Lösung einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man ermittle die allgemeine Lösung der Differentialgleichung [mm] \ddot{y}+10\dot{y}+25y=25t^2 [/mm] und bestimmte die Lösung, die den Anfangswerten y(0)=0 und [mm] \dot{y}(0)=1 [/mm] genügt. |
Hallo Leute,
ich bräuchte nochmal Hilfe bei einer Aufgabe und ich würde sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
Es handelt sich hierbei jetzt um eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung oder?
Lösung der homogenen Gleichung [mm] \ddot{y}+10\dot{y}+25y=0
[/mm]
[mm] \lambda^2+10\lambda+25 [/mm]
mit [mm] \lambda_{1/2}=5
[/mm]
Jetzt steht im meinem Lehrbuch, dass wenn man [mm] \lambda_1=\lambda_2 [/mm] hat man die allgemeine Lösung angeben kann als
[mm] y=(C_1*x+C_2)e^{5x} [/mm] mit [mm] C_1,C_2 \in \mathbb{R} [/mm] stimmt das?
partikuläre Lösung
[mm] y_p=a_2*t^2+a_1*t+a_0 [/mm]
[mm] y_p'=2a_2*t+a_1 [/mm]
[mm] y_p''=2a_2
[/mm]
Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung
[mm] 2a_2+10(2a_2*t+a_1)+25(a_2*t^2+a_1*t+a_0)=25t^2
[/mm]
[mm] 2a_2+20a_2*t+10a_1+25a_2*t^2+25a_1+25a_0=25t^2
[/mm]
[mm] t^225a_2+t(20a_2+25_a1)+(2a_2+10a_1+25a_0)=25t^2
[/mm]
LGS
[mm] 25a_2=25
[/mm]
[mm] 20a_2+25a_1=0
[/mm]
[mm] 2a_2+10a_1+25a_0=0
[/mm]
aus 1.) [mm] a_2=1
[/mm]
aus 2.) [mm] 20+25a_1=0 [/mm] => [mm] a_1=-\frac{4}{5}
[/mm]
aus 3.) [mm] 2+10*\frac{4}{5}+25=0 [/mm] => [mm] a_0=-\frac{10}{25}=-\frac{2}{5}
[/mm]
[mm] y_P=t^2-\frac{4}{5}t-\frac{2}{5}
[/mm]
Allgemeine Lösung:
[mm] y=y_H+y_P
[/mm]
[mm] y=(C_1*x+C_2)e^{5x}+t^2-\frac{4}{5}t-\frac{2}{5} [/mm] mit [mm] C_1,C_2 \in \mathbb{R} [/mm]
Ist das soweit richtig?
Wie kann ich nun die Lösung derart bestimmen, dass sie den beiden Anfangswerten genügt?
Wenn ich beispielsweise y(0)=0 einsetze hätte ich
[mm] 0=y(0)=(C_1*0+C_2)e^{0}+t^2-\frac{4}{5}t-\frac{2}{5} [/mm] mit [mm] C_1,C_2 \in \mathbb{R} [/mm]
Was mache ich jetzt aber mit dem t oder hätte ich auch einfach die ganzen ts als x schreiben können?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Man ermittle die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung [mm]\ddot{y}+10\dot{y}+25y=25t^2[/mm] und
> bestimmte die Lösung, die den Anfangswerten y(0)=0 und
> [mm]\dot{y}(0)=1[/mm] genügt.
>
>
> Hallo Leute,
> ich bräuchte nochmal Hilfe bei einer Aufgabe und ich
> würde sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
>
> Es handelt sich hierbei jetzt um eine inhomogene lineare
> DGL 2. Ordnung oder?
Ja, genau so ist es. Die Bezeichungsweise aus der linearen Algebra kommt hier ja wegen der Verwandschaft zur Theorie der Eigenwerte und -vektoren nicht umsonst zur Anwendung!
>
> Lösung der homogenen Gleichung [mm]\ddot{y}+10\dot{y}+25y=0[/mm]
>
> [mm]\lambda^2+10\lambda+25[/mm]
>
> mit [mm]\lambda_{1/2}=5[/mm]
>
> Jetzt steht im meinem Lehrbuch, dass wenn man
> [mm]\lambda_1=\lambda_2[/mm] hat man die allgemeine Lösung angeben
> kann als
>
> [mm]y=(C_1*x+C_2)e^{5x}[/mm] mit [mm]C_1,C_2 \in \mathbb{R}[/mm] stimmt das?
