Lösungen der Gleichung < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Do 02.07.2009 | | Autor: | ChaoZz |
| Aufgabe | Gegeben ist die komplexe Zahl a= - [mm] \wurzel{3} [/mm] + j
Geben Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen [mm] z^3 [/mm] = [mm] a^3 [/mm] in der kartesischen Form an und stellen Sie die Lösungen in der Gauschen Zahlenebene dar. |
Hallo zusammen,
ich hab diese Aufgabe gerechnet und würde gerne wissen ob ich richtig liege. Hier mein Rechenweg.
[mm] z^3 [/mm] = (- [mm] \wurzel{3} [/mm] + [mm] j)^3
[/mm]
[mm] z^3 [/mm] = - [mm] \wurzel{3} [/mm] * 3 - j
[mm] \alpha [/mm] = arctan -1/ - [mm] \wurzel{3} [/mm] * 3 + [mm] \pi
[/mm]
[mm] \alpha \approx [/mm] 14,03
z0 = 3. [mm] \wurzel{\wurzel28} [/mm] (cos 14,03/3 + j sin 14,03/3)
(Obige Zeile soll 3. Wurzel aus Wurzel 28 heißen)
Z0 [mm] \approx [/mm] 1,74 + 8,15j
z1 = 3. [mm] \wurzel{\wurzel28} [/mm] (cos 14,03 + 2 [mm] \pi [/mm] /3 + j sin 14,03 + 2 [mm] \pi [/mm] /3)
Z1 [mm] \approx [/mm] 11,78 + 0,6j
z2 = 3. [mm] \wurzel{\wurzel28} [/mm] (cos 14,03 + 4 [mm] \pi [/mm] /3 + j sin 14,03 + 4 [mm] \pi [/mm] /3)
Z3 [mm] \approx [/mm] 1,72 + 0,27j
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Do 02.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die komplexe Zahl a= - [mm]\wurzel{3}[/mm] + j
> Geben Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen [mm]z^3[/mm] = [mm]a^3[/mm]
> in der kartesischen Form an und stellen Sie die Lösungen
> in der Gauschen Zahlenebene dar.
> Hallo zusammen,
>
> ich hab diese Aufgabe gerechnet und würde gerne wissen ob
> ich richtig liege. Hier mein Rechenweg.
>
> [mm]z^3[/mm] = (- [mm]\wurzel{3}[/mm] + [mm]j)^3[/mm]
> [mm]z^3[/mm] = - [mm]\wurzel{3}[/mm] * 3 - j
Das ist falsch ! Es ist [mm] $a^3 [/mm] = 8j$
FRED
>
> [mm]\alpha[/mm] = arctan -1/ - [mm]\wurzel{3}[/mm] * 3 + [mm]\pi[/mm]
> [mm]\alpha \approx[/mm] 14,03
>
> z0 = 3. [mm]\wurzel{\wurzel28}[/mm] (cos 14,03/3 + j sin 14,03/3)
> (Obige Zeile soll 3. Wurzel aus Wurzel 28 heißen)
> Z0 [mm]\approx[/mm] 1,74 + 8,15j
>
> z1 = 3. [mm]\wurzel{\wurzel28}[/mm] (cos 14,03 + 2 [mm]\pi[/mm] /3 + j sin
> 14,03 + 2 [mm]\pi[/mm] /3)
> Z1 [mm]\approx[/mm] 11,78 + 0,6j
>
> z2 = 3. [mm]\wurzel{\wurzel28}[/mm] (cos 14,03 + 4 [mm]\pi[/mm] /3 + j sin
> 14,03 + 4 [mm]\pi[/mm] /3)
> Z3 [mm]\approx[/mm] 1,72 + 0,27j
>
> Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Do 02.07.2009 | | Autor: | ChaoZz |
Danke für die superschnelle Antwort. Ich hab auch einen Fehler gefunden
aber ich verstehe noch nicht ganz wie du auf [mm] a^3 [/mm] = 8j kommst.
Ich setze doch in a : [mm] -\wurzel{3} [/mm] + j ein, so dass ich folgende Gleichung erhalte : [mm] z^3 [/mm] = ( - [mm] \wurzel{3} [/mm] + j [mm] )^3 [/mm]
Nach binomischer Formel
[mm] z^3 [/mm] = [mm] (-\wurzel{3} [/mm] + j) * [mm] ((-\wurzel{3})^2 [/mm] - [mm] (-\wurzel{3})j [/mm] + [mm] j^2)
[/mm]
also
[mm] z^3 [/mm] = [mm] (-\wurzel{3} [/mm] + j) * (3 + [mm] \wurzel{3}j [/mm] - 1)
Nun rechne ich um die Klammern aufzulösen
[mm] -\wurzel{3}*3 [/mm] = [mm] -\wurzel{3}*3 [/mm]
[mm] -\wurzel{3}*\wurzel{3}j [/mm] = 3j
[mm] -\wurzel{3}*(-1) [/mm] = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
j * 3 = 3j
j * [mm] \wurzel{3}j [/mm] = [mm] \wurzel{3}j^2
[/mm]
j*(-1) = -j
ich erhalte
[mm] z^3 [/mm] = [mm] -\wurzel{3}*3 [/mm] - 3j + [mm] \wurzel{3} [/mm] + 3j + [mm] \wurzel{3}j^2 [/mm] - j
Ich weiß nicht was ich falsch mache. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Do 02.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChaoZz!
