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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Lösungen von quadr. Gleichung
Lösungen von quadr. Gleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösungen von quadr. Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Di 16.03.2010
Autor: neu_ling

Aufgabe
[mm] ax^{2}+bx+c=0 [/mm]
a, b, c werden zufällig gewählt mit Werten zwischen 1 und 6.
Gefragt: Wahrscheinlichkeit, dass alle Lösungen reell sind.

Ich habe bis jetzt leider noch keine bestimmte Ahnung, wie ich das Problem lösen soll. Ich könnte ganz einfach alle Möglichkeiten aufzeigen. Insgesamt gibt es ja [mm] 6^{3} [/mm] Möglichkeiten.
Aber es geht bestimmt auch einfacher. Was ich vielleicht anwenden könnte, ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung mit
[mm] b^{2} \ge [/mm] 4ac.
Jedoch hört's da schon auf.

Kann mir jemand helfen?

Gruss neu_ling!

        
Bezug
Lösungen von quadr. Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Di 16.03.2010
Autor: Blech

Hi,

> [mm]ax^{2}+bx+c=0[/mm]
>  a, b, c werden zufällig gewählt mit Werten zwischen 1
> und 6.
>  Gefragt: Wahrscheinlichkeit, dass alle Lösungen reell
> sind.
>  Ich habe bis jetzt leider noch keine bestimmte Ahnung, wie
> ich das Problem lösen soll. Ich könnte ganz einfach alle
> Möglichkeiten aufzeigen. Insgesamt gibt es ja [mm]6^{3}[/mm]
> Möglichkeiten.
>  Aber es geht bestimmt auch einfacher. Was ich vielleicht
> anwenden könnte, ist die Diskriminante einer quadratischen
> Gleichung mit
> [mm]b^{2} \ge[/mm] 4ac.

Richtig, Du suchst Die Wahrscheinlichkeit, daß der Term unter der Wurzel nicht negativ ist.

Das Problem ist, daß wir keine Ahnung haben, wie die a, b und c verteilt sind. Gleichverteilt auf den natürlichen Zahlen? Reellen Zahlen?

Vor allem, sind die drei identisch und unabhängig verteilt?

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Lösungen von quadr. Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Di 16.03.2010
Autor: neu_ling


> Das Problem ist, daß wir keine Ahnung haben, wie die a, b und c verteilt sind. Gleichverteilt auf den natürlichen Zahlen? Reellen Zahlen?

Jede Zahl hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, weil sie mit einem Laplace-Würfel bestimmt wird.

[mm] P(b_{1})=P(b_{2})=P(b_{3})=P(b_{4})=P(b_{5})=P(b_{6})=1/6 [/mm]

Jetzt hab ich mir gedacht, dass ich alle einzelnen Wahrscheinlichkeiten von [mm] P(b_{j}), [/mm] j={1,2,3,4,5,6} durch a und c ausdrücken muss. Aber ich weiss nicht, wie das gehen könnte...

Bezug
                        
Bezug
Lösungen von quadr. Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Di 16.03.2010
Autor: Blech

Hi,

> > Das Problem ist, daß wir keine Ahnung haben, wie die a, b
> und c verteilt sind. Gleichverteilt auf den natürlichen
> Zahlen? Reellen Zahlen?
>  
> Jede Zahl hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, weil sie mit
> einem Laplace-Würfel bestimmt wird.
>  
> [mm]P(b_{1})=P(b_{2})=P(b_{3})=P(b_{4})=P(b_{5})=P(b_{6})=1/6[/mm]
>  
> Jetzt hab ich mir gedacht, dass ich alle einzelnen
> Wahrscheinlichkeiten von [mm]P(b_{j}),[/mm] j={1,2,3,4,5,6} durch a
> und c ausdrücken muss. Aber ich weiss nicht, wie das gehen
> könnte...

Was Du suchst ist das []Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit:

[mm] $P(b^2\geq 4ac)=\sum_{j=1}^6 P(b^2\geq [/mm] 4ac\ |\ [mm] b=j)P(b=j)=\sum_{j=1}^6 P(4ac\leq j^2)\frac1{6}$ [/mm]

und jetzt das ganze analog für c (oder a), um [mm] $P(4ac\leq j^2)$ [/mm] zu berechnen.

ciao
Stefan


Bezug
                                
Bezug
Lösungen von quadr. Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Di 16.03.2010
Autor: neu_ling

wenn ich das analog zu dir mache, komm ich auf sowas... sieht ein bisschen komisch aus ^^

[mm] \summe_{i=1}^{6}P(b^{2}\ge4ac|b=i)P(b=j)=\summe_{j=1}^{6}\summe_{i=1}^{6}P(b^{2}\ge4aj|b=i,c=j)P(b=i)P(c=j)=\summe_{j=1}^{6}\summe_{i=1}^{6}P(a \le i^{2}/(4j))(1/6)^{2} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Lösungen von quadr. Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Di 16.03.2010
Autor: Blech

Hi,
  

> [mm]\summe_{i=1}^{6}P(b^{2}\ge4ac|b=i)P(b=j)=\summe_{j=1}^{6}\summe_{i=1}^{6}P(b^{2}\ge4aj|b=i,c=j)P(b=i)P(c=j)=\summe_{j=1}^{6}\summe_{i=1}^{6}P(a \le i^{2}/(4j))(1/6)^{2}[/mm]
>  

das paßt. Ich würde aber die beiden Summen umdrehen zu

[mm] $\frac{1}{36}\summe_{i=1}^{6}\summe_{j=1}^{6}P(a \le \frac{i^{2}}{4j})$ [/mm]

d.h. zuerst einen Wert von i (bzw. b) fest wählen, dann schauen, was für verschiedene Werte von j (d.h. c) rauskommt.

Ist aber grundsätzlich natürlich wurscht, in welcher Reihenfolge man die Optionen abarbeitet.

ciao
Stefan

Bezug
                                                
Bezug
Lösungen von quadr. Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:44 Mi 17.03.2010
Autor: neu_ling

ich habe schlussendlich eine Wahrscheinlichkeit von

[mm] \bruch{43}{216} [/mm]

bin mir nicht sicher, ob das korrekt ist, aber ich denk schon.
danke für die hilfe :)

Bezug
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