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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösungskurve implizite DGL
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Lösungskurve implizite DGL: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Sa 27.11.2010
Autor: Kampfkekschen

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungskurven der folgenden impliziten DGL:

a) ln(y'(x))+sin(y'(x))-x=0
[mm] b)y(x)=(y'(x))^2\dot e^{y'(x)} [/mm]
c)y(x)=xy'(x)+ [mm] \wurzel{1+(y'(x))^2} [/mm]

Hallo zusammen,

ich hänge bei dieser Aufgabe und hoffe, dass mir hier jemand ein bisschen helfen kann.
habe bei aufgabenteil a folgendermaßen angefangen:


ln(y'(x))+sin(y'(x))-x=0
sei p:= y'(x)

ln(p)+sin(p)-x=0
Differentation nach p:

[mm] \bruch{1}{p} [/mm] + cos(p)-1=0

nun müsste ich das nach p doch auflösen oder?

[mm] \bruch{1}{p} [/mm] + cos(p)=1
1+ cos(p)*p = p

aber irgendwie schaffe ich es nicht, dass ich das p einzeln hier stehen habe...kann mir vllt jemand ein paar tipps geben?

Gruß,
Kekschen

        
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Sa 27.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Kampfkekschen,

> Bestimmen Sie alle Lösungskurven der folgenden impliziten
> DGL:
>
> a) ln(y'(x))+sin(y'(x))-x=0
>  [mm]b)y(x)=(y'(x))^2\dot e^{y'(x)}[/mm]
>  c)y(x)=xy'(x)+
> [mm]\wurzel{1+(y'(x))^2}[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> ich hänge bei dieser Aufgabe und hoffe, dass mir hier
> jemand ein bisschen helfen kann.
>  habe bei aufgabenteil a folgendermaßen angefangen:
>  
>
> ln(y'(x))+sin(y'(x))-x=0
>  sei p:= y'(x)
>  
> ln(p)+sin(p)-x=0


Hier steht doch zunächst:

[mm]\ln\left(p\right)+\sin\left(p\right)-x\left(p\right)=0[/mm]


>  Differentation nach p:
>  
> [mm]\bruch{1}{p}[/mm] + cos(p)-1=0
>  
> nun müsste ich das nach p doch auflösen oder?


Nein, nach der Differentiation nach p steht da:

[mm]\bruch{1}{p}+\cos\left(p\right)-\dot{x}\left(p\right)=0[/mm]

Daraus ergibt sich [mm]\dot{x}\left(p\right)[/mm] und somit auch [mm]\dot{y}\left(p\right)[/mm], da [mm]\dot{y}\left(p\right)=p*\dot{x}\left(p\right)[/mm]


>  
> [mm]\bruch{1}{p}[/mm] + cos(p)=1
>  1+ cos(p)*p = p
>  
> aber irgendwie schaffe ich es nicht, dass ich das p einzeln
> hier stehen habe...kann mir vllt jemand ein paar tipps
> geben?
>  
> Gruß,
>  Kekschen


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Sa 27.11.2010
Autor: Kampfkekschen

ach stimmt danke!
hab jetzt also für [mm] \dot{x}(p) [/mm]
[mm] \dot{x}(p)= \bruch{1}{p}+\cos\left(p\right) [/mm]

einsetzen in [mm] \dot{y}(p) [/mm] ergibt:
[mm] \dot{y}(p)= [/mm] 1+p [mm] \dot [/mm] cos(p)

so hab dazu jetzt nur eine frage...
muss ich diese beiden funktionen jetzt jeweils noch integrieren um x(p) unf y(p) rauszubekommen?



Bezug
                        
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Sa 27.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Kampfkekschen,

> ach stimmt danke!
>  hab jetzt also für [mm]\dot{x}(p)[/mm]
>  [mm]\dot{x}(p)= \bruch{1}{p}+\cos\left(p\right)[/mm]
>  
> einsetzen in [mm]\dot{y}(p)[/mm] ergibt:
>  [mm]\dot{y}(p)=[/mm] 1+p [mm]\dot[/mm] cos(p)
>  
> so hab dazu jetzt nur eine frage...
>  muss ich diese beiden funktionen jetzt jeweils noch
> integrieren um x(p) unf y(p) rauszubekommen?
>  


[mm]x\left(p\right)[/mm] bekommst Du direkt aus der gegebenen impliziten DGL.

Um [mm]y\left(p\right)[/mm] herauszubekommen mußt Du

[mm]\dot{y}\left(p\right)=1+p*\cos\left(p\right)[/mm]

integrieren.


