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| Aufgabe | LGS:
[mm] 1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3
[/mm]
[mm] 2x_{1}-1x_{2}-\alpha x_{3}=0
[/mm]
[mm] -1x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=\beta
[/mm]
für welche reellen werte [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] besitzt das System Ax=b
i) eine eindeutige Lösung
ii) mehrere Lösungen (allg. Lösung)
iii) keine Lösung
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Hallo!
Ich stehe vor einer warscheinlich simplen Aufgabe, kriege sie aber doch nicht hin.
Ich habe das LGS schon in alle Richtungen umgestellt (Eliminationsverfahren, Additionsverfagren,..) aber das [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] stört dabei.
und wie komme ich auf die 3 Lösungen?
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und keinen anderen Internetseiten gestellt.
i) einfach [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] bestimmen....
wäre für Tipps dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mo 20.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> LGS:
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> [mm]1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3[/mm]
> [mm]2x_{1}-1x_{2}-\alpha x_{3}=0[/mm]
> [mm]-1x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=\beta[/mm]
>
> für welche reellen werte [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] besitzt das
> System Ax=b
> i) eine eindeutige Lösung
> ii) mehrere Lösungen (allg. Lösung)
> iii) keine Lösung
>
>
> Hallo!
> Ich stehe vor einer warscheinlich simplen Aufgabe, kriege
> sie aber doch nicht hin.
>
> Ich habe das LGS schon in alle Richtungen umgestellt
> (Eliminationsverfahren, Additionsverfagren,..) aber das
> [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] stört dabei.
>
> und wie komme ich auf die 3 Lösungen?
>
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und keinen
> anderen Internetseiten gestellt.
>
> i) einfach [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] bestimmen....
>
>
> wäre für Tipps dankbar!
Bringe das LGS auf obere Dreiecksgestalt, dann kannst Du alles ablesen.
FRED
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das habe ich ja versucht....
[mm] 1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3
[/mm]
[mm] -1x_{2}-3x_{3}=3- \beta
[/mm]
[mm] 1x_{2}-3 \alpha x_{3}= [/mm] -6
und wenn ich die letzte Zeile noch in die Dreiecksform anpasse, da fällt das [mm] \alpha [/mm] ja gleich weg............
ist peinlich, aber das LGS macht mir zu schaffen :(((((
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mo 20.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> das habe ich ja versucht....
>
> [mm]1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3[/mm]
> [mm]-1x_{2}-3x_{3}=3- \beta[/mm]
> [mm]1x_{2}-3 \alpha x_{3}=[/mm] -6
>
>
> und wenn ich die letzte Zeile noch in die Dreiecksform
> anpasse, da fällt das [mm]\alpha[/mm] ja gleich weg............
Wie bitte? Da fällt überhaupt nix weg!
> ist peinlich, aber das LGS macht mir zu schaffen :(((((
Im Moment macht dir die Algebra aus der 8. Klasse (oder so) zu schaffen. Ausklammern, gleichnamige Terme zusammenfassen usw.
Also: nächster Anlauf bitte.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Ist die Umformung bisher so überhaupt richtig?
vielleicht wird es ja heute noch was.....:((
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mo 20.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
$$ [mm] \vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\2x_{1}-1x_{2}-\alpha x_{3}=0\\-1x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=\beta} [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{(Gl.2):2}{\gdw}\vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\1x_{1}-\bruch{1}{2}x_{2}-\bruch{\alpha}{2}x_{3}=0\\-1x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=\beta} [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{(Gl.1-Gl.2) und (Gl.1+Gl.3)}{\gdw}\vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\0x_{1}+\bruch{1}{2}x_{2}+(\bruch{\alpha}{2}-2)x_{3}=3\\0x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=3+\beta} [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{(Gl.2)*2)}{\gdw}\vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\x_{2}+(\alpha-4)x_{3}=6\\x_{2}+1x_{3}=3+\beta} [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{(Gl.2-Gl.3)}{\gdw}\vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\x_{2}+(\alpha-4)x_{3}=6\\0x_{2}+((\alpha-4)-1)x_{3}=6-(3+\beta)} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw\vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\x_{2}+(\alpha-4)x_{3}=6\\(\alpha-5)x_{3}=3-\beta} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw\vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\x_{2}+(\alpha-4)x_{3}=6\\x_{3}=\bruch{3-\beta}{\alpha-5}} [/mm] $$
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
Kommst du jetzt weiter?
Marius
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:45 Mo 20.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
> [mm]\stackrel{(Gl.2):2}{\gdw}\vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\1x_{1}-\bruch{1}{2}x_{2}-\bruch{\alpha}{2}x_{3}=0\\-1x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=\beta}[/mm]
> [mm]\stackrel{(Gl.1-Gl.2) und (Gl.1+Gl.3)}{\gdw}\vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\0x_{1}+\bruch{1}{2}x_{2}+(\bruch{\alpha}{2}-2)x_{3}=0\\0x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=3+\beta}[/mm]
> Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
Hast aber. (Heute außer Form, wie die Arminia?)
