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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Fr 26.06.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung
$ y'(x) + [mm] \bruch{y( x )}{ x} [/mm] = cos x$ $fuer$ [mm] $x\not=0 [/mm] $ |
Hallo,
wäre jemand so freundlich und würde mir erklären, wie man überhaupt an sowas drangeht. Habe die theoretisch Herleitung in der Vorlesung leider nicht so ganz verstanden.
Also am besten wahrscheinlich erstmal umstellen:
$ y'(x) = cos x- [mm] \bruch{y( x )}{ x} [/mm] $
Und jetzt?
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Hallo n0000b,
> Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung
> [mm]y'(x) + \bruch{y( x )}{ x} = cos x[/mm] [mm]fuer[/mm] [mm]x\not=0[/mm]
> Hallo,
>
> wäre jemand so freundlich und würde mir erklären, wie man
> überhaupt an sowas drangeht. Habe die theoretisch
> Herleitung in der Vorlesung leider nicht so ganz
> verstanden.
>
> Also am besten wahrscheinlich erstmal umstellen:
> [mm]y'(x) = cos x- \bruch{y( x )}{ x}[/mm]
>
> Und jetzt?
Umstellen ist ne gute Idee:
Nun löse zunächst das homogene Problem: [mm] $y_{hom}'(x)=-\frac{y_{hom}(x)}{x}$
[/mm]
Das kannst du bequem mit der Methode der Trennung der Variablen machen ...
Wenn du das machst, solltest du auf [mm] $y_{hom}(x)=c\cdot{}\frac{1}{x}$ [/mm] kommen.
Nun weiter mit Variation der Konstanten
Setze [mm] $y(x)=c(x)\cdot{}\frac{1}{x}$
[/mm]
Das ableiten, mit der Ausgangsdgl vergleichen (dabei dein berechnetes [mm] $y_{hom}(x)$ [/mm] einsetzen) und schlussendlich $c(x)$ durch Integratíon bestimmen.
Das klingt kompliziert, ist es aber nicht 
Gehe mal die Schritte einen nach dem anderen ab, dann wirst du sehen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Fr 26.06.2009 | | Autor: | n0000b |
> Nun löse zunächst das homogene Problem:
> [mm]y_{hom}'(x)=-\frac{y_{hom}(x)}{x}[/mm]
>
> Das kannst du bequem mit der Methode der Trennung der
> Variablen machen ...
>
> Wenn du das machst, solltest du auf
> [mm]y_{hom}(x)=c\cdot{}\frac{1}{x}[/mm] kommen.
>
Ok, also da würde ich so ansetzen, dass ich $y'(x)$ umschreibe.
[mm] $\bruch{dy}{dx}=-\frac{y_{hom}(x)}{x}$ $\Rightarrow$ $\bruch{dy}{y_{hom}(x)}=-\bruch{dx}{x}$ [/mm]
Aber wie komme ich dann auf dein Ergebnis?
Was habe ich davon, wenn ich nur das homogene y(x) habe. Was kann ich dann damit anfangen?
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Hallo,
> > Nun löse zunächst das homogene Problem:
> > [mm]y_{hom}'(x)=-\frac{y_{hom}(x)}{x}[/mm]
> >
> > Das kannst du bequem mit der Methode der Trennung der
> > Variablen machen ...
> >
> > Wenn du das machst, solltest du auf
> > [mm]y_{hom}(x)=c\cdot{}\frac{1}{x}[/mm] kommen.
> >
> Ok, also da würde ich so ansetzen, dass ich [mm]y'(x)[/mm]
> umschreibe.
> [mm]\bruch{dy}{dx}=-\frac{y_{hom}(x)}{x}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{y_{hom}(x)}=-\bruch{dx}{x}[/mm]
>
> Aber wie komme ich dann auf dein Ergebnis?
[mm]\int \bruch{dy}{y}=-\int\bruch{dx}{x}[/mm]
[mm] $ln|y|=-ln|x|+C_1$
[/mm]
[mm] $ln|y|=ln\frac{1}{|x|}+C_1$
[/mm]
[mm] $y_h=C*\frac{1}{x}$
[/mm]
> Was habe ich davon, wenn ich nur das homogene y(x) habe.
> Was kann ich dann damit anfangen?
