Lösung inhomogenes LGS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
wir haben folgendes Problem, sitzen seit 3,5 Std an unserem LA-Übungsblatt und kommen bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
Uns ist klar dass die i) stimmt, da wir sie in der Vorlesung gegeben bekommt haben jedoch ohne Definition oder herleitung.
Bei der iii) gehen wir davon aus dass es nicht stimmt, wir können es aber nicht beweisen.
Helft uns bitte, bitte!!
Entscheiden Sie, welche der folgenden 3 Aussagen wahr sind. begründen sie ihre Antworten. Bereits bewiesene Ergebnisse dürfen sie natürlich im folgenden verwenden.
i) Ist L die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS mit n Unbekannten über einem Körper K und s [mm] \in K^{n} [/mm] eine Lösung, dann gilt
L={s+u/u [mm] \in L_{o}}, [/mm] wobei [mm] L_{o} [/mm] die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen LGS ist. (Hierbei ist, wie in der Vorlesung s+u komponentenweise definiert)
iii)Jedes lösbare inhomogene lineare Gleichugssystem über einen Körper K, das mehr Unbekanna als Gleichungen , hat unendliche viele Lösungen.
Wir brauchen die Antwort bis morgen 10.00 Uhr.
Vielen dank im vorraus,
Sarah, Sveni und Anja
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Do 17.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
> i) Ist L die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS mit n
> Unbekannten über einem Körper K und s [mm]\in K^{n}[/mm] eine
> Lösung, dann gilt
> [mm]L=\{s+u/u \in L_{o}\},[/mm] wobei [mm]L_{o}[/mm] die Lösungsmenge des
> zugehörigen homogenen LGS ist. (Hierbei ist, wie in der
> Vorlesung s+u komponentenweise definiert)
> Uns ist klar dass die i) stimmt, da wir sie in der
> Vorlesung gegeben bekommt haben jedoch ohne Definition oder
> herleitung.
Was heißt ohne Definition? Ich werde versuchen, euch auf die Sprünge zu helfen, wenn was unklar ist, nachfragen. Ich gehe mal davon aus, daß ihr die Darstellung eines Gleichungssystems als Matrix-Vektor-Gleichung [mm] A \cdot x = b[/mm] kennt.
Zu zeigen ist [mm]L=\{s+u\mid u \in L_0\}=:L^\prime[/mm], also in zwei Schritten die beiden Inklusionen:
A) zu zeigen: [mm]L \supseteq \{s+u\mid u \in L_0\}[/mm] (jede Summe aus s und Lsg. des hom. LGS ist Lsg. des inhom. LGS)
Beweis: Sei [mm]l\in L^\prime[/mm], d.h. [mm]l=s+u[/mm] für ein [mm]u\in L_0[/mm]. Zu zeigen ist nur noch, daß [mm]A \cdot l = A \cdot (s+u) = b[/mm], daß also [mm](s+u)\in L[/mm].
B) zu zeigen: [mm]L \subseteq \{s+u\mid u \in L_0\}[/mm] (Jede Lsg. des inhom. LGS. läßt sich darstellen als Summe von s und einer Lsg. des hom. LGS)
Beweis: Sei [mm]l\in L[/mm], d.h. [mm]l[/mm] löst das Gleichungssystem bzw. [mm]A\cdot l = b[/mm]. Zu zeigen ist, daß es eine Lösung [mm]u[/mm] des inhomogenen Gleichungssystems gibt, so daß sich [mm]l[/mm] darstellen läßt als [mm]l=s+u[/mm]. Klingt umständlich, die Lösung liegt aber nahe. Ihr sucht das [mm]u[/mm]. Stellt die Gleichung mal um und zeigt, daß [mm]l-s[/mm] eben genau so eine Lösung des homogenen Systems ist.
> iii)Jedes lösbare inhomogene lineare Gleichugssystem über
> einen Körper K, das mehr Unbekanna als Gleichungen , hat
> unendliche viele Lösungen.
> Bei der iii) gehen wir davon aus dass es nicht stimmt, wir
> können es aber nicht beweisen.
Ihr guckt auch in die falsche Richtung ;)
Die Lösung liegt in Aufgabe i):
* Ihr habt eine Lösung des inhomogenen LGS
* Das LGS hat mehr Unbekannte als Gleichungen. Was heißt das für die Lösungen des homogenen Systems? Wie viele gibt es?
Zusammen mit der Aussage aus i), daß eine Lösung des inhomogenen LGS plus eine Lösung des homogenen LGS wieder eine Lösung des inhomogenen LGS sind, wie viele solche Lösungen gibt es?
