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| Aufgabe | Lösen sie folgende Ungleichungen im Bereich der reellen Zahlen:
1.) ln|x+4|>1
2.) [mm] \bruch{x+4} {x-2} [/mm] < x
3.) [mm] \wurzel{x^2-1} [/mm] > x-2
4.) [mm] 1<3^{|x^2-x|}<9 [/mm]
5.) |x+4| < |-x+|x|| |
Hallo liebe MatheRaum-Mitglieder.
Ich habe ein Problem beim Lösen dieser Ungleichungen. Mir ist klar, dass man beim multiplizieren & dividieren mit negativen Zahlen die < > Zeichen umdreht, und man auch die Fallunterscheidung einsetzt.
Ich kann damit auch einfachste Ungleichungen lösen. Aber mit diesen hier komme ich überhaupt nicht klar.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand den genauen Rechenweg zeigen/erklären könnte.
Schon mal vielen, vielen Dank und Grüße.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, omnis,
> Lösen sie folgende Ungleichungen im Bereich der reellen
> Zahlen:
> 1.) ln|x+4|>1
> 2.) [mm] \bruch{x+4}{x-2} [/mm] < x
> 3.) [mm] \wurzel{x^2-1} [/mm] > x-2
> 4.) [mm] 1<3^{|x^2-x|}<9 [/mm]
> 5.) |x+4| < |-x+|x||
> Hallo liebe MatheRaum-Mitglieder.
> Ich habe ein Problem beim Lösen dieser Ungleichungen. Mir ist klar, dass man beim multiplizieren & dividieren mit negativen Zahlen die < > Zeichen umdreht, und man auch die Fallunterscheidung einsetzt.
> Ich kann damit auch einfachste Ungleichungen lösen. Aber mit diesen hier komme ich überhaupt nicht klar.
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand den genauen Rechenweg zeigen/erklären könnte.
In solchen Fällen ist es besser, getrennte Fragestränge aufzumachen:
Dann braucht nicht ein einziges Helferlein gleich alles zu beantworten!
Ich helf' Dir mal bei der ersten Frage.
ln|x+4| > 1.
(1) Zunächst ist klar, dass x [mm] \not= [/mm] -4 sein muss, da im ln nicht 0 stehen darf!
(2) Nun lösen wir die Beträge auf:
|x+4| = x+4 für x > -4 (1.Fall)
|x+4| = -x-4 für x < -4 (2.Fall)
(3) Nun lösen wir die beiden Fälle getrennt:
1.Fall: x > -4
Dort können wir schreiben: ln(x+4) > 1 | [mm] e^{...}
[/mm]
x + 4 > [mm] e^{1} [/mm] bzw. x + 4 > e <=> x > e-4; [mm] L_{1} [/mm] = ]e-4; [mm] +\infty[
[/mm]
2.Fall: x < -4
Dort ist die Ungleichung folgendermaßen gebaut:
ln(-x-4) > 1
weiter wie im ersten Fall:
-x-4 > e <=> -x > e+4 <=> x < -e-4; [mm] L_{2} [/mm] = [mm] ]-\infty; [/mm] -e-4[
Die Gesamtlösungsmenge ist die Vereinigungsmenge von [mm] L_{1} [/mm] und [mm] L_{2}, [/mm] also:
[mm] L_{ges} [/mm] = [mm] L_{1} \cup\ L_{2}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Mo 09.10.2006 | | Autor: | omnis007 |
> In solchen Fällen ist es besser, getrennte Fragestränge aufzumachen:
> Dann braucht nicht ein einziges Helferlein gleich alles zu beantworten!
Ok, das merke ich mir für das nächste mal.
Ansonsten natürlich vielen Dank!
Wenn man das ganze so vor sich sieht, ist es ganz einfach. Aber bis man mal darauf kommt....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Fr 13.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Tschau! Habe hier mal die Lösungen der ersten zwei Aufgaben
1)ln Betrag(x+4) > 1, folglich muss gelten: Betrag(x + 4) > e und somit
x > e - 4 und x < e - 4
2)(x+4)/(x-2) - x < 0, damit du die Fallunterscheidung machen kannst formst du den Term um, bis du das erhältst:
(x - 4) (x + 1) /( x - 2) > 0, wenn nun x > 4 wäre, dann gibts Plus Mal Plus geteilt durch Plus, also positiv. Wenn x > 4 stimmt also die Ungleichung. Was ist nun, wenn 2 < x < 4 dann gibts Minus Mal Plus geteilt durch Plus, also Minus, falsch. Wenn nun -1 < x < 2, gibts Minus Mal Plus geteilt durch Minus, also Plus, richtig. Wenn x < -1 gibts überall Minus, am Schluss also wieder Minus, also falsch. Folglich gibt es nur die Lösung x > 4 und
- 1 < x < 2.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Sa 14.10.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Jackie,
> Tschau! Habe hier mal die Lösungen der ersten zwei
> Aufgaben
>
> 1)ln Betrag(x+4) > 1, folglich muss gelten: Betrag(x + 4) >
> e und somit
> x > e - 4 und x < e - 4
Meinst Du mit "und" das mathematische "und", also [mm] "\wedge"?
[/mm]
Dann ist die Lösungsmenge leer!
Oder meinst Du "oder", also [mm] "\vee"? [/mm]
Dann wäre L letztlich alles außer x = e - 4 !
Im letzteren Fall setze doch mal z.B. x=-2 in die Ungleichung |x+4| > e ein! Es ergibt sich eindeutig eine falsche Aussage!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Sa 14.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Sorry meine oder, das heisst [mm] \vee
[/mm]
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