>
> partikuläre Lösung
> [mm]y_p=a_2*t^2+a_1*t+a_0[/mm]
> [mm]y_p'=2a_2*t+a_1[/mm]
> [mm]y_p''=2a_2[/mm]
>
> Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung
> [mm]2a_2+10(2a_2*t+a_1)+25(a_2*t^2+a_1*t+a_0)=25t^2[/mm]
> [mm]2a_2+20a_2*t+10a_1+25a_2*t^2+25a_1+25a_0=25t^2[/mm]
Da ist dir bei den 25a_1t das t verlustig gegangen.
> [mm]t^225a_2+t(20a_2+25_a1)+(2a_2+10a_1+25a_0)=25t^2[/mm]
>
Aber hier hats du wieder richtig weitergerechnet, dann war es wohl ein Tippfehler.
> LGS
> [mm]25a_2=25[/mm]
> [mm]20a_2+25a_1=0[/mm]
> [mm]2a_2+10a_1+25a_0=0[/mm]
>
> aus 1.) [mm]a_2=1[/mm]
> aus 2.) [mm]20+25a_1=0[/mm] => [mm]a_1=-\frac{4}{5}[/mm]
> aus 3.) [mm]2+10*\frac{4}{5}+25=0[/mm] =>
> [mm]a_0=-\frac{10}{25}=-\frac{2}{5}[/mm]
>
> [mm]y_P=t^2-\frac{4}{5}t-\frac{2}{5}[/mm]
>
> Allgemeine Lösung:
> [mm]y=y_H+y_P[/mm]
>
> [mm]y=(C_1*x+C_2)e^{5x}+t^2-\frac{4}{5}t-\frac{2}{5}[/mm] mit
> [mm]C_1,C_2 \in \mathbb{R}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
>
Das sieht gut aus, du könntest es durch Einsetzen selbst überprüfen! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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Wie kann ich jetzt die Lösung näher bestimmen, dass sie den AWPs genügt?
Darf ich den Funktionswert auch für t einsetzen und müsste ich meine Lösung nochmal ableiten, um [mm] \dot{y}(0) [/mm] einsetzen zu können???
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Di 23.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wie kann ich jetzt die Lösung näher bestimmen, dass sie
> den AWPs genügt?
Du hast doch:
[mm] $y=(C_1\cdot{}x+C_2)e^{5x}+t^2-\frac{4}{5}t-\frac{2}{5}$
[/mm]
Die Parameter [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] musst du nun noch bestimmen, und zwar so, dass y(0)=0 und y'(0)=1. Das ergibt zwei Gleichungen, aus denen du dann die beiden Parameter bestimmen kannst.
>
> Darf ich den Funktionswert auch für t einsetzen
Das musst du sogar.
> und müsste ich meine Lösung nochmal ableiten, um [mm]\dot{y}(0)[/mm]
> einsetzen zu können???
Auch das musst du tun, um y'(0)=1 als konkrete Gleichung in [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] umzusetzen.
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
Marius
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Hallo Johannes,
> Hallo,
>
> > Man ermittle die allgemeine Lösung der
> > Differentialgleichung [mm]\ddot{y}+10\dot{y}+25y=25t^2[/mm] und
> > bestimmte die Lösung, die den Anfangswerten y(0)=0 und
> > [mm]\dot{y}(0)=1[/mm] genügt.
> >
> >
> > Hallo Leute,
> > ich bräuchte nochmal Hilfe bei einer Aufgabe und ich
> > würde sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
> >
> > Es handelt sich hierbei jetzt um eine inhomogene
> lineare
> > DGL 2. Ordnung oder?
>
> Ja, genau so ist es. Die Bezeichungsweise aus der linearen
> Algebra kommt hier ja wegen der Verwandschaft zur Theorie
> der Eigenwerte und -vektoren nicht umsonst zur Anwendung!
>
> >
> > Lösung der homogenen Gleichung
> [mm]\ddot{y}+10\dot{y}+25y=0[/mm]
> >
> > [mm]\lambda^2+10\lambda+25[/mm]
> >
> > mit [mm]\lambda_{1/2}=5[/mm]
> >
> > Jetzt steht im meinem Lehrbuch, dass wenn man
> > [mm]\lambda_1=\lambda_2[/mm] hat man die allgemeine Lösung
> angeben
> > kann als
> >
> > [mm]y=(C_1*x+C_2)e^{5x}[/mm] mit [mm]C_1,C_2 \in \mathbb{R}[/mm] stimmt
> das?
