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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mi 04.06.2008 | | Autor: | obda1701 |
| Aufgabe | Löse die Integralgleichung
u(t) - [mm] \integral_{0}^{1}{2stu(s)ds} [/mm] = [mm] sin(\pi [/mm] t) , t [mm] \in [/mm] [0,1], u [mm] \in [/mm] C([0,1])
mit der Hilfe der Neumanschen Reihe. |
Ich habe die Aufgabe mal für
u(t) - [mm] \integral_{0}^{1}{stu(s)ds} [/mm] = [mm] sin(\pi [/mm] t) , t [mm] \in [/mm] [0,1], u [mm] \in [/mm] C([0,1])
gelöst durch:
Sei U := C([0,1]), [mm] c(t)=sin(\pi [/mm] t) und T: U [mm] \to [/mm] U, (Tu)(t):= [mm] \integral_{0}^{1}{st u(s) ds}
[/mm]
so dass u = c + Tu, bzw. (I-T)u =c
also u = [mm] (I-T)^{-1}c
[/mm]
Und dann bei der Ermittlung von [mm] T^{2} [/mm] :
[mm] (T^{2}u)(t) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{st \integral_{0}^{1}{sr u(r) dr} ds} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{st u(r) \integral_{0}^{1}{s^{2} ds} dr} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}(Tu)(t)
[/mm]
was dann zu [mm] T^{n}=(\bruch{1}{3})^{n-1}T [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 1 führt.
so dass dann ja [mm] \summe_{k=0}^{\infty} T^{k} [/mm] = I + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{3})^{k-1}T [/mm] = I + [mm] \bruch{3}{2}T [/mm] konvergiert.
Aber durch die "2" in dem Integral komme ich dann ja bei
[mm] (T^{2}u)(t) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{2st \integral_{0}^{1}{2sr u(r) dr} ds} [/mm] = 4 [mm] \integral_{0}^{1}{st u(r) \integral_{0}^{1}{s^{2} ds} dr} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}(Tu)(t)
[/mm]
führt was leider divergiert?
Hab ich da einen Denkfehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Löse die Integralgleichung
> u(t) - [mm]\integral_{0}^{1}{2stu(s)ds}[/mm] = [mm]sin(\pi[/mm] t) , t [mm]\in[/mm]
> [0,1], u [mm]\in[/mm] C([0,1])
>
> mit der Hilfe der Neumanschen Reihe.
> Ich habe die Aufgabe mal für
>
> u(t) - [mm]\integral_{0}^{1}{stu(s)ds}[/mm] = [mm]sin(\pi[/mm] t) , t [mm]\in[/mm]
> [0,1], u [mm]\in[/mm] C([0,1])
>
> gelöst durch:
> Sei U := C([0,1]), [mm]c(t)=sin(\pi[/mm] t) und T: U [mm]\to[/mm] U,
> (Tu)(t):= [mm]\integral_{0}^{1}{st u(s) ds}[/mm]
>
> so dass u = c + Tu, bzw. (I-T)u =c
>
> also u = [mm](I-T)^{-1}c[/mm]
>
> Und dann bei der Ermittlung von [mm]T^{2}[/mm] :
> [mm](T^{2}u)(t)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{st \integral_{0}^{1}{sr u(r) dr} ds}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{st u(r) \integral_{0}^{1}{s^{2} ds} dr}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3}(Tu)(t)[/mm]
>
> was dann zu [mm]T^{n}=(\bruch{1}{3})^{n-1}T[/mm] , n [mm]\ge[/mm] 1 führt.
>
> so dass dann ja [mm]\summe_{k=0}^{\infty} T^{k}[/mm] = I +
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{3})^{k-1}T[/mm] = I +
> [mm]\bruch{3}{2}T[/mm] konvergiert.
>
> Aber durch die "2" in dem Integral komme ich dann ja bei
>
> [mm](T^{2}u)(t)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{2st \integral_{0}^{1}{2sr u(r) dr} ds}[/mm]
> = 4 [mm]\integral_{0}^{1}{st u(r) \integral_{0}^{1}{s^{2} ds} dr}[/mm]
> = [mm]\bruch{4}{3}(Tu)(t)[/mm]
>
> führt was leider divergiert?
>
> Hab ich da einen Denkfehler?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Guten Abend obda1701,
ich habe versucht, deine Frage zu verstehen. Mir ist aber
nicht klar, welches genau die Variablen sind. Ist zum
Beispiel in
[mm]\integral_{0}^{1}{2stu(s)ds}[/mm]
"[mm]\ stu[/mm]" ein Symbol für eine (mir unbekannte) Funktion
oder steht es für ein Produkt der Form
[mm]\ s*t*u(s)[/mm] ?
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 Do 05.06.2008 | | Autor: | obda1701 |
s und t sind Variablen. t [mm] \in [/mm] [0,1] und über s wird ja integriert.
also
u(t) - [mm] \integral_{0}^{1}{2*s*t*u(s)ds} [/mm] = [mm] sin(\pi [/mm] t) , t [mm] \in [/mm] [0,1], u [mm] \in [/mm] C([0,1])
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Do 05.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Deine Rechnung mit
(Tu)(t) := $ [mm] \integral_{0}^{1}{st u(s) ds} [/mm] $
ist richtig, also T² = 1/3T.
Sei R der Operator aus der Aufgabe, also R = 2T,
dann R² = 4T² = 4/3T = 2/3R, dh. die Neumannsche Reihe für R ist konvergent.
FRED
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