Lösung v. Betragsungleichungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Fr 01.07.2005 | | Autor: | ANDson |
Ich habe folgende Betragsungleichung zu lösen und komme einfach nicht weiter. Es wäre schön wenn mir einige von euch helfen könnten.
|-x²+4| -4 größergleich 2x
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Fugre |
> Ich habe folgende Betragsungleichung zu lösen und komme
> einfach nicht weiter. Es wäre schön wenn mir einige von
> euch helfen könnten.
>
> |-x²+4| -4 größergleich 2x
>
> Vielen Dank
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hi Andson,
also deine Ungleichung lautet:
[mm] $|-x^2+4|-4 \ge2x$
[/mm]
Wenn wir dies lösen wollen, so sollten wir
zunächst eine Fallunterscheidung machen.
Für welche $x$ dreht der Betrag das Vor-
zeichen um? Es sind ja die $x$, für die der
Ausdruck zwischen den Betragsklammern
kleiner $0$ ist. Wir haben also zunächst
diese Ungleichung zu lösen:
[mm] $-x^2+4<0$
[/mm]
[mm] $4
So und [mm] $x^2$ [/mm] ist größer $4$, wenn $x$
kleiner $-2$ oder größer $2$ ist.
Somit haben wir Fall (1):
$|x|>2$, so ist die Ungleichung äquivalent zu
[mm] $\to -(-x^2+4)-4 \ge [/mm] 2x$
[mm] $x^2-8 \ge [/mm] 2x$
[mm] $x^2-2x-8 \ge [/mm] 0$
Unser zweiter Fall ist [mm] $|x|\le2$.
[/mm]
Für diesen Fall ist die Ungleichung äquivalent
zu [mm] $-x^2+4-4 \ge [/mm] 2x$
[mm] $-x^2-2x \ge [/mm] 0$
So von hier kannst du es ja noch mal alleine
versuchen. Solltest du Probleme haben, melde
dich bitte.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Sa 02.07.2005 | | Autor: | ANDson |
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Leider habe ich Betragsungleichungen nie gehabt und muss sie jetzt mühsam nachlernen.
Ich kann die ersten Schritte deiner Lösung nachvollziehen.
Nur beim Fall 1, also wenn |x| > 2 ist
wie kommst du da auf -(-x²+4)-4 größergleich 2x
Also den Betrag kann ich weglassen, weil ich den Praktisch mit -2 und +2 "definiert" habe.
Aber woher kommt die Minusklammer?
Vielen Danke für deine Hilfe.
Wie du siehst bin ich auch noch neu hier und komme mit dem Formeleditor noch nicht wirklich klar.
Ich hoffe das macht nichts aus.
Danke
Grüsse
AND
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 So 03.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo AND!
Fugre hat hier lediglich die Definition der Betragsfunktion benutzt.
[mm] |z|:=\begin{cases} z, & \mbox{für } z \ \ge \ 0 \mbox{} \\ \red{-}z, & \mbox{für } z \ < \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Und da Fugre in diesem Augenblick [mm] $-x^2 [/mm] + 4\ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ betrachtet hat, wird damit aus Deiner gegebenen Funktion halt ...
[mm] $\red{-}\left(-x^2+4\right) [/mm] - 4 \ [mm] \ge [/mm] \ 2x$
Nun klarer und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß
Loddar
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