Lösungsmenge des Affinen Raums < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Do 12.03.2015 | | Autor: | Nyuu |
| Aufgabe | Sei $X$ ein 4-dimensionaler affiner Raum über [mm] $\IR$ [/mm] mit Koordinatensystem
[mm] k:=(A_0,A_1,...,A_4) [/mm] und seien [mm] $B_i \in [/mm] X, i=1,...,4$, Punkte aus X mit entsprechenden Koordiantenvektroen [mm] v_1=(1,1,1,1)^T, v_2=(0,1,0,2)^T, v_3=(1,0,0,2)^T, v_4=(0,0,-1,3)^T [/mm] bzgl. k.
Sei ferner [mm] L_Y [/mm] die Menge aller Koordinatenvektoren bzgl. k von Elementen aus [mm] $Y:=\langle\{B_1,B_2,B_3,B_4\}\rangle_{af}$.
[/mm]
Bestimmen Sie eine Matrix $A$ und einen Vektor $d$ derart, dass [mm] $L_{Y}$ [/mm] die Lösungsmenge des Gleichungssystems (G) [mm] $A\cdot [/mm] x=d$ ist. Bestimmen Sie darüber hinaus die Dimension von $Y$. |
Okay ich habe also ein Koordinatensystem $k$ gegeben. Desweiteren kenne ich vier Punkte [mm] $B_i$ [/mm] und die dazu gehörigen vektoren [mm] $v_i$
[/mm]
Die Menge [mm] $L_Y$ [/mm] ist mir allerdings noch nicht ganz klar geworden.
[mm] L_Y [/mm] ist die Menge aller Koordinatenvektoren bzgl. k von Elementen aus [mm] $Y:=\langle\{B_1,B_2,B_3,B_4\}\rangle_{af}$.
[/mm]
Aber wie sieht diese Menge Y genau aus?
Mir ist noch nicht ganz klar geworden, was ein Affines Erzeugnis überhaupt darstellen soll. Wir haben das im Skript als Schnitt aller Untervektorräume definiert.
Besteht dann die Menge Y aus alllen Unterräumen von [mm] B_1, B_2, B_3 [/mm] und [mm] B_4? [/mm] Aber das sind ja nur Punkte wie können die einen Unterraum aufspannen?
Ich weiss auch garnicht wo ich nun anfangen soll meine Matrix A aufzustellen, da ich mir überhaupt nicht im klaren bin was mir die ganze aufgabenstellung sagen will. Ich habe schon versucht mir das ganze ein wenig im 3-dimensionalen zu veranschaulichen, aber ich bin noch nicht wirklich weiter gekommen.
Kann mir jemand helfen die Aufgabe zu entwirren, sodass ich verstehe was das ganze überhaupt aussagen soll?
mfg. Nyuu
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei [mm]X[/mm] ein 4-dimensionaler affiner Raum über [mm]\IR[/mm] mit
> Koordinatensystem
> [mm]k:=(A_0,A_1,...,A_4)[/mm] und seien [mm]B_i \in X, i=1,...,4[/mm], Punkte
> aus X mit entsprechenden Koordiantenvektroen
> [mm]v_1=(1,1,1,1)^T, v_2=(0,1,0,2)^T, v_3=(1,0,0,2)^T, v_4=(0,0,-1,3)^T[/mm]
> bzgl. k.
>
> Sei ferner [mm]L_Y[/mm] die Menge aller Koordinatenvektoren bzgl. k
> von Elementen aus
> [mm]Y:=\langle\{B_1,B_2,B_3,B_4\}\rangle_{af}[/mm].
>
> Bestimmen Sie eine Matrix [mm]A[/mm] und einen Vektor [mm]d[/mm] derart, dass
> [mm]L_{Y}[/mm] die Lösungsmenge des Gleichungssystems (G) [mm]A\cdot x=d[/mm]
> ist. Bestimmen Sie darüber hinaus die Dimension von [mm]Y[/mm].
> Okay ich habe also ein Koordinatensystem [mm]k[/mm] gegeben.
> Desweiteren kenne ich vier Punkte [mm]B_i[/mm] und die dazu
> gehörigen vektoren [mm]v_i[/mm]
> Die Menge [mm]L_Y[/mm] ist mir allerdings noch nicht ganz klar
> geworden.
