 &|&-2&1&0\\ 0 & -2 & -3&|&0&-2&1 }$
[/mm]
Nun die 3.Zeile zur 1.Zeile addieren usw. usf.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:15 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Vale001 |
Klasse!
Recht herzlichen danke.
Wie stelle ich das bei einem Gleichungssystem an, dass
auf Loesbarkeit untersucht werden soll?
(siehe Blatt im Anhang) Waere super, wenn du mir da helfen koenntest.
Danke Chris
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Hi,
Welche Lösungskriterien kennst du denn?
Was hattet ihr bereits?
Ein "nettes" Kriterium, das dir die Existenz einer Lösung $x$ von $Ax=b$ mit [mm] $A\in M_{m\times n}(\IK), x\in\IK^n, b\in\IK^m, \IK [/mm] \ [mm] \text{ein Körper}$ [/mm] sichert, ist folgendes:
Das LGS Ax=b hat genau dann eine Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix A|b ist
dh. formal: [mm] $rg(A)=rg(A|b)\gdw\exists [/mm] \ [mm] x\in\IK^n [/mm] : Ax=b$
Das könntest du mal prüfen für dein Bsp.
Das Kriterium sichert dir aber nur die EXISTENZ einer Lösung, nicht etwa die Eindeutigkeit...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Vale001 |
Ok. Puhh, da glaube ich beisst es jetzt ein wenig aus.
Was mir helfen koennte waere eine Vorgehensweise an einem Beispiel. Ich habe im Anhang das Aufgabenblatt angehaengt.
Meinst du, du koenntest darauf einmal einen Blick werfen.
Denn ich habe bei der oberen Aufgabe in dem Blatt auch ein Problem, wenn es un die Nebenbedingung geht. Sorry das ich so nervig bin!!
Chris
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Hi,
naja, das solltest du selbst hinbekommen.
Was der Rang einer Matrix ist, solltest du wissen und auch, wie man ihn bestimmt.
Bringe die Matrix in Zeilenstufenform, die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen ist der Rang
Bestimme also zuerst den Rang(A)
Dann hänge an A als zusätzliche Spalte den (Spalten-)Vektor b dran und bestimme den Rang(A|b)
Stimmen beide Ränge überein, so ist das LGS Ax=b lösbar
Zeig also zumindest deine Versuche her, das ist nicht allzu wild
Dann können wir ggfs dort weitermachen, aber nur vorrechnen... nää
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Vale001 |
Ok. Einverstanden. Hab den Stift schon in der Hand und leg gleich los. So bald ich ein realistisches Ergebnis habe, melde ich mich wieder.
Danke schoen ;)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:05 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Vale001 |
Muss ich den Wirrwarr in eine Darstellungsform bringen?
Also die Matrix mal den Vektor nehmen und solange aufloesen, bis ich den Rang ablesen kann??
Gruss
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 15.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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