Lösung von Extremwertaufgaben < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Do 22.02.2007 | | Autor: | cancy |
| Aufgabe | 1. Aufgabe: Welches rechtwinklige Dreick mit der Hypotenuse 6cm erzeugt einen kegel größten Inhalts wenn man es um eine Kathete dreht ?
2. Aufgabe: Wie klein kann die Summe aus einer positiven Zahl und ihrem Kehrwert werden ? |
Ich brauch eure Hilfe !
Bei der ersten Aufgabe weiß ich ja wenigstens schon ein paar Ansätze !
Hauptbedingung: V(Kegel)= [mm] \bruch{1}{3}\pi [/mm] r²xh
Nebenbedingung: h²+r²=36
r²=36-h²
Zielfunktion: V(h)= [mm] \bruch{1}{3}\pi [/mm] x(36-h)xh
Aber wie gehts dann weiter ?
Habt ihr bei der einen Tipp für mich, da weiß ich gar nicht was ich mit anfangen soll ?
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Do 22.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Die Zielfunktion stimmt sowat, nur dass dort h² statt h stehen muss... also da in der Klammer.
Und es ist bei allen Extremwertaufgaben dann gleich: Die Zielfunktion leitest du ab und setzt diese 0, um Extremstellen herauszufinden! Damit kriegst du einen (oder mehrere) Werte für r heraus, wobei man oft welche ausschließen kann (z.B. wenn r negativ ist). Wenn du r hast kannst du dann h berechnen und hast dein Dreieck.
2.)
Der Ansatz hier ist:
[mm] s(x)=x+\bruch{1}{x}
[/mm]
Das wäre schon die Zielfunktion, die du ableiten und 0 setzen musst und einen Wert (oder mehrere) für x herausbekommst. Und achte darauf, dass x ja nur größer als 0 sein darf laut Aufgabe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 22.02.2007 | | Autor: | cancy |
Okay die 1. hab ich jetzt hinbekommen.
Aber bei der 2. steh ich aufm Schlauch.
Die Ableitung ist ja dann s´(x)=1-x^-2.
Wenn ich diese Ableitung dann 0 setze wie komm ich auf x ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Do 22.02.2007 | | Autor: | ZehEs |
hallo also 1. Ableitung müsste sein:
[mm]s'(x)= 1- \bruch{1}{x^2}[/mm]
und die 2. so:
[mm]s''(x)= \bruch{1}{x^3}[/mm]
versuch mal bei der 1. ableitung beim Nullsetzen mit [mm] x^2 [/mm] zu multiplizieren.
Gruß ZehEs
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Do 22.02.2007 | | Autor: | cancy |
Also jetzt hab ich für x=1 raus !?
wenn ich das dann für x in die Zielfunktion einsetze komm ich auf 2, könnte das stimmen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Do 22.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja es stimmt, das kann man auch ohne Differentialrechnung sehen!
wenn du den kehrwert zu einer natuerlichen zahl addierst, wird das ergebnis immer groesser als die natuerliche zahl! Also fuer alle Zahlen [mm] n\ge2 [/mm] wird es groesser als 2!bleibt also nur 1 uebrig, mit 1+1/1=2
fuer alle Zahlen kleiner 1 ist der Kehrwert der groessere
oder [mm] a/b+b/a=(a^2+b^2)/ab [/mm] und wegen [mm] (a-b)^2>0 [/mm] fuer [mm] a\ne [/mm] b daraus [mm] a^2+b^2-2ab>0 [/mm] daraus [mm] a^2+b^2>2ab [/mm] daraus [mm] (a^2+b^2)/ab>2 [/mm] und nur =2 falls a=b also a/b=1
Gruss leduart
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