Gruss
MathePower

>  

Bezug
                                
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Sa 27.11.2010
Autor: Kampfkekschen

hab trotzdem noch eine frage:
woher weiß ich denn hier z.b. dass ich das x(p) sofort aus der impliziten DGL bekomme und das um das y(p) zu bekommen noch integrieren muss?


hab jetzt folgendes raus:
x(p)= [mm] \bruch{1}{p}+ [/mm] cos(p)

y(p)= [mm] \integral_{}^{}{1+p\dot cos(p) dp} [/mm]
= p + [mm] \integral_{}^{}{p\dot cos(p) dp} [/mm]
= p + p*sin(p) - [mm] \integral_{}^{}{sin(p)dp} [/mm]
= p +p*sin(p)+ cos(p)

stimmt das soweit?

Bezug
                                        
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Sa 27.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Kampfkekschen,

> hab trotzdem noch eine frage:
>  woher weiß ich denn hier z.b. dass ich das x(p) sofort
> aus der impliziten DGL bekomme und das um das y(p) zu
> bekommen noch integrieren muss?
>  


In der gegebenen impliziten DGL kommst x nur linear vor,
daher kannst Du auch sofort [mm]x\left(\p\right)[/mm] angeben.


>
> hab jetzt folgendes raus:
>  x(p)= [mm]\bruch{1}{p}+[/mm] cos(p)
>  
> y(p)= [mm]\integral_{}^{}{1+p\dot cos(p) dp}[/mm]
>  = p +
> [mm]\integral_{}^{}{p\dot cos(p) dp}[/mm]
>  = p + p*sin(p) -
> [mm]\integral_{}^{}{sin(p)dp}[/mm]
>  = p +p*sin(p)+ cos(p)
>  
> stimmt das soweit?


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 Sa 27.11.2010
Autor: Kampfkekschen

Cool danke!

So jetzt hab ich mal mit aufgabenteil  b) begonnen
y(x)= [mm] (y'(x))^2 \dot e^{y'(x)} [/mm]
sei p:=y'(x)
[mm] y(p)=p^2 \dot e^p [/mm]
[mm] p^2 \dot e^p [/mm] -y(p)=0

Differentation nach p
[mm] 2p*e^p [/mm] + [mm] p^2*e^p -\dot{y}(p)*p=0 [/mm]
[mm] \dot{y}(p)=2*e^p [/mm] + [mm] p*e^p [/mm]

es gilt [mm] \dot{y}(p)= p*\dot{x}(p) [/mm]
also folgt:
[mm] 2*e^p [/mm] + [mm] p*e^p [/mm] = [mm] p*\dot{x}(p) [/mm]
[mm] \dot{x}(p) [/mm] = [mm] \bruch{2*e^p + p*e^p}{p} [/mm]

stimmt das bis hierhin?
kann ja jetzt quasi y(p) wieder ganz einfach aus der impliziten dgl bestimmen und müsste um x(p) rauszubekommen [mm] \dot{x}(p) [/mm] integrieren (sofern alles richtig ist) oder?

Bezug
                                                        
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:24 Sa 27.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Kampfkekschen,

> Cool danke!
>  
> So jetzt hab ich mal mit aufgabenteil  b) begonnen
>  y(x)= [mm](y'(x))^2 \dot e^{y'(x)}[/mm]
>  sei p:=y'(x)
>  [mm]y(p)=p^2 \dot e^p[/mm]
>  [mm]p^2 \dot e^p[/mm] -y(p)=0
>  
> Differentation nach p
>  [mm]2p*e^p[/mm] + [mm]p^2*e^p -\dot{y}(p)*p=0[/mm]
>  [mm]\dot{y}(p)=2*e^p[/mm] +
> [mm]p*e^p[/mm]
>  
> es gilt [mm]\dot{y}(p)= p*\dot{x}(p)[/mm]
>  also folgt:
> [mm]2*e^p[/mm] + [mm]p*e^p[/mm] = [mm]p*\dot{x}(p)[/mm]


Hier muss es doch heißen:

[mm]2*\red{p}*e^{p} + p^{\red{2}}*e^{p} = p*\dot{x}(p)[/mm]


>  [mm]\dot{x}(p)[/mm] = [mm]\bruch{2*e^p + p*e^p}{p}[/mm]
>  
> stimmt das bis hierhin?
>  kann ja jetzt quasi y(p) wieder ganz einfach aus der
> impliziten dgl bestimmen und müsste um x(p) rauszubekommen
> [mm]\dot{x}(p)[/mm] integrieren (sofern alles richtig ist) oder?