>
> [mm]L_Y[/mm] ist die Menge aller Koordinatenvektoren bzgl. k von
> Elementen aus [mm]Y:=\langle\{B_1,B_2,B_3,B_4\}\rangle_{af}[/mm].
So ist es.
> Aber wie sieht diese Menge Y genau aus?
> Mir ist noch nicht ganz klar geworden, was ein Affines
> Erzeugnis überhaupt darstellen soll. Wir haben das im
> Skript als Schnitt aller Untervektorräume definiert.
Zunächst solltest du dir wie in dem anderen Thread klar machen, dass [mm] $L_{Y}$ [/mm] auch einfach als das affine Erzeugnis von [mm] $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ [/mm] geschrieben werden kann (die Koordinatenabbildung ist linear). Wir können also die ganze Zeit im [mm] $\IR^4$ [/mm] arbeiten und müssen und über diesen dubiosen zugrundeliegenden Vektorraum keine Gedanken machen.
---
Zum affinen Erzeugnis: Im Allgemeinen ist es zwar kompliziert als Schnitt über alle Untervektorräume definiert, aber in der Praxis und insbesondere im [mm] $\IR^n$ [/mm] ist es nicht schwer zu bestimmen. Stelle es dir anschaulich mal in [mm] $\IR^3$ [/mm] vor: Ein 2-dimensionaler affiner Unterraum ist dort eine Ebene. Eine Ebene kann mit 3 ORTSvektoren dort eindeutig definiert werden: Man muss einfach drei Punkte angeben, die auf der Ebene liegen. Gebe ich dir zum Beispiel
[mm] v_1 [/mm] = (1,1,1), [mm] v_2 [/mm] = (1,2,2), [mm] v_3 [/mm] = (3,1,1),
dann könntest du mir daraus sicher wie in der Schule eine Ebenengleichung basteln, indem du einen Vektor als Ortsvektor auswählst (nehmen wir den ersten [mm] $v_1$) [/mm] und dann mittels Differenzbildung [mm] $v_2 [/mm] - [mm] v_1$, $v_3 [/mm] - [mm] v_1$ [/mm] noch zwei Richtungsvektoren ermittelst. Die Ebene ist dann gegeben durch
$E = [mm] \{ v_1 + \lambda \cdot (v_2 - v_1) + \mu\cdot (v_3 - v_1)|\lambda,\mu \in \IR\} [/mm] = [mm] \{ (1,1,1) + \lambda (0,1,1) + \mu (2,0,0)| \lambda,\mu \in \IR\}$,
[/mm]
und damit hast du eine explizite Formel für deinen 2-dimensionalen affinen Unterraum. Du hast damit also gezeigt, was das affine Erzeugnis von [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] ist:
[mm] $\langle \{v_1,v_2,v_3\}\rangle_{af} [/mm] = E$
---
Genauso wie in dem dreidimensionalen Beispiel kannst du nun auch in deinem 4-dimensionalen Beispiel vorgehen. Du erwartest also einen 3-dimensionalen affinen Unterraum [mm] $L_Y$. [/mm] Du kannst ja mal eine explizite Formel für [mm] $L_Y$ [/mm] in der Form
[mm] $L_Y [/mm] = [mm] \{r_1 + \lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \lambda_3 w_3 | \lambda_i \in \IR\}$
[/mm]
mit expliziten Werten für [mm] $r_1,w_1,w_2,w_3$ [/mm] angeben.
Um nun die Matrix $A$ und $d$ anzugeben, solltest du dir nochmal anschauen, wie bei solchen inhomogenen Gleichungssystemen $Ax = d$ eine Lösung ermittelt wird. Dazu folgende Überlegungen:
1) Wie viele Nullzeilen hat $A$ ?
2) Kannst du ein $A$ angeben, so dass die Lösungen des homogenen Gleichungssystems $Ax = 0$ gerade den Untervektorraum [mm] $\{\lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \lambda_3 w_3 | \lambda_i \in \IR\}$ [/mm] ergeben?
3) Wieso ist das $A$ aus 2) genau das gesuchte $A$ und wie bekommst du $d$?