> Nach binomischer Formel
> [mm]z^3[/mm] = [mm](-\wurzel{3}[/mm] + j) * [mm]((-\wurzel{3})^2[/mm] - [mm](-\wurzel{3})j[/mm] + [mm]j^2)[/mm]
Du hast in der hinteren Klammer beim mittleren Term den Faktor $2_$ vergessen. Schließlich gilt:
[mm] $$(a\pm b)^2 [/mm] \ = \ [mm] a^2\pm [/mm] \ [mm] \red{2}*a*b+b^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Do 02.07.2009 | | Autor: | ChaoZz |
Ok vielen Dank Leute, leider komm ich trotzdem nicht weiter. Ich werd echt verrückt. Seit 4 Stunden sitze ich an dieser Aufgabe und komme mir langsam vor wie der größte Idiot.
Wenn ich nun den Hinweiß von Loddar beachte bekomme ich folgende Gleichung.
[mm] z^3 [/mm] = [mm] (-\wurzel{3} [/mm] + j) * [mm] ((-\wurzel{3})^2 [/mm] - [mm] 2*(-\wurzel{3})j [/mm] + [mm] j^2)
[/mm]
also
[mm] z^3 [/mm] = [mm] (-\wurzel{3} [/mm] + j) * (3 - [mm] 2*(-\wurzel{3})j [/mm] - 1)
Ich Rechne
[mm] -\wurzel{3} [/mm] * 3 = [mm] -\wurzel{3} [/mm] * 3
[mm] -\wurzel{3} [/mm] * [mm] 2(-\wurzel{3})j [/mm] = 6j
[mm] -\wurzel{3} [/mm] * (-1) = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
j * 3 = 3j
j * [mm] 2(-\wurzel{3})j [/mm] = [mm] 2(-\wurzel{3})j^2
[/mm]
j * (-1) = -j
[mm] z^3 [/mm] = [mm] -\wurzel{3}*3 [/mm] + 6j + [mm] \wurzel{3} [/mm] + 3j - [mm] 2(-\wurzel{3})j^2 [/mm] - j
Das wäre nun also meine Gleichung und mit der bekomme ich nicht [mm] z^3=8j [/mm] raus. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Do 02.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChaoZz!
Ersetze in Deiner letzten Zeile [mm] $j^2 [/mm] \ := \ -1$ und fasse anschließend zusammen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Do 02.07.2009 | | Autor: | ChaoZz |
Hab ich bereits in Zeile 2 gemacht. Die letzte Zeile bzw Gleichung ist das Ergebnis sozusagen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Do 02.07.2009 | | Autor: | ChaoZz |
Ich meinte in der 2. Gleichung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Do 02.07.2009 | | Autor: | ChaoZz |
Entschuldige, ich weiß nun was du meinst. Ich probiers gleich mal aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Do 02.07.2009 | | Autor: | ChaoZz |
Juhu, also ich komme jetzt auf die [mm] z^3 [/mm] = 8j
Ich berechne nun also |z| und den Winkel [mm] \alpha
[/mm]
|z| = [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] = 8
[mm] \alpha [/mm] = arctan 8/1 [mm] \approx [/mm] 82,9
Erste Ergebnis wäre dann [mm] (3.\wurzel{8} [/mm] heißt 3. Wurzel aus 8)
z0 = [mm] 3.\wurzel{8}( [/mm] cos 82,9/3 + j sin 83,9/3)
z0 [mm] \approx [/mm] 1,77 + 0,93j
z1 = [mm] 3.\wurzel{8}( [/mm] cos [mm] 82,9+2\pi/3 [/mm] + j sin [mm] 83,9+2\pi/3)
[/mm]
z1 [mm] \approx [/mm] 1,74 + 0,99j
z2 = [mm] 3.\wurzel{8}( [/mm] cos [mm] 82,9+4\pi/3 [/mm] + j sin [mm] 83,9+4\pi/3)
[/mm]
z2 [mm] \approx [/mm] 1,7 + 1,05j
Kommt das in etwa hin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Do 02.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChaoZz!