[mm] $y_h=C*\frac{1}{x}$
[/mm]
Jetzt machst Du aus der Konstanten C eine Funktion von x: C(x). Dann leitest Du [mm] y_h [/mm] nach der Kettenregel ab und setzt sowohl [mm] y_h [/mm] als auch [mm] y_h' [/mm] in die inhomogene DGL ein.
Daraus bestimmst Du dein C(x) und setzt es dann in [mm] y_h [/mm] ein.
[mm] $y_h=C(x)*\frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $y_h'=C'*\frac{1}{x}-C*\frac{1}{x^2}$
[/mm]
[mm] $C'*\frac{1}{x}-C*\frac{1}{x^2}+C*\frac{1}{x^2}=cos(x)$
[/mm]
$C(x)'=x*cos(x)$
[mm] $\int\;dC=\int x*cos(x)\;dx$
[/mm]
[mm] $C=x*sin(x)-\int sin(x)\;dx$
[/mm]
$C(x)=x*sin(x)+cos(x)+D$
Jetzt einsetzen in:
[mm] $y_h=C*\frac{1}{x}$
[/mm]
allgemeine Lösung:
[mm] $y=sin(x)+\frac{cos(x)}{x}+\frac{D}{x}$
[/mm]
So ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Fr 26.06.2009 | | Autor: | n0000b |
> Hallo,
>
> > > Nun löse zunächst das homogene Problem:
> > > [mm]y_{hom}'(x)=-\frac{y_{hom}(x)}{x}[/mm]
> > >
> > > Das kannst du bequem mit der Methode der Trennung der
> > > Variablen machen ...
> > >
> > > Wenn du das machst, solltest du auf
> > > [mm]y_{hom}(x)=c\cdot{}\frac{1}{x}[/mm] kommen.
> > >
> > Ok, also da würde ich so ansetzen, dass ich [mm]y'(x)[/mm]
> > umschreibe.
> > [mm]\bruch{dy}{dx}=-\frac{y_{hom}(x)}{x}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> > [mm]\bruch{dy}{y_{hom}(x)}=-\bruch{dx}{x}[/mm]
> >
> > Aber wie komme ich dann auf dein Ergebnis?
>
>
>
> [mm]\int \bruch{dy}{y}=-\int\bruch{dx}{x}[/mm]
>
> [mm]ln|y|=-ln|x|+C_1[/mm]
>
> [mm]ln|y|=ln\frac{1}{|x|}+C_1[/mm]
>
> [mm]y_h=C*\frac{1}{x}[/mm]
>
>
OK, ich wusste nicht, dass man das alles in die Konstante reinschieben kann.
>
> > Was habe ich davon, wenn ich nur das homogene y(x) habe.
> > Was kann ich dann damit anfangen?
>
>
> [mm]y_h=C*\frac{1}{x}[/mm]
>
> Jetzt machst Du aus der Konstanten C eine Funktion von x:
> C(x). Dann leitest Du [mm]y_h[/mm] nach der Kettenregel ab und setzt
> sowohl [mm]y_h[/mm] als auch [mm]y_h'[/mm] in die inhomogene DGL ein.
>
> Daraus bestimmst Du dein C(x) und setzt es dann in [mm]y_h[/mm]
> ein.
>
> [mm]y_h=C(x)*\frac{1}{x}[/mm]
>
> [mm]y_h'=C'*\frac{1}{x}-C*\frac{1}{x^2}[/mm]
>
> [mm]C'*\frac{1}{x}-C*\frac{1}{x^2}+C*\frac{1}{x^2}=cos(x)[/mm]
>
> [mm]C(x)'=x*cos(x)[/mm]
>
> [mm]\int\;dC=\int x*cos(x)\;dx[/mm]
>
> [mm]C=x*sin(x)-\int sin(x)\;dx[/mm]
>
> [mm]C(x)=x*sin(x)+cos(x)+D[/mm]
>
> Jetzt einsetzen in:
>
> [mm]y_h=C*\frac{1}{x}[/mm]
>
> allgemeine Lösung:
>
> [mm]y=sin(x)+\frac{cos(x)}{x}+\frac{D}{x}[/mm]
>
>
> So ich mich nicht verrechnet habe.
>
> LG, Martinius
Supi, vielen dank. Das habe ich jetzt soweit verstanden. Ich hoffe, dass kann ich auch auf meine anderen Aufgaben umsetzen. Mit denen beschäftige ich mich morgen 
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