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Fr 13.03.2015 | | Autor: | Nyuu |
> Hallo,
>
> > Sei [mm]X[/mm] ein 4-dimensionaler affiner Raum über [mm]\IR[/mm] mit
> > Koordinatensystem
> > [mm]k:=(A_0,A_1,...,A_4)[/mm] und seien [mm]B_i \in X, i=1,...,4[/mm], Punkte
> > aus X mit entsprechenden Koordiantenvektroen
> > [mm]v_1=(1,1,1,1)^T, v_2=(0,1,0,2)^T, v_3=(1,0,0,2)^T, v_4=(0,0,-1,3)^T[/mm]
> > bzgl. k.
> >
> > Sei ferner [mm]L_Y[/mm] die Menge aller Koordinatenvektoren bzgl. k
> > von Elementen aus
> > [mm]Y:=\langle\{B_1,B_2,B_3,B_4\}\rangle_{af}[/mm].
> >
> > Bestimmen Sie eine Matrix [mm]A[/mm] und einen Vektor [mm]d[/mm] derart, dass
> > [mm]L_{Y}[/mm] die Lösungsmenge des Gleichungssystems (G) [mm]A\cdot x=d[/mm]
> > ist. Bestimmen Sie darüber hinaus die Dimension von [mm]Y[/mm].
> > Okay ich habe also ein Koordinatensystem [mm]k[/mm] gegeben.
> > Desweiteren kenne ich vier Punkte [mm]B_i[/mm] und die dazu
> > gehörigen vektoren [mm]v_i[/mm]
>
>
> > Die Menge [mm]L_Y[/mm] ist mir allerdings noch nicht ganz klar
> > geworden.
> >
> > [mm]L_Y[/mm] ist die Menge aller Koordinatenvektoren bzgl. k von
> > Elementen aus [mm]Y:=\langle\{B_1,B_2,B_3,B_4\}\rangle_{af}[/mm].
>
>
> So ist es.
>
>
> > Aber wie sieht diese Menge Y genau aus?
> > Mir ist noch nicht ganz klar geworden, was ein Affines
> > Erzeugnis überhaupt darstellen soll. Wir haben das im
> > Skript als Schnitt aller Untervektorräume definiert.
>
> Zunächst solltest du dir wie in dem anderen Thread klar
> machen, dass [mm]L_{Y}[/mm] auch einfach als das affine Erzeugnis
> von [mm]\{v_1,v_2,v_3,v_4\}[/mm] geschrieben werden kann (die
> Koordinatenabbildung ist linear). Wir können also die
> ganze Zeit im [mm]\IR^4[/mm] arbeiten und müssen und über diesen
> dubiosen zugrundeliegenden Vektorraum keine Gedanken
> machen.
Okay wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist das affine Erzeugnis von [mm]Y:=\langle\{B_1,B_2,B_3,B_4\}\rangle_{af}[/mm] nichts anderes als ein Untervektorraum der alle diese Punkte [mm] B_i [/mm] enthält. Die Menge [mm] L_Y [/mm] besteht aus allen Koordinatenvektoren, die in diesem "Raum" (ich würde jetzt erstmal erwarten, dass es möglicherweise ein 3-dimensionaler Raum ist) aufspannen.
Also bräuchte ich erstmal einen Stützvektor z.B. [mm] v_1. [/mm] Die Richtungsvektoren ergeben sich dann ja ebenfalls über die Differenz.
> ---
>
> Zum affinen Erzeugnis: Im Allgemeinen ist es zwar
> kompliziert als Schnitt über alle Untervektorräume
> definiert, aber in der Praxis und insbesondere im [mm]\IR^n[/mm] ist
> es nicht schwer zu bestimmen. Stelle es dir anschaulich mal
> in [mm]\IR^3[/mm] vor: Ein 2-dimensionaler affiner Unterraum ist
> dort eine Ebene. Eine Ebene kann mit 3 ORTSvektoren dort
> eindeutig definiert werden: Man muss einfach drei Punkte
> angeben, die auf der Ebene liegen. Gebe ich dir zum
> Beispiel
>
> [mm]v_1[/mm] = (1,1,1), [mm]v_2[/mm] = (1,2,2), [mm]v_3[/mm] = (3,1,1),
>
> dann könntest du mir daraus sicher wie in der Schule eine
> Ebenengleichung basteln, indem du einen Vektor als
> Ortsvektor auswählst (nehmen wir den ersten [mm]v_1[/mm]) und dann
> mittels Differenzbildung [mm]v_2 - v_1[/mm], [mm]v_3 - v_1[/mm] noch zwei
> Richtungsvektoren ermittelst. Die Ebene ist dann gegeben
> durch
>
> [mm]E = \{ v_1 + \lambda \cdot (v_2 - v_1) + \mu\cdot (v_3 - v_1)|\lambda,\mu \in \IR\} = \{ (1,1,1) + \lambda (0,1,1) + \mu (2,0,0)| \lambda,\mu \in \IR\}[/mm],
>
> und damit hast du eine explizite Formel für deinen
> 2-dimensionalen affinen Unterraum. Du hast damit also
> gezeigt, was das affine Erzeugnis von [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] ist:
>
> [mm]\langle \{v_1,v_2,v_3\}\rangle_{af} = E[/mm]
Das habe ich soweit verstanden.