> Ich berechne nun also |z| und den Winkel [mm]\alpha[/mm]
>
> |z| = [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm] = 8
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\alpha[/mm] = arctan 8/1 [mm]\approx[/mm] 82,9
Wo kommt hier die $1_$ her? Diese komplexe Zahl liegt auf der y-Achse. Der Winkel beträgt also [mm] $\alpha [/mm] \ = \ 90 ° \ [mm] \hat= [/mm] \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Do 02.07.2009 | | Autor: | ChaoZz |
Danke Danke Danke.
Solangsam klappts.
Ergebnisse wären dann
z0 = 1,73 + j
z1 = -1,73 + j
z2 = j
Kann das sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 02.07.2009 | | Autor: | ChaoZz |
Ok, ich habs nochmal nachgerechnet, hab mich nur im TR vertippt.
das Ergebnis lautet also
z0 = [mm] \wurzel{3} [/mm] + j
z1 = [mm] -\wurzel{3} [/mm] + j
z3 = -2j
?
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Hallo nochmal,
> Ok, ich habs nochmal nachgerechnet, hab mich nur im TR
> vertippt.
Hmm, es empfiehlt sich sehr, sowas mal per Hand durchzurechnen, dann vergisst man nie wieder, wie das geht 
>
> das Ergebnis lautet also
>
> z0 = [mm]\wurzel{3}[/mm] + j
> z1 = [mm]-\wurzel{3}[/mm] + j
> z3 = -2j
>
> ?
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Jo
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Do 02.07.2009 | | Autor: | ChaoZz |
YEAAHHAHAHAH *Randalier* *Lampe umwerf* *Fass aufmach*
Danke Leute. ihr habt mir wirklich sehr geholfen. :D
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Hallo,
kleine Anmerkung noch ...
> Juhu, also ich komme jetzt auf die [mm]z^3[/mm] = 8j
>
> Ich berechne nun also |z| und den Winkel [mm]\alpha[/mm]
>
> |z| = [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm] = 8 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Achtung, das ist der Betrag von [mm] z^3, [/mm] also [mm] |z^3|=|z|^3=8$ [/mm] und damit ist der Betrag deiner 3 Lösungen [mm] $z_1,z_2,z_3$ [/mm] jeweils [mm] $\sqrt[3]{8}=2$ [/mm] !!
>LG
schachuzipus
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Hallo ChaoZz,
> Danke für die superschnelle Antwort. Ich hab auch einen
> Fehler gefunden
> aber ich verstehe noch nicht ganz wie du auf [mm]a^3[/mm] = 8j
> kommst.
>
> Ich setze doch in a : [mm]-\wurzel{3}[/mm] + j ein, so dass ich
> folgende Gleichung erhalte : [mm]z^3[/mm] = ( - [mm]\wurzel{3}[/mm] + j [mm])^3[/mm]
> Nach binomischer Formel
> [mm]z^3[/mm] = [mm](-\wurzel{3}[/mm] + j) * [mm]((-\wurzel{3})^2[/mm] -
> [mm](-\wurzel{3})j[/mm] + [mm]j^2)[/mm]
> also
> [mm]z^3[/mm] = [mm](-\wurzel{3}[/mm] + j) * (3 + [mm]\wurzel{3}j[/mm] - 1)
>
> Nun rechne ich um die Klammern aufzulösen
> [mm]-\wurzel{3}*3[/mm] = [mm]-\wurzel{3}*3[/mm]
> [mm]-\wurzel{3}*\wurzel{3}j[/mm] = 3j
> [mm]-\wurzel{3}*(-1)[/mm] = [mm]\wurzel{3}[/mm]
> j * 3 = 3j
> j * [mm]\wurzel{3}j[/mm] = [mm]\wurzel{3}j^2[/mm]
> j*(-1) = -j
>
> ich erhalte
> [mm]z^3[/mm] = [mm]-\wurzel{3}*3[/mm] - 3j + [mm]\wurzel{3}[/mm] + 3j + [mm]\wurzel{3}j^2[/mm]
> - j
>
> Ich weiß nicht was ich falsch mache. :(
Nun, ja da hast Du laut Loddar einen Faktor vergessen.
Eine andere Vorgehensweise ist folgende:
Eine Lösung der Gleichung [mm]z^{3}=a^{3}[/mm] is mit Sicherheit [mm]z_{0}=a[/mm]
Durch Polynomdivison erhältst Du eine quadratische Gleichung in z:
[mm]\left(z^{3}-a^{3}\right):\left(z-a\right)=z^{2} + ... \ z + ... [/mm]
Diese quadratische Gleichung bestimmt die anderen zwei Lösungen [mm]z_{1}, \ z_{2}[/mm].
Die Lösungen kannst Du jetzt erst einmal formal ermitteln.
Gruß
MathePower
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