> >
> > partikuläre Lösung
> > [mm]y_p=a_2*t^2+a_1*t+a_0[/mm]
> > [mm]y_p'=2a_2*t+a_1[/mm]
> > [mm]y_p''=2a_2[/mm]
> >
> > Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung
> > [mm]2a_2+10(2a_2*t+a_1)+25(a_2*t^2+a_1*t+a_0)=25t^2[/mm]
> > [mm]2a_2+20a_2*t+10a_1+25a_2*t^2+25a_1+25a_0=25t^2[/mm]
>
> Da ist dir bei den 25a_1t das t verlustig gegangen.
>
> > [mm]t^225a_2+t(20a_2+25_a1)+(2a_2+10a_1+25a_0)=25t^2[/mm]
> >
>
> Aber hier hats du wieder richtig weitergerechnet, dann war
> es wohl ein Tippfehler.
>
> > LGS
> > [mm]25a_2=25[/mm]
> > [mm]20a_2+25a_1=0[/mm]
> > [mm]2a_2+10a_1+25a_0=0[/mm]
> >
> > aus 1.) [mm]a_2=1[/mm]
> > aus 2.) [mm]20+25a_1=0[/mm] => [mm]a_1=-\frac{4}{5}[/mm]
> > aus 3.) [mm]2+10*\frac{4}{5}+25=0[/mm] =>
> > [mm]a_0=-\frac{10}{25}=-\frac{2}{5}[/mm]
> >
> > [mm]y_P=t^2-\frac{4}{5}t-\frac{2}{5}[/mm]
> >
> > Allgemeine Lösung:
> > [mm]y=y_H+y_P[/mm]
> >
> > [mm]y=(C_1*x+C_2)e^{5x}+t^2-\frac{4}{5}t-\frac{2}{5}[/mm] mit
> > [mm]C_1,C_2 \in \mathbb{R}[/mm]
> >
> > Ist das soweit richtig?
> >
>
> Das sieht gut aus, du könntest es durch Einsetzen selbst
> überprüfen!
also gut sieht das nicht aus. Die Lösung ist nicht richtig. Schon allein das Vermischen von den Variablen x und t ist hier fehlerhaft.
Grüße
>
>
> Gruß, Diophant
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> Man ermittle die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung [mm]\ddot{y}+10\dot{y}+25y=25t^2[/mm] und
> bestimmte die Lösung, die den Anfangswerten y(0)=0 und
> [mm]\dot{y}(0)=1[/mm] genügt.
>
>
> Hallo Leute,
> ich bräuchte nochmal Hilfe bei einer Aufgabe und ich
> würde sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
>
> Es handelt sich hierbei jetzt um eine inhomogene lineare
> DGL 2. Ordnung oder?
>
> Lösung der homogenen Gleichung [mm]\ddot{y}+10\dot{y}+25y=0[/mm]
>
> [mm]\lambda^2+10\lambda+25[/mm]
>
> mit [mm]\lambda_{1/2}=5[/mm]
Hi,
das stimmt aber nicht! [mm] \lambda=-5
[/mm]
> [mm]y=(C_1*x+C_2)e^{5x}[/mm] mit [mm]C_1,C_2 \in \mathbb{R}[/mm] stimmt das?
Nein, [mm] y=(C_1*\red{t}+C_2)e^{\red{-}5\red{t}}
[/mm]
Ausgehend von
$ [mm] 25a_2=25 [/mm] $
$ [mm] 20a_2+25a_1=0 [/mm] $
$ [mm] 2a_2+10a_1+25a_0=0 [/mm] $
solltets du dir noch einmal Gedanken über [mm] a_0 [/mm] machen. Die beiden anderen Koeffizenten hast du richtig berechnet.
Zur Kontrolle: [mm] a_0=6/25
[/mm]
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Ich habe jetzt also
[mm] C_1=\frac{39}{25} \qquad C_2=-\frac{6}{25}
[/mm]
könnte das angehen?
Vielen Dank im Voraus!
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Hey,
mh, also irgendwo ist noch ein kleiner Rechenfehler.
Dein [mm] C_2=-6/25 [/mm] ist korrekt. Aber [mm] C_1 [/mm] sollte eigentlich 3/5 sein.
Am besten noch einmal drüberschauen und nochmals rechnen.
