Lösung eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Kainor |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{-1+cos(x)}} dx}= [/mm] ??? = [mm] \bruch{(2 *ln(Tan[x/4]) *Sin[x/2])}{\wurzel(-1 + Cos[x])} [/mm] |
Das Ergebnis kenn ich aber der Weg dort hin ist mir ein Rätsel.
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Hallo Kainor,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{-1+cos(x)}} dx}=[/mm] ??? =
> [mm]\bruch{(2 *ln(Tan[x/4]) *Sin[x/2])}{\wurzel(-1 + Cos[x])}[/mm]
Das Problem ist, daß der Ausdruck unter der Wurzel [mm]\le 1[/mm] ist.
Stünde hier
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-cos(x)}} dx}[/mm]
so wäre hiervon
[mm]2 *ln(Tan[x/4])[/mm]
eine Stammfunktion.
>
> Das Ergebnis kenn ich aber der Weg dort hin ist mir ein
> Rätsel.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Kainor |
mMn ist der Ausdruck -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0
;) ,ja aber es muss ja trotzdem gehen. Das Ergebnis habe ich noch mal abgleitet und vereinfacht und es kommt tatsächlich raus (mit dem PC)
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Hallo Kainor,
> mMn ist der Ausdruck -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0
> ;) ,ja aber es muss ja trotzdem gehen. Das Ergebnis habe
> ich noch mal abgleitet und vereinfacht und es kommt
> tatsächlich raus (mit dem PC)
Nun, da hat man sich wohl mit einem Trick beholfen:
[mm]ln(Tan[x/4])*\blue{1}=ln(Tan[x/4])*\blue{\wurzel{2}*\bruch{Sin[x/2]}{\wurzel{1 - Cos[x]}}}[/mm]
Gemäß Additionstheoremen gilt:
[mm]1-\cos\left(x\right)=2*\sin^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Kainor |
Also ich versteh grad nicht wie mir das helfen soll
[mm] ln(Tan[x/4])\cdot{}\blue{1} [/mm] ist ja keine Lösung meine Integrals sondern von
1-cos(x) ... obwohl ich hatte mal ein Ansatz wo ich t=x/2 subst. habe und dann blieb da [mm] \wurzel{-2}=i*\wurzel{2} [/mm] unter der Wurzel stehen da würde ja dann die [mm] \wurzel{2} [/mm] von deinem Ansatz wegfallen, aber das i bleibt
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Hallo Kainor,
> Also ich versteh grad nicht wie mir das helfen soll
Wendet man das Additionstheoorem
[mm]\cos\left(x\right)=1-2*\sin^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm]
und anschliessend die trigonometrische Substitution
[mm]\tan\left(\bruch{x}{4}\right)=t[/mm]
an, dann kommt man auf die Stammfunktion
[mm]ln(Tan[x/4])[/mm]
>
> [mm]ln(Tan[x/4])\cdot{}\blue{1}[/mm] ist ja keine Lösung meine
> Integrals sondern von
Beachte, daß [mm]-1+\cos\left(x}\right)=\left(-1\right)*\left(\cos\left(x\right)-1\right)[/mm]
Daher bleibt auch ein "i" im Nenner stehen.
>
> 1-cos(x) ... obwohl ich hatte mal ein Ansatz wo ich t=x/2
> subst. habe und dann blieb da [mm]\wurzel{-2}=i*\wurzel{2}[/mm]
> unter der Wurzel stehen da würde ja dann die [mm]\wurzel{2}[/mm]
> von deinem Ansatz wegfallen, aber das i bleibt
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Kainor |
Vielen Dank für die Hilfe.
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