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Gegeben ist ein inhomogenes Gleichungssystem, das aus 67 Gleichungen mit jeweils 30 Unbekannten besteht. Eine wichtige zusätzliche Vorgabe ist, dass die Lösungen nur positive Werte sein dürfen, d.h. die Unbekannten sollen keine negativen Werte annehmen.
Ich habe schon versucht das Problem zu lösen indem ich das Gleichungssystem soweit vereinfacht habe, bis nur noch eine quadratische Matrix (30x30) vorhanden war, die ich dann gelöst habe. Dadurch erhalte ich zwar die exakte Lösung für die 30 Gleichungen, das Problem dabei ist jedoch, dass die Unbekannten zum Teil auch negative Werte annehmen.
Meine Frage ist nun: Wie kann ich mein Gleichungssystem näherungsweise so lösen, dass alle 30 Unbekannten positive Werte annehmen. Kann man dies noch "per Hand" (d.h. mit Hilfe von Excel) lösen oder ist hierfür eine Berechnungssoftware zu empfehlen (Welche?)? Die Lösung der Gleichungen kann wie gesagt eine Näherungslösung sein.
Das konkrete Gleichungssystem habe ich zur Verdeutlichung des Problems als Excel-Tabelle im Anhang zur Verfügung gestellt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:59 Do 09.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo lothar_matthaeus!
> Gegeben ist ein inhomogenes Gleichungssystem, das aus 67
> Gleichungen mit jeweils 30 Unbekannten besteht. Eine
> wichtige zusätzliche Vorgabe ist, dass die Lösungen nur
> positive Werte sein dürfen, d.h. die Unbekannten sollen
> keine negativen Werte annehmen.
>
> Ich habe schon versucht das Problem zu lösen indem ich das
> Gleichungssystem soweit vereinfacht habe, bis nur noch eine
> quadratische Matrix (30x30) vorhanden war, die ich dann
> gelöst habe. Dadurch erhalte ich zwar die exakte Lösung für
> die 30 Gleichungen, das Problem dabei ist jedoch, dass die
> Unbekannten zum Teil auch negative Werte annehmen.
> Meine Frage ist nun: Wie kann ich mein Gleichungssystem
> näherungsweise so lösen, dass alle 30 Unbekannten positive
> Werte annehmen. Kann man dies noch "per Hand" (d.h. mit
> Hilfe von Excel) lösen oder ist hierfür eine
> Berechnungssoftware zu empfehlen (Welche?)? Die Lösung der
> Gleichungen kann wie gesagt eine Näherungslösung sein.
Dein Gleichungssystem ist ja überstimmt, d.h., es hat mehr mehr Gleichungen (Bedingungen) als Variablen.
Fraglich ist hier also schon mal, ob es überhaupt eine Lösung gibt.
Du schreibst oben, du hättest die exakte Lösung gefunden. Wenn dies die einzige Lösung ist und sie negative Werte der Variablen beinhaltet, dann gibt es keine Lösung mit nur positiven Werten.
Dann müßtest du festlegen, nach welchen (Bwertungs-) Kriterien du eine Verletzung der vorgegebenen Bedingungen zulassen willst.
Anders sieht es aber aus, wenn das Gleichungssystem mehrere Lösungen hat. Dein Beispiel-Gleichungssystem scheint sehr dünn besetzt zu sein, so dass die Chancen dafür recht gut stehen dürften.
Dann bestimmst du einfach den gesamten Lösungsraum (sobald es zwei Lösungen gibt, gibt es ja auch gleich unendlich viele), und versuchst dann innerhalb des Lösungsraumes einen Vektor mit nur positiven Koordinaten zu ermitteln. Wie das am einfachsten und vor allem systematisch geht, ist mir gerade nicht klar, ich fühle mich aber an die Lineare Optimierung erinnert, wo man doch auch genau dieses Problem hatte (nur positive Belegungen). Aber diese Assoziation kann auch in eine Sackgasse führen, schliesslich startet man dort ja direkt mit einem Vektor aus dem zulässigen Bereich.
Ein Programm, dass dein Problem lösen kann, kenne ich nicht, aber ich kenne auch nicht viele Programme 
Ich hoffe, es hat dir wenigstens etwas weitergeholfen.
Viele Grüße,
Marc
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