Ja, das ist richtig.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Sa 27.11.2010
Autor: Kampfkekschen

also irgendwie komme ich nicht auf das [mm] :2\cdot{}\red{p}\cdot{}e^{p} [/mm] + [mm] p^{\red{2}}\cdot{}e^{p} [/mm] = [mm] p\cdot{}\dot{x}(p) [/mm]

denn wenn ich die Differentation nach p durchführe dann komme ich auf [mm] \dot{y}(p)*\red{p} =2p*e^p+p^2*e^p [/mm] dann muss ich doch durch p teilen um nur [mm] \dot{y}(p) [/mm] zu bekommen also wäre das dann
[mm] \dot{y}(p) [/mm]  = [mm] 2*e^p+pe^p [/mm]

und das in die formel [mm] \dot{y}(p) [/mm] eingesetzt gibt
[mm] \dot{y}(p)=p*\dot{y} [/mm] (p)
und deshalb hab ich das [mm] \dot{y}(p) [/mm]  = [mm] 2*e^p+pe^p [/mm] = p* [mm] \dot{x}(p) [/mm] gesetzt...was ich hier denn falsch beachtet? ich komm da nicht drauf..

Bezug
                                                                        
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 So 28.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Kampfkekschen,

> also irgendwie komme ich nicht auf das
> [mm]:2\cdot{}\red{p}\cdot{}e^{p}[/mm] + [mm]p^{\red{2}}\cdot{}e^{p}[/mm] =
> [mm]p\cdot{}\dot{x}(p)[/mm]
>  
> denn wenn ich die Differentation nach p durchführe dann
> komme ich auf [mm]\dot{y}(p)*\red{p} =2p*e^p+p^2*e^p[/mm] dann muss
> ich doch durch p teilen um nur [mm]\dot{y}(p)[/mm] zu bekommen also
> wäre das dann
>  [mm]\dot{y}(p)[/mm]  = [mm]2*e^p+pe^p[/mm]
>  
> und das in die formel [mm]\dot{y}(p)[/mm] eingesetzt gibt
>  [mm]\dot{y}(p)=p*\dot{y}[/mm] (p)
>  und deshalb hab ich das [mm]\dot{y}(p)[/mm]  = [mm]2*e^p+pe^p[/mm] = p*
> [mm]\dot{x}(p)[/mm] gesetzt...was ich hier denn falsch beachtet? ich
> komm da nicht drauf..


[mm]y\left(p\right)[/mm] ist nach p differenziert [mm]\dot{y}\left(p\right)[/mm] und nicht [mm]p*\dot{y}\left(p\right)[/mm].


Gruss
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 So 28.11.2010
Autor: Teufelchen6

Aufgabe
hab trotzdem noch eine frage:
woher weiß ich denn hier z.b. dass ich das x(p) sofort aus der impliziten DGL bekomme und das um das y(p) zu bekommen noch integrieren muss?


hab jetzt folgendes raus:
x(p)= $ [mm] \bruch{1}{p}+ [/mm] $ cos(p)

müsste es nicht

x(p) = ln (p) + sin (p)       sein,

wenn dass direkt aus der dgl folgt?
was Kampfkekschen geschrieben hat ist doch die Differentiation, oder habe ich das falsch verstanden?

Bezug
                                                
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 So 28.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Teufelchen6,

> hab trotzdem noch eine frage:
>  woher weiß ich denn hier z.b. dass ich das x(p) sofort
> aus der impliziten DGL bekomme und das um das y(p) zu
> bekommen noch integrieren muss?
>  
>
> hab jetzt folgendes raus:
>  x(p)= [mm]\bruch{1}{p}+[/mm] cos(p)
>  müsste es nicht
>
> x(p) = ln (p) + sin (p)       sein,
>
> wenn dass direkt aus der dgl folgt?


So isses.


> was Kampfkekschen geschrieben hat ist doch die
> Differentiation, oder habe ich das falsch verstanden?