Der Raum würde dann gegenfalls so aussehen:
[mm] R=\{ v_1 + \lambda\cdot (v_2-v_1) + \mu \cdot (v_3-v_1) + t \cdot (v_4-v_1) | \lambda,\mu, t \in \IR\} [/mm] = [mm] \{ (1,1,1,1,) + \lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) + t \cdot (-1,-1,-2,2) | \lambda,\mu, t \in \IR\}
[/mm]
Der letzte Vektor [mm] v_4= v_3+v_2 [/mm] lässt sich also Linearkombinieren. Dementsprechend hätten wir hier doch wieder eine Ebene:
E = [mm] \{ (1,1,1,1,) + \lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) | \lambda,\mu \in \IR\}
[/mm]
Also wäre das affine Erzegnis von [mm]v_1,v_2,v_3,v_3[/mm]
[mm] \langle \{v_1,v_2,v_3,v_4\}\rangle_{af} [/mm] = E
> ---
>
> Genauso wie in dem dreidimensionalen Beispiel kannst du nun
> auch in deinem 4-dimensionalen Beispiel vorgehen. Du
> erwartest also einen 3-dimensionalen affinen Unterraum [mm]L_Y[/mm].
> Du kannst ja mal eine explizite Formel für [mm]L_Y[/mm] in der
> Form
>
> [mm]L_Y = \{r_1 + \lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \lambda_3 w_3 | \lambda_i \in \IR\}[/mm]
>
> mit expliziten Werten für [mm]r_1,w_1,w_2,w_3[/mm] angeben.
Das wäre dann ja: E = [mm] \{ (1,1,1,1,) + \lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) | \lambda,\mu \in \IR\}
[/mm]
> Um nun die Matrix [mm]A[/mm] und [mm]d[/mm] anzugeben, solltest du dir
> nochmal anschauen, wie bei solchen inhomogenen
> Gleichungssystemen [mm]Ax = d[/mm] eine Lösung ermittelt wird. Dazu
> folgende Überlegungen:
>
> 1) Wie viele Nullzeilen hat [mm]A[/mm] ?
A hat genau 2-Nullzeilen, da mein affines Erzeugnis eine Ebene ist und somit die Dimension 2 hat. Jetzt ist das Lineare Gleichungssystem nur dann lösbar, wenn der Rang der Matrix A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizenten Matrix (A|d) entspricht.
Demnach müsste der Vektor d, ebenfalls zweidimensional sein.
> 2) Kannst du ein [mm]A[/mm] angeben, so dass die Lösungen des
> homogenen Gleichungssystems [mm]Ax = 0[/mm] gerade den
> Untervektorraum [mm]\{\lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \lambda_3 w_3 | \lambda_i \in \IR\}[/mm]
> ergeben?
Damit der Unterraum 0-werden kann müsste der Stützvekotr wegfallen in meiner obigen gleichung.
E = [mm] \{\lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) | \lambda,\mu \in \IR\}
[/mm]
Eine Basis der Ebene E wäre gegeben durch [mm] B=\{(-1,0,-1,1), (0,-1,-1,1)\}
[/mm]
Um jetzt eine Matrix A zu bekommen die E als Lösungsmenge hat, müsste ich ja
[mm] A\cdot v_i=0 [/mm] mit i=1,2,3,4 rechnen.
Daraus würde ich dann wieder gleichungen erhalten mit denen ich eine Matrix A aufstellen kann.
