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Forum "Zahlentheorie" - Lösung ganzer Zahlen
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Lösung ganzer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 So 21.11.2010
Autor: Bodo0686

Aufgabe
Bestimme die kleinste positive ganze Zahl c, für die die Gleichung 329260x+163163y=c eine Lösung in ganzen Zahlen x und y hat. Welche Werte ergeben sich mit Ihrem c für x und y?

Hallo Zusammen,

könnt ihr mir hier behilflich sein? Wie könnte man diese Aufgabe lösen? Hab ihr einen Tipp für mich?

Danke und Grüße

        
Bezug
Lösung ganzer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 So 21.11.2010
Autor: Marc

Hallo,

> Bestimme die kleinste positive ganze Zahl c, für die die
> Gleichung 329260x+163163y=c eine Lösung in ganzen Zahlen x
> und y hat. Welche Werte ergeben sich mit Ihrem c für x und
> y?
>  Hallo Zusammen,
>  
> könnt ihr mir hier behilflich sein? Wie könnte man diese
> Aufgabe lösen? Hab ihr einen Tipp für mich?

Hier kann man schwer einen Tipp geben, ohne direkt alles zu verraten... Ich würde einfach mal untersuchen, was der ggT mit der ganzen Sache zu tun hat.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                
Bezug
Lösung ganzer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 So 21.11.2010
Autor: Bodo0686

Hallo,

also 329260x+163163y=c

Wenn ich das nach dem euklidischen Algorithmus mache erhalte ich folgendes:

329260 : 163163 = 2 Rest  2934. Also ist ggT (329260,163163)= ggT (163163,2934)
163163 : 2934 = 55 Rest  1793. Also ist ggT (163163,2934)= ggT (2934,1793)
2934 : 1793 = 1 Rest  1141. Also ist ggT (2934,1793)= ggT (1793,1141)
1793 : 1141 = 1 Rest  652. Also ist ggT (1793,1141)= ggT (1141,652)
1141 : 652 = 1 Rest  489. Also ist ggT (1141,652)= ggT (652,489)
652 : 489 = 1 Rest  163. Also ist ggT (652,489)= ggT (489,163)
489 : 163 = 3 Rest  0. Also ist ggT (489,163)= ggT (163,0)

Also ist der kleinste gemeinse Teiler x=163 und y=0 ?

Grüße

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Lösung ganzer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 So 21.11.2010
Autor: Marc

Hallo,

> also 329260x+163163y=c
>  
> Wenn ich das nach dem euklidischen Algorithmus mache
> erhalte ich folgendes:
>  
> 329260 : 163163 = 2 Rest  2934. Also ist ggT
> (329260,163163)= ggT (163163,2934)
> 163163 : 2934 = 55 Rest  1793. Also ist ggT (163163,2934)=
> ggT (2934,1793)
> 2934 : 1793 = 1 Rest  1141. Also ist ggT (2934,1793)= ggT
> (1793,1141)
> 1793 : 1141 = 1 Rest  652. Also ist ggT (1793,1141)= ggT
> (1141,652)
> 1141 : 652 = 1 Rest  489. Also ist ggT (1141,652)= ggT
> (652,489)
> 652 : 489 = 1 Rest  163. Also ist ggT (652,489)= ggT
> (489,163)
> 489 : 163 = 3 Rest  0. Also ist ggT (489,163)= ggT (163,0)
>
> Also ist der kleinste gemeinse Teiler x=163 und y=0 ?

Der kleinste gemeinsame (positive) Teiler ist immer 1 ;-)

Der größte gemeinsame Teiler ist tatsächlich 163. Jetzt musst du das nur noch auf die Aufgabe beziehen.

Die Zahlen x und y erhältst du übrigens jetzt durch Rückwärtseinsetzen. Schreibe dazu deine obigen Rechnungen am besten in der Form auf:

[mm] $\vdots$ [/mm]
1793 = 1*1141 + 652
1141 = 1*652 + 489
652 = 1*489 + 163

Stelle alle Gleichungen nach dem Rest um:

[mm] $\vdots$ [/mm]
[mm] $\blue{1793 - 1*1141 = 652}$ [/mm]
[mm] $\red{1141 - 1*652 = 489}$ [/mm]
$652 - 1*489 = 163$

Rückwärtseinsetzen:

$163 = 652 - [mm] 1*\red{489} [/mm] = [mm] 652-1(\red{1141-1*652}) [/mm] = 652-1*1141+1*652 = [mm] 2*\blue{652}-1*1141 [/mm] = [mm] 2*(\blue{1793-1*1141})-1*1141 [/mm] = [mm] 2*1793-3*1141=\ldots$ [/mm] (ohne Gewähr)

Viele Grüße,
Marc

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Lösung ganzer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 So 21.11.2010
Autor: Bodo0686

irgendwie blick ich beim rückwärtseinsetzen nicht wirklich durch... kannst du mir das mal etwas genauer erklären... Danke!

Bezug
                                        
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Lösung ganzer Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 So 21.11.2010
Autor: Marc


> irgendwie blick ich beim rückwärtseinsetzen nicht
> wirklich durch... kannst du mir das mal etwas genauer
> erklären... Danke!

Ich habe in meiner Antwort Farbmarkierungen vorgenommen, damit sollte es eigentlich klar werden.

