Lösung eines DGL-Systems < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:23 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Gunni |
| Aufgabe | Meine Frage hat letzten Endes sehr wenig mit Physik zu tun und ist somit auch für jemanden lösbar, der sich mit der Mechanik von rotierenden Bezugssystemen nie auseinander gesetzt hat.
Das Potential [mm] V= \bruch {k} {2} (-x^2 + y^2) [/mm] rotiere mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit [mm] \omega [/mm] um die z-Achse des Koordinatensystems (siehe Skizze) ( Zusatz: kart. 3-dim. [mm] \omega [/mm] in Richtung [mm] \vec e_z = \vec e*_z [/mm]
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für ein Teilchen mit der Masse m in diesem Potential auf.
b) Finden Sie eine allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen!
c) Welche Bedingung muss [mm] \omega [/mm] erfüllen,damit alle Bewegungen gebunden sind? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Matheraummitglieder,
bevor ich meine bisherige Lösung und mein Problem beschreibe, werde ich erst etwas zu meinem mathematischen Background sagen und die Umstände der Aufgabe näher erläutern, da das eventuell für die Erklärung der Lösung eine Rolle spielen könnte.
Ich bin Physikstudent im 2. Semester und habe mit Dgl- systemen bisher so gut wie keine Erfahrungen. Die Aufgabe entstammt der theoretischen Physik.
Der Ansatz die beiden Dgl zu über eine Funktion u= x+ iy zu koppeln funktioniert nicht. Jedoch kenne ich keinen anderen Ansatz um eine genaue Lösung zu erhalten. Einige bekamen den Tipp [mm] x = A * \cdot\ * e^{\lambda*t}[/mm] und [mm]y= B *\cdot\ * e^{\lambda t} [/mm] anzusetzen, aber bisher hat das bei niemand zu einer geeigneten Lösung geführt...
Ich habe beim Suchen mitbekommen, dass gerne Matrizen angesetzt werden. Jedoch kann ich mit dem Lösungsverfahren so nichts anfangen und bräuchte eine nähere Erläuterung.
a)Nun wirklich zu der Aufgabe:
Bew. Gl: [mm] m \vec r'' = - \nabla V - 2m \vec \omega \times \vec r' - m \vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec r ) [/mm]
-> [mm] m \vec r'' = \begin{pmatrix} kx\\ -ky\\ 0 \end{pmatrix}- 2m \omega \begin{pmatrix} -y' \\ x'\\ 0 \end{pmatrix} - m \omega^2 \begin {pmatrix} -x\\-y\\0 \end{pmatrix} [/mm]
--> z''*=0.
---> Dgl- sys : [mm] x''* = (\bruch {k} {m} + \omega^2) x + 2 \omega y')
y''= (- \bruch {k} {m} + \omega^2) y* - 2 \omega x'*[/mm]
Die Lösung der Dgl habe ich trotz mehreren Stunden des Versuchens nicht herausbekommen, aber selbstverständlich werde ich es weiter versuchen.
zu c) wäre nett, wenn mir jemand erklären würde, was überhaupt mit gebunden gemeint ist, aber ich denke, dass ich das herausbekomme, wenn ich die b) habe.
Ich habe jetzt einen Zeitraum angegeben, ab dem die Frage nicht mehr dringend ist, das heißt aber nicht, dass mich die Antwort nicht mehr interessiert.
Edit: Ich habe die Multiplikation Zeichen entfernt, falls sie verwirrt haben sollten. Es stand dafür, dass die Koordinaten nicht im Labor(Inertial-)system sind.
Vielen Dank für eure Hilfe im Vorraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Do 10.05.2007 | | Autor: | Gunni |
Aus der Revision ist irgendwie ein Doppelpost geworden. Ich finde leider die Funktion zum löschen nicht und bitte deshalb entweder um Hilfe mit Wort oder Tat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Do 10.05.2007 | | Autor: | Gunni |
Wie oben schon erwähnt wurde ein Tipp gegeben, durch den ich mich jetzt nochmals durchgekämpft habe. Diesmal sieht das Ergebnis durchaus sinnvoll aus :
[mm] \lambda_1 = \wurzel{- \omega^2 + \bruch{k}{m}}[/mm]
[mm]\lambda_2= -\wurzel{-\omega^2 + \bruch{k}{m}}[/mm]
[mm]\lambda_3= \wurzel{-\omega^2 - \bruch{k}{m}}[/mm]
[mm]\lambda_4= -\wurzel{-\omega^2 - \bruch {k}{m}} [/mm]
Die Koeffizienten A und B können nur in Abhängigkeit voneinander bestimmt werden, aber die Gleichungen stimmen in jedem Fall überein. Ich gehe davon aus, dass die Bestimmung der vier Koeffizienten durch Randbedingungen geschehen muss.Wäre nett, wenn jemand dazu eine Meinung abgeben würde.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 11.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