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 16:54 Mo 20.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hi,
>
> >
> [mm]\stackrel{(Gl.2):2}{\gdw}\vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\1x_{1}-\bruch{1}{2}x_{2}-\bruch{\alpha}{2}x_{3}=0\\-1x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=\beta}[/mm]
> > [mm]\stackrel{(Gl.1-Gl.2) und (Gl.1+Gl.3)}{\gdw}\vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\0x_{1}+\bruch{1}{2}x_{2}+(\bruch{\alpha}{2}-2)x_{3}=0\\0x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=3+\beta}[/mm]
>
> > Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
>
> Hast aber. (Heute außer Form, wie die Arminia?)
Yep, scheinbar färbt das ab. Aber wenn Arminia am Ende wieder auf Platz 15 (Besser erwartet hier ja niemand) steht, war es eine gute Saison.
>
> Gruß
> Dieter
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mo 20.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Gleichungen sind schon falsch.
1. Schritt: 2* 1.te Z zur 2.ten Z
erste + dritte.
ergebnis in der ersten spalte 1 0 0
2. Schritt: neue dritte + neue 4 te.
du hast ne Dreiecksform.
dann von der 3. her aufloesen.
Machs mal schoen langsam und auf nem neuen papier und sieh deine alten Versuche nicht mehr an.
Gruss leduart
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Doofheit erreicht heut ihren Höhepunkt!!!!!! >:(((
laut meine (ver)Rechnungen erhalte ich:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{3- \beta- x_3}{5x_3}
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = [mm] -5\alpha x_3 +x_3 [/mm] +3
das ist aber sicher wieder total falsch....
jedenfalls wäre das i) eine eindeutige Lösung????
wie komme ich aber auf ii)mehrere Lsg und iii) keine Lsg????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mo 20.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Ich komme auf folgende Gleichung:
[mm] x_{3} = \bruch {\beta-3}{3-\alpha} [/mm]
Nun kannst du dir überlegen, wann es keine/eine/mehrere Lösungen gibt...
Viele Grüße,
Markus
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habe die Lösungen nun raus.
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{(2\beta +3\alpha +3)}{\alpha+3}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{(\alpha \beta+ 3\alpha +4\beta +6)}{\alpha +3}
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{(\beta -3)}{(\alpha +3)}
[/mm]
aber wie zeige ich nun, ob es eine Lösung, mehrere Lösungen und gar keine Lösungen für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] gibt???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Mi 22.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Ergebnisse habe ich jetzt nicht überprüft.
Was aber auffällt: Darf [mm] \alpha [/mm] jeden Wert ohne Weiteres annehmen? Sicherlich nicht. Dann überlege doch mal, was passiert wenn [mm] \alpha [/mm] genau diesen Wert annimmt. Rechne dann das LGS mit [mm] \alpha=... [/mm] komplett durch.
Andere Frage. Was passiert, wenn [mm] \beta=0 [/mm] und/oder [mm] \alpha=0
[/mm]
Marius
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wenn ich [mm] \alpha [/mm] =0 und [mm] \beta [/mm] =0 setze erhalte ich für
[mm] x_1=1
[/mm]
[mm] x_2=2
[/mm]
[mm] X_3=-1
[/mm]
also wenn [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] 0 sind dann gibt es eine eindeutige Lösung.
jetzt fehlt nur noch "mehrere Lösungen". da würde ich sagen [mm] \alpha [/mm] / [mm] \beta [/mm] >0
stimmt das?
und keine lösung, da weiß ich nicht, wie man drauf kommt...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Do 23.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wie ich dir schon gesagt habe, darf [mm] \alpha [/mm] in deinen Lösungen einen Bestimmten Wert NICHT anehmen. Welchen? Denke mal an die Nenner des Bruches.
Was passiert aber mit dem GESAMTEN GLS, wenn [mm] \alpha [/mm] genau diesen Wert annimmt.
Zur Frage, wann es keine Lösung gibt. Es gibt keine Lösung, wenn du ein LGS dieser Form hast.
[mm] \vmat{x+y=4\\2x+2y=5}
[/mm]
[mm] 2x+2y=5\gdw 2(x+y)=5\gdw x+y=\bruch{5}{2} [/mm] was ein Widerspruch zur ersten Zeile ist.
Unendlich viele Lösungen gibt es, wenn zwei Zeilen nach Zeilenumformungen identisch werden.
[mm] \vmat{x+y=4\\2x+2y=8}
[/mm]
Können diese Fälle hier durch die Wahl eines Parameters auftreten?