> Helft uns bitte, bitte!!
Hab ich hoffentlich getan.
> Wir brauchen die Antwort bis morgen 10.00 Uhr.
Ich hoffe allerdings auch, nicht zuviel/genug verraten zu haben. Das hier ist nicht dafür gedacht, last-minute die Lösungen zu präsentieren (auch wenns drängt).
Gruß
|
|
|
| |
|
Danke für die Tipps,
dann werden wir uns jetzt ma dransetzen.
;)
LG
|
|
|
| |
|
Ich hab nochmal ne Frage zur Beweisrichtung B:
Uuund zwar, kann man "l =s + u" wie folgt zeigen?
l = s + u
<=> u = l - s
und nach Voraussetzung:
[mm] \IL \supseteq \{ s + u | u \in \IL0 \}
[/mm]
=> l [mm] \le [/mm] s + u
=> l [mm] \le [/mm] s + l - s
=> l [mm] \le [/mm] l => wahr => l = s + u => u ist Lösung des inhom. LGS => [mm] \IL \supseteq \{ s + u | u \in \IL0 \}
[/mm]
Oder benutze ich da die Beweisvoraussetzung einmal zu oft? Mir scheint das zu einfach.. :(
Danke für deine Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Fr 18.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
Hallo!
> Ich hab nochmal ne Frage zur Beweisrichtung B:
> Uuund zwar, kann man "l =s + u" wie folgt zeigen?
Also nur, um nochmal zu rekapitulieren und die Frage ganz präzise zu stellen:
Du willst zeigen, daß [mm]L\subseteq \{s+u\mid u\in L_0\}[/mm].
Du mußt also zeigen, daß es für ein beliebiges [mm]l\in L[/mm] immer ein [mm]u\in L_0[/mm] gibt, so daß [mm]l=s+u[/mm].
Dazu reicht es, ein [mm]u[/mm] anzugeben und zu zeigen, daß erstens [mm]l=s+u[/mm] und daß zweitens dieses [mm]u[/mm] Lösung des homogenen Systems ist.
> l = s + u
> <=> u = l - s
Genauer: Wenn man [mm]u:=l-s[/mm] wählt, dann ist offenbar [mm]l=s+u[/mm]. (So ist das oft in Beweisen: Du hast Dir überlegt, daß wenn [mm]l=s+u[/mm] sein soll, also daß [mm]u=l-s[/mm] sein müßte. Aufschreiben tut man es im Beweis aber andersherum: Wähle [mm]u:=l-s[/mm]. Dann ist [mm]l=s+u[/mm].)
Zu zeigen ist jetzt noch, daß tatsächlich [mm]u\in L_0[/mm].
> und nach Voraussetzung:
>
> [mm]\IL \supseteq \{ s + u | u \in \IL0 \}[/mm]
Kannst Du voraussetzen, wenn Du den ersten Teil schon bewiesen hast.
> => l [mm]\le[/mm] s + u
Das stimmt natürlich [mm]l,s,u[/mm] sind Vektoren. [mm]\le[/mm] ist komponentenweise definiert (ordnet also nicht alle Vektoren), aber Du weißt ja, daß l=s+u. Das war Deine Wahl.
> => l [mm]\le[/mm] s + l - s
> => l [mm]\le[/mm] l => wahr => l = s + u => u ist Lösung des
> inhom. LGS => [mm]\IL \supseteq \{ s + u | u \in \IL0 \}[/mm]
Hier hast Du Dich tatsächlich im Kreis gedreht. Zwei Fragen: Wieso sollte [mm]u[/mm] Lösung des inhomogenen Systems sein (l, s, s+u sind, aber u?)? Es ging doch immer um [mm]u\in L_0[/mm]? Und zweitens: Wieso kommst Du am Schluß wieder auf das Ergebnis von A. Zeigen wolltest Du doch B, also [mm]L\subseteq \{s+u\mid u\in L_0\}[/mm]?
Du weißt aber noch etwas über die Produkte [mm]A\cdot s=b[/mm] [mm]A\cdot u=\mathbf{0}[/mm], was Du verwenden kannst.
Was Du zu zeigen hast, ist, daß [mm]u:=l-s\in L_0[/mm]. In Matrix-Vektor-Schreibweise also, daß [mm]Au=\mathbf{0}[/mm]. Du weißt aber, daß [mm]l,s[/mm] beides Lösungen des inhomogenen LGS sind, also
ist [mm]A\cdot u=A\cdot (l-s)=A\cdot l-A\cdot s=b-b=\mathbf{0}[/mm].
> Danke für deine Hilfe!
Bitte,
Bastian
|
|
|
|