Das hast Du schon richtig verstanden.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Aufgabenteil c) Lösung?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 So 28.11.2010
Autor: Teufelchen6

Ich habe die c) folgendermaßen angefangen zu lösen:

mit y' := p folgt

y(p) = x(p)*p + [mm] \wurzel{1+ p^{2}} [/mm]


nach Differentiation

[mm]\dot y [/mm](p) =  [mm]\dot x [/mm] *p + x(p) + [mm] \bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}} [/mm]

dann

x(p) = - [mm] \bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}} [/mm]
in y(p) einsetzen:

y(p) =  - [mm] \bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}} [/mm] + [mm] \wurzel{1+ p^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+ p^{2}}} [/mm]

p = - [mm] \bruch{x}{\wurzel{1+ x^{2}}} [/mm]

in y(p) einsetzen

y(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+ \bruch{x^{2}}{1+ x^{2}}}} [/mm]

eine Lösung der DGL (Enveloppe)
allgemeine Lösungen sind dann y(x) = cx + [mm] \wurzel{1+ c^{2}} [/mm] eine Geradenschar


Bezug
                
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 So 28.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Teufelchen6,

> Ich habe die c) folgendermaßen angefangen zu lösen:
>  
> mit y' := p folgt
>  
> y(p) = x(p)*p + [mm]\wurzel{1+ p^{2}}[/mm]
>  
>
> nach Differentiation
>  
> [mm]\dot y [/mm](p) =  [mm]\dot x[/mm] *p + x(p) + [mm]\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm]
>  
> dann
>  
> x(p) = - [mm]\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm]
>  in y(p) einsetzen:
>  
> y(p) =  - [mm]\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm] + [mm]\wurzel{1+ p^{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm]
>  
> p = - [mm]\bruch{x}{\wurzel{1+ x^{2}}}[/mm]


Die Auflösung von

[mm]x = - \bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm]

nach p stimmt nicht.


>  
> in y(p) einsetzen
>  
> y(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+ \bruch{x^{2}}{1+ x^{2}}}}[/mm]
>  
> eine Lösung der DGL (Enveloppe)
> allgemeine Lösungen sind dann y(x) = cx + [mm]\wurzel{1+ c^{2}}[/mm]
> eine Geradenschar
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 So 28.11.2010
Autor: Teufelchen6

Das habe ich mir fast schon gedacht.

Ich hoffe ich habe jetzt den Fehler.

p = [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm]

Stimmt das so?

y(x) wäre dann entsprechend so wie vorher nur der Bruch unter der Wurzel wäre anders.

Bezug
                                
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 So 28.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Teufelchen6,

> Das habe ich mir fast schon gedacht.
>  
> Ich hoffe ich habe jetzt den Fehler.
>  
> p = [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
>  
> Stimmt das so?


Ja.


>  
> y(x) wäre dann entsprechend so wie vorher nur der Bruch
> unter der Wurzel wäre anders.


Das kann dann noch vereinfacht werden


Gruss
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:35 So 28.11.2010
Autor: Teufelchen6

Super, dass mache ich.
Vielen Dank fürs drüberschauen und korrigieren. :)

Bezug
                
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 So 28.11.2010
Autor: Kampfkekschen

hallo,

hab mal wieder eine frage dazu!
ich hab den anfang genauso gerechnet aber wenn ich jetzt mein x(p)= - [mm] \bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}} [/mm] in y(p) einsetze dann hab ich doch
y(p)= p*x(p)+ [mm] \wurzel{1+ p^{2}} [/mm]

also folgt bei mir
y(p)= p* [mm] (-\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}} [/mm] )+  [mm] \wurzel{1+ p^{2}} [/mm]
also y(p)= [mm] -\bruch{p^2}{\wurzel{1+ p^{2}}} [/mm] +  [mm] \wurzel{1+ p^{2}} [/mm]

wo mach ich hier denn meinen fehler? sieht das vllt jemand?

danke schonmal!!

Bezug
                        
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 So 28.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Kampfkekschen,

> hallo,
>  
> hab mal wieder eine frage dazu!
>  ich hab den anfang genauso gerechnet aber wenn ich jetzt
> mein x(p)= - [mm]\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm] in y(p) einsetze
> dann hab ich doch
>  y(p)= p*x(p)+ [mm]\wurzel{1+ p^{2}}[/mm]
>  
> also folgt bei mir
> y(p)= p* [mm](-\bruch{p}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm] )+  [mm]\wurzel{1+ p^{2}}[/mm]
>  
> also y(p)= [mm]-\bruch{p^2}{\wurzel{1+ p^{2}}}[/mm] +  [mm]\wurzel{1+ p^{2}}[/mm]
>  
> wo mach ich hier denn meinen fehler? sieht das vllt
> jemand?


Bis hierhin stimmt das.

Bringe jetzt die rechte Seite auf den Hauptnenner.


>  
> danke schonmal!!


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Lösungskurve implizite DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:18 Do 02.12.2010
Autor: Kampfkekschen

Habs dann doch noch gesehen!! Also danke für die Antwort!! ;)

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