Lösungen der Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Andiy |
| Aufgabe 1 | | [mm] z^4-2*z^2+2+j=0 [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] z^4+4*z^2+1+4j=0 [/mm] |
Ich soll bei diesen beiden Aufgaben sämtliche Lösungen bestimmen. Ich weiss nun nicht wie ich an diese Aufgaben herangehen soll.
Was ich schon gemacht habe ist , dass ich [mm] z^2 [/mm] zu x substituiert habe.
Würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]z^4-2*z^2+2+j=0[/mm]
> [mm]z^4+4*z^2+1+4j=0[/mm]
> Ich soll bei diesen beiden Aufgaben sämtliche Lösungen
> bestimmen. Ich weiss nun nicht wie ich an diese Aufgaben
> herangehen soll.
>
> Was ich schon gemacht habe ist , dass ich [mm]z^2[/mm] zu x
> substituiert habe.
Das ist doch prima. Damit bekommst Du eine komplexe quadratische Gleichung. Weiter wie gewohnt mit der pq-Formel
FRED
>
> Würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Andiy |
| Aufgabe | | [mm] z^4-2*z^2+2+j=0 [/mm] |
Nach dem Substituieren bin ich ja bei [mm] x^2-2x+2+j=0
[/mm]
Danach ist ja für die pq-Formel p=-2 und q=2+j dann lautet die pq-Formel ja x1,2= [mm] -\bruch{-2}{2}\pm\wurzel{1-(2+j)}
[/mm]
Bin ich soweit noch richtig?
Wie ziehe ich nun die Wurzel aus der komplexen Zahl?
Und wann muss ich resubstituieren? Ich muss ja 4 Lösungen erhalten.
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Hallo Andiy,
> [mm]z^4-2*z^2+2+j=0[/mm]
> Nach dem Substituieren bin ich ja bei [mm]x^2-2x+2+j=0[/mm]
>
> Danach ist ja für die pq-Formel p=-2 und q=2+j dann lautet
> die pq-Formel ja x1,2= [mm]-\bruch{-2}{2}\pm\wurzel{1-(2+j)}[/mm]
Bzw. [mm]x_{1,2}=1\pm\sqrt{-1-j}[/mm]
>
> Bin ich soweit noch richtig?
Ja!
>
> Wie ziehe ich nun die Wurzel aus der komplexen Zahl?
Wandle zunächst [mm]-1-i[/mm] in Exponentialform um, also in die Gestalt [mm]r\cdot{}e^{j\cdot{}\varphi}[/mm]
Dann kannst du die 2-ten Wurzeln wie üblich berechnen ...
> Und wann muss ich resubstituieren? Ich muss ja 4 Lösungen
> erhalten.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Andiy |
| Aufgabe | | $ [mm] z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0 [/mm] $ |
Dann habe ich ja unter der Wurzel z=-1-j
Demnach ist a=-1 und b auch gleich -1.
Danach komm ich darauf das [mm] r=\wurzel{2} [/mm] ist und der Winkel 225° richtig?
Somit habe ich [mm] z=\wurzel{2}*e^{-j*225°} [/mm] Was geschieht mit der [mm] 1\pm [/mm] davor? Wie muss ich jetzt weitermachen um auf sämtliche Lösungen zu kommen?
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Hallo Andiy,
> [mm]z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0[/mm]
> Dann habe ich ja unter der Wurzel z=-1-j
>
> Demnach ist a=-1 und b auch gleich -1.
> Danach komm ich darauf das [mm]r=\wurzel{2}[/mm] ist und der Winkel
> 225° richtig?
>
> Somit habe ich [mm]z=\wurzel{2}*e^{-j*225°}[/mm] Was geschieht mit
> der [mm]1\pm[/mm] davor? Wie muss ich jetzt weitermachen um auf
> sämtliche Lösungen zu kommen?
>
Es ist doch zunächst
[mm]z=-1-j=\wurzel{2}*e^{j*225^{\circ}}[/mm]
Die Wurzeln draus sind
[mm]\wurzel{z}=\wurzel{\wurzel{2}*e^{j*225^{\circ}}}=\wurzel[4]{2}e^{j*\bruch{225^{\circ}+k*180^{\circ}}{2}}, \ k=0,1[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Di 15.03.2011 | | Autor: | Andiy |
| Aufgabe | | $ [mm] z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0 [/mm] $ |
Ich habe es nun wieder neu gemacht mit der quadratischen Ergänzung und habe nach Beachtung der obigen Antwort nun folgendes herausbekommen.