-Marc

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Lösung ganzer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 So 21.11.2010
Autor: Bodo0686

Hallo, also ich habe nun raus:

163
=652-1*489
=652-1(1141-652)
=652-1141+652
=2*652-1141
=2*(1793-1141)-1141
=2*1793-3*1141
=2*1793-3*(2934-1793)
=2*1793-3*2934+3*1793
=5*1793-3*2934
=5*(163163-55*2934)-3*2934
=5*163163-275*2934-3*2934
=5*163163-278*2934
=5*163163-278(329260-2*163163)
=5*163163-278*329260+556*163163
=561*163163-278*329260

Damit müsste x=561 und y=-278 sein!

Kannst du mir das so bestätigen?

Danke und Grüße

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Lösung ganzer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 So 21.11.2010
Autor: Marc

Hallo,

> 163
>  =652-1*489
> [...]
>  =561*163163-278*329260
>  
> Damit müsste x=561 und y=-278 sein!
>  
> Kannst du mir das so bestätigen?

Klar stimmt das, das kann dir doch jeder Taschenrechner bestätigen.

Jetzt musst du nur noch argumentieren, warum 163 die kleinste positive Zahl ist mit der geforderten Eigenschaft.

-Marc

Bezug
                                                
Bezug
Lösung ganzer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 So 21.11.2010
Autor: Bodo0686

Ich habe jetzt einfach mal die Werte eingesetzt:

329260*561+163163*(-278)=139355546

x=561
y=-278
c=139355546

c/163=854942

329260/163 = 2020
163163/163 = 1001

braucht man solche Rechnungen?

Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
Lösung ganzer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 So 21.11.2010
Autor: Marc

Hallo,

> Ich habe jetzt einfach mal die Werte eingesetzt:
>  
> 329260*561+163163*(-278)=139355546

Häh? Was soll das denn? Hast du x und y vertauscht?

> x=561
>  y=-278
>  c=139355546
>  
> c/163=854942
>  
> 329260/163 = 2020
>  163163/163 = 1001
>  
> braucht man solche Rechnungen?

Das ist ja mal ein besonders sinnfreie und ziellose Frage.

Die letzten beiden Gleichungen sind äquivalent zu
$329260=2010*163$
und
$163163=1001*163$
Setze das mal in deine Ausgangsgleichung ein und argumentiere, was das kleinste c ist.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                                                
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Lösung ganzer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 So 21.11.2010
Autor: Bodo0686

Sorry, hast recht. x=-278 und y=561

In die Ursprungsgleichung eingesetzt:

329260*(-278)+163163*561=163

163 ist das kleinste c was man findet, da 163 ist der größte gemeinsame Teiler ist?!

Bezug
                                                                        
Bezug
Lösung ganzer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 So 21.11.2010
Autor: Marc


> Sorry, hast recht. x=-278 und y=561
>  
> In die Ursprungsgleichung eingesetzt:
>  
> 329260*(-278)+163163*561=163
>  
> 163 ist das kleinste c was man findet, da 163 ist der
> größte gemeinsame Teiler ist?!

Bitte lies dir doch meine vorherige Antwort durch.

-Marc


Bezug
                                                                                
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Lösung ganzer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 So 21.11.2010
Autor: Bodo0686

Du hattest gesagt:

329260=163*2020
163163=163*1001

Du willst wohl auf die (2020,1001) heraus, kann das sein?
Die beiden sind ja lediglich die Werte mit denen 163 die Gleichungen korrekt sind.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Lösung ganzer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 So 21.11.2010
Autor: Marc


> Du hattest gesagt:
>  
> 329260=163*2020
>  163163=163*1001
>  
> Du willst wohl auf die (2020,1001) heraus, kann das sein?

Keine Ahnung, was du mit dieser Frage meinst.

Ich meinte meinen letzten Satz in meiner nun vorletzten Antwort, diese Gleichungen in die Ausgangsgleichung einzusetzen.

Viele GRüße,
Marc

Bezug
                                                                                                
Bezug
Lösung ganzer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 So 21.11.2010
Autor: Bodo0686

Ich versteh nicht so recht, was ich in die Ausgangsgleichung einsetzen soll.

Ich habe doch bereits x=-278 und y=561 errechnet.

Dies eingesetzt ergibt: 329260*(-278)+163163*561=163

... Grüße

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Lösung ganzer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 So 21.11.2010
Autor: Marc


> Ich versteh nicht so recht, was ich in die
> Ausgangsgleichung einsetzen soll.
>  
> Ich habe doch bereits x=-278 und y=561 errechnet.
>  
> Dies eingesetzt ergibt: 329260*(-278)+163163*561=163

Wenn du die beiden Gleichungen

329260=2010*163
und
163163=1001*163

nicht in die Ausgangsgleichung

329260x+163163y=c

einsetzen kannst, kann ich dir auch nicht mehr helfen.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                                                                                                
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Lösung ganzer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 So 21.11.2010
Autor: Bodo0686

329260*x+163163*y=c

163*2020*-278 + 163*1001*561 = 163

?! Grüße

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Lösung ganzer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 So 21.11.2010
Autor: Marc


> 329260*x+163163*y=c
>  
> 163*2020*-278 + 163*1001*561 = 163

Ich fürchte, dann kann ich dir wirklich nicht mehr weiterhelfen.

Wenn man

329260=2010*163
und
163163=1001*163

in die Ausgangsgleichung

329260x+163163y=c

einsetzt, erhält man

2010*163*x+1001*163*y=c

Klammere nun 163 aus und sehe, dass jedes c, das die Gleichung löst, ein Vielfaches von 163 sein muss. Daher ist c=163 das kleinste solche c.

Viele Grüße,
Marc

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