$ [mm] \vmat{1x_{1}+0x_{2}-2x_{3}=3\\2x_{1}-1x_{2}-\alpha x_{3}=0\\-1x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=\beta} [/mm] $
Jetzt bist du erstmal wieder dran, diese Drei Fälle
[mm] \alpha=..., [/mm] und die beiden Sonderfälle zu bearbeiten
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Im Nenner steht [mm] \alpha [/mm] + 3. Was muss im Nenner stehen, damit es keine Lösung gibt? (bzw.: Was darf nie im Nenner stehen?)
Setze diese Zahl gleich mit [mm] \alpha [/mm] + 3 und du erhältst das [mm] \alpha, [/mm] für das das LGS keine Lösung besitzt...
Viele Grüße,
Markus
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> Doofheit erreicht heut ihren Höhepunkt!!!!!! >:(((
>
>
> laut meine (ver)Rechnungen erhalte ich:
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{3- \beta- x_3}{5x_3}[/mm]
>
> [mm]\beta[/mm] = [mm]-5\alpha x_3 +x_3[/mm] +3
>
>
> das ist aber sicher wieder total falsch....
>
> jedenfalls wäre das i) eine eindeutige Lösung????
>
> wie komme ich aber auf ii)mehrere Lsg und iii) keine
> Lsg????
Hallo,
warum rechnest Du nicht Schritt für Schritt vor, wie Du die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform bringst?
Tätest Du das, könnte man eventuelle Fehler suchen, und an der ZSF kann man alles sehen, was in diesem Zusammenhang interessiert.
Was Du Dir auf jeden Fall klarmachen mußt: a und b sind Parameter, Deine Variablen, nach denen aufgelöst wird, sind [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3.
[/mm]
Von daher ist ein Ergebnis der gestelt a=... und b=... für die Beantwortung der gestellten Frage nicht sonderlich hilfreich.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Do 23.10.2008 | | Autor: | Mathegirl |
Habe die x-Werte herausbekommen (nach langem (ver)-rechnen und mit Mathematica geprüft.
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{3+3\alpha+2\beta}{3+\alpha}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{4\beta +\beta\alpha +6+3\alpha}{3+\alpha}
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{\beta -3}{3+\alpha}
[/mm]
so....und wie muss ich jetzt weiter machen um [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] so zu wählen, das
i) eine Lösung
ii) mehrere Lsg
iii) keine Lösungen entstehen???
wollte schon nach [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] umstellen, aber das gibt ein riesiges Chaos
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Do 23.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Frage habe ich dir hier schon "beantwortet", lege mit den Tipps erstmal los.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Do 23.10.2008 | | Autor: | Mathegirl |
bei [mm] \alpha [/mm] =0 und [mm] \beta [/mm] =0 erhalte ich
[mm] x_1= [/mm] 1
[mm] x_2= [/mm] 2
[mm] x_3=-1
[/mm]
aber ich weiß nun, dass bei [mm] \alpha [/mm] oder [mm] \beta \not= [/mm] 0 mehrere Lösungen gibt. Stimmt das?
aber wann es keine Lösungen gibt, darauf komme ich nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Do 23.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Markus und Ich haben dir
doch die Fragen schon fast beantwortet.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Do 23.10.2008 | | Autor: | Mathegirl |
Sorry, mein I-net ist so langsam...die Beiträge standen erst später da.
also [mm] \alpha [/mm] darf dann nicht -6 sein.
wenn ich das aber in das LGS einsetze, dann erhalte ich trotzdem Lösungen.
ich verstehe das trotzdem alles nicht. es heißt ja, welche Werte müssen [mm] \alpha [/mm] UND [mm] \beta [/mm] besitzen....hier ist aber immer die Rede von [mm] \alpha.
[/mm]
das LGS ist immer lösbar oder? Ich finde zumindest nix für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta, [/mm] womit es nicht lösbar wäre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Do 23.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Sorry, mein I-net ist so langsam...die Beiträge standen
> erst später da.
>
> also [mm]\alpha[/mm] darf dann nicht -6 sein.
Wie kommst du denn auf -6?
> wenn ich das aber in das LGS einsetze, dann erhalte ich
> trotzdem Lösungen.
>
Die -6 ist ja auch nicht richtig.
> ich verstehe das trotzdem alles nicht. es heißt ja, welche
> Werte müssen [mm]\alpha[/mm] UND [mm]\beta[/mm] besitzen....hier ist aber
> immer die Rede von [mm]\alpha.[/mm]
>
Es kann sein, dass nur ein Parameter die Lösungsanzahl des GLS variieren lässt.
>
> das LGS ist immer lösbar oder? Ich finde zumindest nix für
> [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta,[/mm] womit es nicht lösbar wäre
Nein, es ist für ein [mm] \alpha [/mm] definitiv nicht lösbar.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Do 23.10.2008 | | Autor: | Mathegirl |
Dann ist es -3????
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> Dann ist es -3????
>
Ja.
Gruß v. Angela
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