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Forum "Zahlentheorie" - Lösungen quadr. Kongruenz
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Lösungen quadr. Kongruenz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:13 Mi 12.05.2021
Autor: Mariana17

Aufgabe
Bestimme alle Lösungen der Kongruenz
[mm] Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] n
mithilfe einer bekannten Lösung [mm] (x_1,y_1) [/mm]

Hallo zusammen,
mein Dozent hat gesagt, dass man ohne weiteres mit einer bekannten Lösung alle Punkte der Kongruenz bestimmen kann, indem man eine Gerade durch diesen Punkt legt. Theoretisch habe ich verstanden, dass man dann ja eine
Gerade aufstellen kann und dann die Steigung wählt.

Aber muss man dann nicht trotzdem eine Kongruenz [mm] ax^2+bx+c=0 [/mm] mod n lösen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lösungen quadr. Kongruenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 So 16.05.2021
Autor: HJKweseleit

Bin zwar zu spät dran, aber trotzdem:

Nein, die Lösungen liegen nicht alle auf einer Geraden.

Beispiel für A=2, B=1, C=3, D=1, E=1, F=2 und n=6:


F((x|y)) = [mm] 2x^2 [/mm] + xy + [mm] 3y^2 [/mm]  +x +y + 2

F((2|5)) = 102 = 6*17
F((4|5)) = 138 = 6*23
F((6|1)) =  90 = 6*15,

Aber die 3 Punkte liegen nicht auf derselben Geraden.

Allgemein beschreibt die angegebene Gleichung einen Kegelschnitt, wenn man sie ohne mod n schreibt, der ggf. zu einer Geraden ausgeartet sein kann. Dabei kann es auch sein, dass es keine Lösung gibt, z.B. für A=B=C=D=E=6, F=1 und n=6. Setzt man aber F=0, sind alle ganzzahligen Paare Lösungen.

Natürlich sind für eine bekannte Lösung [mm] (x_1|y_1) [/mm] auch [mm] (x_1 [/mm] + [mm] r*n|y_1 [/mm] + s*n) für alle ganzzahligen r und s Lösungen, aber eben nicht nur diese, und [mm] (x_1|y_1), (x_1 [/mm] + [mm] n|y_1 [/mm] + 2*n) sowie [mm] (x_1 [/mm] + [mm] 6*n|y_1) [/mm] liegen nicht auf derselben Geraden.

Im obigen Beispiel ist (6|1) =(2+4|5-4), ich habe also 4 statt 6 zu- oder abgezogen. Auch z.B. (10|2)=(2+8|5-3) gibt F((10|2)) = 246 = 6*41 und ist somit eine Lösung.

Bezug
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