[mm] z^2=\wurzel[4]{2}*e^{\bruch{225°+k*180}{2}+1
Stimmt das so und warum ist jetzt k wie oben geschrieben 0,1?
Muss ich jetzt um auf beide Lösungen zu kommen nochmals die quadrat Wurzel aus der ganzen rechten Seite ziehen?
Gruß Andi
}[/mm]
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> [mm]z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0[/mm]
> Ich habe es nun wieder neu gemacht mit der quadratischen
> Ergänzung und habe nach Beachtung der obigen Antwort nun
> folgendes herausbekommen.
>
> [mm]z^2=\wurzel[4]{2}*e^{\bruch{225°+k*180}{2}+1
Stimmt das so und warum ist jetzt k wie oben geschrieben 0,1?
k ist einmal 0 und einmal 1
du kannst auch 2 einsetzen, das ergibt aber wegen der periodizität wieder das gleiche ergebnis wie k=0
Muss ich jetzt um auf beide Lösungen zu kommen nochmals die quadrat Wurzel aus der ganzen rechten Seite ziehen?
nein, nur k=0 und k=1 einsetzen
Gruß Andi}[/mm]
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 Di 15.03.2011 | | Autor: | Andiy |
| Aufgabe | | $ [mm] z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0 [/mm] $ |
Und dann ist die Aufgabe gelöst?
Warum muss ich denn k*180 schreiben und nicht k*360?
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Gruß Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Di 15.03.2011 | | Autor: | Andiy |
| Aufgabe | | $ [mm] z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0 [/mm] $ |
Wenn ich das jetzt wie oben ausrechne bekomm ich für z1 und z2 2 riesige Zahlen raus. Das kann doch nicht das Ergebnis sein?! In welcher Form müssen die beiden Lösungen jetzt dargestellt werden?
Ist das so überhaupt richtig?
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Hallo Andiy,
> [mm]z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0[/mm]
> Wenn ich das jetzt wie oben ausrechne bekomm ich für z1
> und z2 2 riesige Zahlen raus. Das kann doch nicht das
Poste dazu Deine Ergebnisse.
> Ergebnis sein?! In welcher Form müssen die beiden
> Lösungen jetzt dargestellt werden?
Nun, wiederum als komplexe Zahl.
>
> Ist das so überhaupt richtig?
Das können wir erst beurteilen,
wenn Du Deine Ergebnisse postest.
Gruss
MathePower
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Hallo Andiy,
> [mm]z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0[/mm]
> Und dann ist die Aufgabe gelöst?
Ja.
> Warum muss ich denn k*180 schreiben und nicht k*360?
Natürlich muss es "k*360" heißen.
>
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Gruß Andi
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:53 Di 15.03.2011 | | Autor: | Andiy |
| Aufgabe | | $ [mm] z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0 [/mm] $ |
Ok dann habe ich da stehen:
[mm] z^2=\wurzel[4]{2}*e^{j*(\bruch{225°+k*360}{2})}+1
[/mm]
Stimmen diese 225° überhaupt ? Der Zeiger liegt ja im dritten Quadranten müssten es dann nicht -135° sein gegen den Uhrzeigersinn? Habe das berechnet mit [mm] arctan\bruch{-1}{-1}+180°=225° [/mm]
Mit k=0 und k=1 habe ich dann
k=0 --> [mm] z_{0}=\wurzel[4]{2}*e^{j*112,5}+1
[/mm]
k=1 --> [mm] z_{1}=\wurzel[4]{2}*e^{j*292,5}+1
[/mm]
Und jetzt muss ich das wieder als Komplexe Zahl mit Realteil und Imaginärteil schreiben?
Ich weiss nicht wie ich das umwandeln muss?!
Gruß Andiy
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Hallo,
fuer die Umwandlung: Du kennst doch sicher die Formel:
[mm] $e^{i*\phi} [/mm] = [mm] \cos(\phi) [/mm] + [mm] i*\sin(\phi)$
[/mm]
?
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Di 15.03.2011 | | Autor: | Andiy |
| Aufgabe | | $ [mm] z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0 [/mm] $ |
Ist dann:
[mm] z_{0}=\wurzel[4]{2}*(cos(112,5)+j*sin(112,5)+1
[/mm]
[mm] z_{1}=\wurzel[4]{2}*(cos(292,5)+j*sin(292,5)+1
[/mm]
Sind diese beiden Lösungen das Endergebnis?
Stimmt der errechnete Winkel von 225° nun oder nicht?
