Lösungen in Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Vieta |
Ich habe eine Goniometrische Gleichung:
[mm] \bruch{sin(x)}{1-cos(x)} [/mm] = tan(x)
ich habe sie nun folgendermassen umgeformt:
2sin(x)cos(x) = sin(x)
Wenn ich nun durch sin(x) dividiere, könnte mir doch eine Lösung verloren gehen...? Ich wollte kontrollieren, aber mir ist es nicht ganz klar...
Ich dachte sin(x) = 0 (Annahme)
dann ergibt sich aber 0 = 0, was zwar eine wahre Aussage ist, aber welches ist jetzt die Lösung?
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Hallo Vieta!
> Ich habe eine Goniometrische Gleichung:
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> [mm]\bruch{sin(x)}{1-cos(x)}[/mm] = tan(x)
>
> ich habe sie nun folgendermassen umgeformt:
>
> 2sin(x)cos(x) = sin(x)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Formel heißt: [mm] $\sin(\red{2}x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$
[/mm]
Aber versuche es doch mal mit der Definition des Tangens:
[mm] $\tan(x) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos(x)}$
[/mm]
> Wenn ich nun durch sin(x) dividiere, könnte mir doch eine
> Lösung verloren gehen...? Ich wollte kontrollieren, aber
> mir ist es nicht ganz klar...
>
> Ich dachte sin(x) = 0 (Annahme)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann ergibt sich aber 0 = 0, was zwar eine wahre Aussage
> ist, aber welches ist jetzt die Lösung?
Das heißt doch, wenn gilt: [mm] $\sin(x) [/mm] \ = \ 0$, ist Deine o.g. Gleichung erfüllt.
Du mußt Dir also nun Gedanken machen, für welche $x$ gilt denn das überhaupt?
Sprich: Was sind die Nullstellen der Sinus-Funktion? Diese Nullstellen bilden dann eine Teilmenge Deiner gesuchten Lösungsmenge.
Anschließend die anderen Lösungen für [mm] $\sin(x) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ nicht vergessen! Aber in diesem Fall darfst Du ja dann auch durch [mm] $\sin(x)$ [/mm] teilen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Vieta |
D.h. also dann, dass sin(x) = 0 eine Lösung ist. ( [mm] x_{1}_{k} [/mm] = 0° ? )
dann dividiere ich durch sin(x), was dann schlussendlich cos(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ergibt.
Somit habe ich also [mm] x_{2}_{k} [/mm] = 60° + k [mm] \* [/mm] 360°; und [mm] x_{3}_{k} [/mm] = 300° + k [mm] \* [/mm] 360°, da cos(360° - [mm] \alpha) [/mm] = cos( [mm] \alpha) [/mm] ...
dann wäre die Lösungsmenge also
L = [mm] {x_{1}_{k}; x_{2}_{k} | k \in \IZ }
[/mm]
ist das so korrekt?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:52 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Fugre |
> D.h. also dann, dass sin(x) = 0 eine Lösung ist. (
> [mm]x_{1}_{k}[/mm] = 0° ? )
>
> dann dividiere ich durch sin(x), was dann schlussendlich
> cos(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ergibt.
>
> Somit habe ich also [mm]x_{2}_{k}[/mm] = 60° + k [mm]\*[/mm] 360°; und
> [mm]x_{3}_{k}[/mm] = 300° + k [mm]\*[/mm] 360°, da cos(360° - [mm]\alpha)[/mm] =
> cos( [mm]\alpha)[/mm] ...
>
> dann wäre die Lösungsmenge also
>
> L = [mm]{x_{1}_{k}; x_{2}_{k} | k \in \IZ }[/mm]
>
> ist das so korrekt?
Hallo Vieta,
wann ist die Sinusfunktion null? Genau, bei null, 180° und allen
Vielfachen von 180°. Also sind alle $x$ die sich als $k*180°$
darstellen lassen mit $k [mm] \in \IN$ [/mm] mögliche Lösungen.
Wenn wir jetzt in die Formelsammlung gucken, können wir
diesen Zusammenhang sehen: $ [mm] \sin [/mm] ( [mm] 2\; [/mm] x ) = 2 [mm] \sin [/mm] x [mm] \; \cos [/mm] x = [mm] \frac{2 \tan x}{ 1 + \tan^2 x }$
[/mm]
Und unsere Gleichung lautet ja: $ [mm] \sin({2}x) [/mm] \ = \ [mm] 2\cdot{}\sin(x)\cdot{}\cos(x) [/mm] $
Siehe da, die Formel aus der Formelsammlung macht sich sehr gut, setzen wir sie ein
so erhalten wir:$ \ [mm] 2\cdot{}\sin(x)\cdot{}\cos(x)=2 \sin [/mm] x [mm] \; \cos [/mm] x $
Wie wir leicht sehen wird die Gleichung für jedes x erfüllt, wir können schreiben:
[mm] $\IL=D$
[/mm]
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Vieta |
also meine Gleichung lautet ja sin(x) = 2 sin(x) cos(x)
und nicht sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), so wie in der Formelsammlung...
deshalb habe ich ja schlussendlich cos(x) = 1/2 ...
deshalb muss ja 60° sicher schon eine Lösung sein, so wie ich schon geschrieben habe... aber es kann ja nicht für ale x zutreffen, da cos(x) = 1/2 ...
Vielleicht habe ich meine Frage etwas falsch formuliert.... ; D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Do 02.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Vieta
Deine Ergebnisse sind völlig richtig die [mm] x_{1k}=0°+k*180°, x_{2k}=60+k*360, x_{3k}=300+360.
[/mm]
Deine [mm] x_{1k} [/mm] konnt ich nicht lesen. natürlich kommen noch alle negativen Werte dazu.
mit dem sin(2x) ist in der ersten Antwort was schief gelaufen, die zweite Antwort hat das dann nicht mehr kontrolliert. Gut dass du selbst so gut aufpasst!
Übrigens wenn du deine Gleichung anders schreibst: [mm] $2\sin [/mm] x [mm] \cosx-\sinx=0 \Rightarrow \sin x*(2\cos [/mm] x-1)=0$ dann musst du nicht durch [mm] $\sin [/mm] x$ dividieren, und bist unsicher, sondern dein Argument heisst: ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren (oder beide) Null ist also [mm] $\sin [/mm] x=0$ und [mm] $2\cos [/mm] x-1=0$ immer wenn du "kürzen kannst schreibt man die Gleichung lieber als produkt, das Null gibt, dann hat man die Zweifel mit durch 0 dividieren los!
Gruss leduart
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