Aber das Prinzip hast du gut verstanden! Rechenfehler passieren. Lass dich nicht entmutigen. Ich kann mich noch an meine DGL-Vorlesung erinnern. Als allgemeinen Hinweis kann ich dir nur mitgeben: Rechne ruhig und lass dir Zeit. Wenn du zu schnell rechnest, machst du Fehler. Allein findest du den nimmer und musst wieder von vorn anfangen. In der Summe hast du also keine Zeit gut gemacht, sondern viel mehr verloren.
Für deine anscheinend anstehende Klausur wünsche ich dir viel Erfolg!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Di 23.07.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Normalerweise versuche ich das auch zu tun, aber momentan muss ich immer einige Sachen nebenbei erledigen und will auch immer schnellstmöglich antworten, das ärgert mich selber immer etwas, wenn es dann zu Flüchtigkeitsfehlern kommt, weil es immer die Themen unnötig verlängert. :-(
Ich habe jetzt in der Tat den Fehler gefunden und verbessert.
Bei der Aufgabenstellung gibt es noch eine weitere Teilaufgabe. Kann ich dir hier in dem Thread auch anfügen?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Di 23.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Normalerweise versuche ich das auch zu tun, aber momentan
> muss ich immer einige Sachen nebenbei erledigen und will
> auch immer schnellstmöglich antworten, das ärgert mich
> selber immer etwas, wenn es dann zu Flüchtigkeitsfehlern
> kommt, weil es immer die Themen unnötig verlängert. :-(
Leider gibt es dagegen kein "Rezept", ausser Gründlichkeit.
>
> Ich habe jetzt in der Tat den Fehler gefunden und
> verbessert.
Schön.
>
>
> Bei der Aufgabenstellung gibt es noch eine weitere
> Teilaufgabe. Kann ich dir hier in dem Thread auch
> anfügen?
Sicher, was spricht dagegen? Es ist dieselbe Aufgabe.
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
>
Marius
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| Aufgabe | | Man forme die Differentialgleichung [mm] \ddot{y}+10\dot{y}+25y=g(t) [/mm] mit der Inhomogenität in ein Differentialgleichungssystem [mm] \dot{x}=Ax+b(t) [/mm] erster Ordnung um. |
Probleme bereitet mir dieses Störglied g(t) bzw. b(t)
Wenn es nicht da wäre, würde ich die Aufgabe so lösen
[mm] \ddot{y}+10\dot{y}+25y=0
[/mm]
[mm] \ddot{y}=-10\dot{y}-25y_1
[/mm]
[mm] \frac{d}{dx}\vektor{y_1 \\ y_2}=\vektor{y_2 \\ -10y_2-25y}
[/mm]
So habe ich das zumindestens im Internet entdeckt, aber wie kann man die Inhomogenität einbeziehen?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo mtr-studi,
> Man forme die Differentialgleichung
> [mm]\ddot{y}+10\dot{y}+25y=g(t)[/mm] mit der Inhomogenität in ein
> Differentialgleichungssystem [mm]\dot{x}=Ax+b(t)[/mm] erster Ordnung
> um.
> Probleme bereitet mir dieses Störglied g(t) bzw. b(t)
>
> Wenn es nicht da wäre, würde ich die Aufgabe so lösen
>
> [mm]\ddot{y}+10\dot{y}+25y=0[/mm]
> [mm]\ddot{y}=-10\dot{y}-25y_1[/mm]
>
>
> [mm]\frac{d}{dx}\vektor{y_1 \\ y_2}=\vektor{y_2 \\ -10y_2-25y}[/mm]
>
[mm]\frac{d}{d\blue{t}}\vektor{y_1 \\ y_2}=\vektor{y_2 \\ -10y_2-25y_{\blue{1}}}[/mm]
> So habe ich das zumindestens im Internet entdeckt, aber wie
> kann man die Inhomogenität einbeziehen?
>
Mit den Definitionen [mm]y_{1}=y, \ y_{2}=\dot{y_{1}}[/mm]
erhältst Du die Gleichung:
[mm]\dot{y_{2}}+10*y_{2}+25*y_{1}=g\left(t\right)[/mm]
Mit den Defitionen folgt schliesslich:
[mm]\bruch{d}{dt}\pmat{y_{1} \\ y_{2}}=\pmat{y_{2} \\ -10*y_{2}-25*y_{1}+g\left(t\right)}=\pmat{0 & 1 \\ -25 & -10}\pmat{y_{1} \\ y_{2}}+\pmat{0 \\ g\left(t\right)}[/mm]
> Vielen Dank im Voraus!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Di 23.07.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Vielen, vielen Dank!
Jetzt ist mir das auch klar. 
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