Müsste ich dadurch das in der Aufgabenstellung [mm] z^4 [/mm] steht nicht 4 Lösungen haben ?
Danke für die Antwort.
Gruß Andiy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Di 15.03.2011 | | Autor: | Andiy |
Kann mir bitte jemand diese Ergebnisse zur obigen Gleichung bestätigen?
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Hallo
wenn du setzt [mm] $x:=z^{2}$ [/mm] dann bekommst du eine Gleichung der Form:
[mm] $x^{2}-2x+(2+i)=0$
[/mm]
das einsetzen in die Formel dann bekommst du: [mm] $x_{1,2}= [/mm] 1 [mm] \pm \sqrt{-1-i}$ [/mm]
nach z auflösen, dann bekommst du 4 Lésungen.
Gruss
kushkush
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Hallo!
> [mm]z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0[/mm]
>
> Ok dann habe ich da stehen:
>
> [mm]z^2=\wurzel[4]{2}*e^{j*(\bruch{225°+k*360}{2})}+1[/mm]
ich habe mit [mm] \pi [/mm] gearbeitet und komme auf dasselbe:
[mm] $z^{2} [/mm] = 1 + [mm] \sqrt[4]{2}*e^{i*\left(\frac{5}{8}\pi + k\cdot\pi\right)}$,
[/mm]
k = 0,1
[mm] (\pi [/mm] = 180 Grad)
Wenn du nun k = 0 und k = 1 einsetzt, erhältst du die beiden Lösungen für [mm] $z^2$. [/mm] Du musst also von diesem Ergebnis nochmal die Wurzel ziehen!
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}*e^{i*\left(\frac{5}{8}\pi + 0\cdot\pi\right)}}.
[/mm]
[mm] z_{3,4} [/mm] = [mm] \pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}*e^{i*\left(\frac{5}{8}\pi + 1\cdot\pi\right)}}.
[/mm]
Und DAS ist, denke ich, hässlich bis gar nicht sinnvoll zu berechnen. Du solltest dich also mit diesem Ergebnis begnügen.
Viele Grüße,
Stefan
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> Hallo!
>
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> > [mm]z^4-2\cdot{}z^2+2+j=0[/mm]
> >
> > Ok dann habe ich da stehen:
> >
> > [mm]z^2=\wurzel[4]{2}*e^{j*(\bruch{225°+k*360}{2})}+1[/mm]
>
> ich habe mit [mm]\pi[/mm] gearbeitet und komme auf dasselbe:
>
> [mm]z^{2} = 1 + \sqrt[4]{2}*e^{i*\left(\frac{5}{8}\pi + k\cdot\pi\right)}[/mm],
>
> k = 0,1
> [mm](\pi[/mm] = 180 Grad)
>
> Wenn du nun k = 0 und k = 1 einsetzt, erhältst du die
> beiden Lösungen für [mm]z^2[/mm]. Du musst also von diesem
> Ergebnis nochmal die Wurzel ziehen!
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]\pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}*e^{i*\left(\frac{5}{8}\pi + 0\cdot\pi\right)}}.[/mm]
>
> [mm]z_{3,4}[/mm] = [mm]\pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}*e^{i*\left(\frac{5}{8}\pi + 1\cdot\pi\right)}}.[/mm]
>
> Und DAS ist, denke ich, hässlich bis gar nicht sinnvoll zu
> berechnen. Du solltest dich also mit diesem Ergebnis
> begnügen.
>
> Viele Grüße,
> Stefan
Hallo zusammen,
mit diesem "letzten Schluss" bin ich keineswegs einver-
standen. Wozu haben wir denn Dezimalzahlen ?
Man kann doch die beiden Möglichkeiten weiter verfolgen
und die Ergebnisse dann in kartesischer Form mit z.B.
4 Nachkommastellen angeben !
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
> mit diesem "letzten Schluss" bin ich keineswegs einver-
> standen. Wozu haben wir denn Dezimalzahlen ?
> Man kann doch die beiden Möglichkeiten weiter verfolgen
> und die Ergebnisse dann in kartesischer Form mit z.B.
> 4 Nachkommastellen angeben !
Okay. Ich wusste jetzt nicht, in welchem Kontext die Aufgabe gestellt war, aber üblich bei solchen Aufgaben ist ja eher, dass bis zum letzten nicht-Dezimalzahlbehafteten Ausdruck gerechnet wird (bzw. meistens kommt es gar nicht dazu, darüber nachdenken zu müssen).
