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| Aufgabe | Gibt es für alle natürlichen Zahlen n natürliche Zahlen x,k, sodass
[mm] 3^{k}\*n-\bruch{1}{2}(3^{k}-1)=2^{x} [/mm] ist? |
Ich habe keine Ahnung, wie ich das machen soll.
Könnte mir jemand sagen, wie man soetwas macht. Ich weiß zwar, wie man die Gleichung nach x,k auflöst, aber mir scheint das nichts zu bringen.
Grüße, hawkingfan
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Hallo hawkingfan,
mach doch mal eine Restklassenuntersuchung modulo 4.
Nimm alle nötigen Fälle von k und x an. Es ergeben sich Folgerungen für n, die Deine Frage hinreichend beantworten.
Grüße
reverend
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Tschuldigung, aber ich habe keine Ahnung, wie das geht...
Ganz nebenbei: Das ist keine Übungsaufgabe, sondern nur eine Aufgabe zur Prüfungsvorbereitung, das heißt, es wäre für mich OK, wenn du mir detaillierter sagen würdest, wie es geht, da ich noch eine Menge andere Aufgaben zu diesem Thema habe.
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Hallo nochmal,
was heißt denn keine Ahnung?
Dann ist die Aufgabe doch sinnlos für Dich.
$ [mm] 3^{k}*n-\bruch{1}{2}(3^{k}-1)=2^{x} [/mm] $
bzw. [mm] 2*3^k*n-3^k+1=2^{x+1}
[/mm]
Nun ist ja [mm] 3\equiv -1\mod{4}. [/mm] Es muss daher gelten:
[mm] 2*(-1)^k*n-(-1)^k+1\equiv 2^{x+1} \mod{4}
[/mm]
Fall 1: k=2m
[mm] \Rightarrow 2n\equiv 2^{x+1} \mod{4}
[/mm]
Für welche [mm] n\mod{4} [/mm] ist das erfüllt? Alle?
Fall 2: k=2m-1
[mm] \Rightarrow -2n+2\equiv 2^{x+1} \mod{4}
[/mm]
Für welche [mm] n\mod{4} [/mm] ist das erfüllt? Alle?
Für beide Fälle ist zu bedenken, dass [mm] x+1\not={0} [/mm] und daher [mm] 2^{x+1} \mod{4} \in \{0;2\} [/mm] ist. Damit wird eine weitere Unterscheidung nötig, so dass es schließlich die Fälle 1.1, 1.2, 2.1 und 2.2 gibt.
Es ist noch ein Minimum an Arbeit übrig, die Du aber nur machen kannst, wenn Du mit dem bisherigen etwas anfangen kannst. Und wenn nicht, dann solltest Du erst einmal ein paar Grundlagen der Restklassenrechnung lernen, bevor Du Dich an eine solche Aufgabe machst. Ernstgemeinter Rat!
Grüße
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:48 Do 17.06.2010 | | Autor: | hawkingfan |
Für [mm] n\equiv1,n\equiv2,n\equiv4 [/mm] funktioniert es, aber für [mm] n\equiv3 [/mm] bin ich mir nicht sicher...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:07 Fr 18.06.2010 | | Autor: | hawkingfan |
Ist es für [mm] n\equiv3 [/mm] wahr?
Ich glaube schon. Ist das richtig?
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> Für [mm]n\equiv1,n\equiv2,n\equiv4[/mm] funktioniert es, aber für
> [mm]n\equiv3[/mm] bin ich mir nicht sicher...
Hallo,
vielleicht schilderst Du mal, was Du Dir bisher überlegt hast und woher Deine Unsicherheit kommt.
Dies wären dann auch die lt. Forenregeln geforderten Lösungsansätze.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Fr 18.06.2010 | | Autor: | hawkingfan |
Für alle Fälle habe ich es genau so machen können wie reverend. Mein Problem ist, dass ich für [mm] n\equiv3 [/mm] mod 4 einfach mal ein paar Beispiele eingesetzt habe und es zu keiner Lösung für k,x geführt hat, wobei ich allerdings auch nur rumprobiert habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Sa 19.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo,
bin gerade auf einer Tagung und nur ganz kurz im Netz.
Ganz so einfach ist die Aufgabe nicht, jedenfalls ist für n=3 eine Lösung:
[mm] 2*3^1*3-3^1+1=2^{3+1}
[/mm]
mit anderen Worten: [mm] n=3\Rightarrow{k=1,x=3}
[/mm]
Sorry, ich hoffe, ich komme morgen Abend dazu.
Vielleicht ist es auch in der folgenden Darstellung besser zu sehen:
[mm] (2n-1)3^k=2^{x+1}-1
[/mm]
Leicht nachzuweisen ist, dass es nicht zu jedem k ein n,x geben kann, so dass die Gleichung erfüllt ist, ebenso nicht zu jedem x ein k,n.
Schwieriger dagegen ist die Aufgabe in der gestellten Form.
Es geht vielleicht doch leichter über Restklassen mod [mm] 2^m [/mm] - mal sehen, vielleicht hat ja jemand noch eine praktikablere Idee...
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Sa 19.06.2010 | | Autor: | hawkingfan |
Ok, ich habe mal meinen Prof. gefragt und er meinte sowas kommt nicht dran. Restklassen etc. haben wir zwar gemacht, aber keinen Restklassenuntersuchungen...
Danke für die Hilfe
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