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Andiy |
| Aufgabe | | $ [mm] \pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}\cdot{}e^{i\cdot{}\left(\frac{5}{8}\pi + 0\cdot\pi\right)}}. [/mm] $ |
Muss es nicht lauten [mm] \pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}\cdot{}e^{i\cdot{}\left(\frac{5}{8}\pi + 0*2*\pi\right)}}
[/mm]
Also k*360° und nicht k*180° !
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Hallo Andiy,
> [mm]\pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}\cdot{}e^{i\cdot{}\left(\frac{5}{8}\pi + 0\cdot\pi\right)}}.[/mm]
>
> Muss es nicht lauten [mm]\pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}\cdot{}e^{i\cdot{}\left(\frac{5}{8}\pi + 0*2*\pi\right)}}[/mm]
[mm]k*\pi[/mm] ist schon richtig:
[mm]\pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}\cdot{}e^{i\cdot{}\left(\frac{5}{8}\pi + k\cdot\pi\right)}}.[/mm]
>
> Also k*360° und nicht k*180° !
Gruss
MathePower
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> Hallo Andiy,
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> > [mm]\pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}\cdot{}e^{i\cdot{}\left(\frac{5}{8}\pi + 0\cdot\pi\right)}}.[/mm]
> >
> > Muss es nicht lauten [mm]\pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}\cdot{}e^{i\cdot{}\left(\frac{5}{8}\pi + 0*2*\pi\right)}}[/mm]
>
> [mm]k*\pi[/mm] ist schon richtig:
>
> [mm]\pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}\cdot{}e^{i\cdot{}\left(\frac{5}{8}\pi + k\cdot\pi\right)}}.[/mm]
>
> >
> > Also k*360° und nicht k*180° !
... und außerdem spielt es für k=0 ohnehin keine Rolle,
denn $\ [mm] 0\cdot\pi\ [/mm] =\ [mm] 0*2*\pi\ [/mm] =\ 0$ ...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Do 17.03.2011 | | Autor: | Andiy |
| Aufgabe | | [mm] x_{1,2}=\pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}\cdot{}e^{i\cdot{}\left(\frac{5}{8}\pi + 0\cdot\pi\right)}} [/mm] |
Wurzelziehen:
[mm] x_{1,2}=\pm(\wurzel{1}+\wurzel[8]{2}*e^{i*(\bruch{\bruch{5}{8}*\pi+0*\pi}{2})})
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\pm(1+\wurzel[8]{2}*e^{i*(\bruch{\bruch{5}{8}*\pi+0*\pi}{2})})
[/mm]
Winkel bestimmen:
[mm] \phi [/mm] bei k=0 ist [mm] \bruch{\bruch{5}{8}*180+0*180}{2}=56,25°=\phi
[/mm]
Umwandeln:
[mm] z=r*(cos(\phi)+j*sin(\phi))
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\pm(\wurzel[8]{2}*cos(56,25°)+i*\wurzel[8]{2}*sin(56,25))+1
[/mm]
Meine Lösung für [mm] x_{1,2}=\pm(1,61+i*0,91)
[/mm]
Ist das korrekt aufgelöst von oben an? Wolfram Alpha z.b liefert mir andere Lösungen wenn ich die Ausgangsgleichung eintippe. Ich finde aber den Fehler nicht.
Bin mir bei dem Wurzelziehen oben unsicher.
Danke für die Antwort.
Gruß Andi
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Hallo!
> [mm]x_{1,2}=\pm\sqrt{1 + \sqrt[4]{2}\cdot{}e^{i\cdot{}\left(\frac{5}{8}\pi + 0\cdot\pi\right)}}[/mm]
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> Wurzelziehen:
>
> [mm]x_{1,2}=\pm(\wurzel{1}+\wurzel[8]{2}*e^{i*(\bruch{\bruch{5}{8}*\pi+0*\pi}{2})})[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=\pm(1+\wurzel[8]{2}*e^{i*(\bruch{\bruch{5}{8}*\pi+0*\pi}{2})})[/mm]
>
Was hast du hier gemacht?
Hast du etwa die nicht vorhandene Regel [mm] $\sqrt{a+b}\not= \sqrt{a} [/mm] + [mm] \sqrt{b}$ [/mm] angewendet?
Du musst zunächst $1 + [mm] \sqrt[4]{2}*e^{i*(\frac{5}{8}\pi + k*\pi)}$ [/mm] wieder in die Form a + bi bringen und damit dann in die Form [mm] $r*e^{i\phi}$, [/mm] damit du Wurzeln ziehen kannst.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 17.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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