Ich hab das jetzt mal gemacht und folgende Matrix A heraus bekommen:
Ich sehe grade ich hatte mich vertan:
[mm] \pmat{ a & b & c & d \\ e & f & g & h }\cdot v_i [/mm] = 0
Damit erhält man die Gleichungen
(1) -a - c + d = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] a = d-c
(2) -b - c + d = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] d=b+c
Also für (1) a=b und für (2) d=a+c
Wähle a=b=1. Dann wähle ich d=0 und erhalte 0=1+c [mm] \Leftrightarrow [/mm] -1=c
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 0 \\ e & f & g & h }
[/mm]
Nun muss ich wieder einen Linearunabhängigen Vektor finden welcher die obigen eigenschaften erfüllt, dass wäre z.B.
(-1,-1,0,-1)
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & -1 }
[/mm]
> 3) Wieso ist das [mm]A[/mm] aus 2) genau das gesuchte [mm]A[/mm] und wie
> bekommst du [mm]d[/mm]?
Mh weil es sich nur um einen Stutzvektor (1,1,1,1) von meiner anderen Lösungsmenge unterscheidet?
Mh irgendwas muss ich sicher noch mit meinem Stutzvektor (1,1,1,1) machen.
Für den kommt aber ja grade nicht [mm] A\cdot [/mm] x = 0 heraus.
Ist das nicht irgendwie ein Problem?
> Viele Grüße,
> Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Zunächst solltest du dir wie in dem anderen Thread klar
> > machen, dass [mm]L_{Y}[/mm] auch einfach als das affine Erzeugnis
> > von [mm]\{v_1,v_2,v_3,v_4\}[/mm] geschrieben werden kann (die
> > Koordinatenabbildung ist linear). Wir können also die
> > ganze Zeit im [mm]\IR^4[/mm] arbeiten und müssen und über diesen
> > dubiosen zugrundeliegenden Vektorraum keine Gedanken
> > machen.
>
> Okay wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist das
> affine Erzeugnis von
> [mm]Y:=\langle\{B_1,B_2,B_3,B_4\}\rangle_{af}[/mm] nichts anderes
> als ein Untervektorraum
Kein Untervektorraum (laut Definition müsste dann 0 drinliegen), aber du ein in der Vorstellung "verschobener" Untervektorraum. Eine beliebige Ebene im Raum [mm] $\IR^3$, [/mm] die nicht durch 0 geht, ist ja auch kein Untervektorraum.
> der alle diese Punkte [mm]B_i[/mm] enthält.
> Die Menge [mm]L_Y[/mm] besteht aus allen Koordinatenvektoren, die in
> diesem "Raum" (ich würde jetzt erstmal erwarten, dass es
> möglicherweise ein 3-dimensionaler Raum ist) aufspannen.
ok.
> Also bräuchte ich erstmal einen Stützvektor z.B. [mm]v_1.[/mm] Die
> Richtungsvektoren ergeben sich dann ja ebenfalls über die
> Differenz.
Genau.
> Der Raum würde dann gegenfalls so aussehen:
>
> [mm]R=\{ v_1 + \lambda\cdot (v_2-v_1) + \mu \cdot (v_3-v_1) + t \cdot (v_4-v_1) | \lambda,\mu, t \in \IR\}[/mm]
> = [mm]\{ (1,1,1,1,) + \lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) + t \cdot (-1,-1,-2,2) | \lambda,\mu, t \in \IR\}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Der letzte Vektor [mm]v_4= v_3+v_2[/mm] lässt sich also
> Linearkombinieren. Dementsprechend hätten wir hier doch
> wieder eine Ebene:
>
> E = [mm]\{ (1,1,1,1,) + \lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) | \lambda,\mu \in \IR\}[/mm]
>
> Also wäre das affine Erzegnis von [mm]v_1,v_2,v_3,v_4[/mm]
>
> [mm]\langle \{v_1,v_2,v_3,v_4\}\rangle_{af}[/mm] = E
So ist es !
> > Genauso wie in dem dreidimensionalen Beispiel kannst du nun
> > auch in deinem 4-dimensionalen Beispiel vorgehen. Du
> > erwartest also einen 3-dimensionalen affinen Unterraum [mm]L_Y[/mm].
> > Du kannst ja mal eine explizite Formel für [mm]L_Y[/mm] in der
> > Form
> >
> > [mm]L_Y = \{r_1 + \lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \lambda_3 w_3 | \lambda_i \in \IR\}[/mm]
>
> >
> > mit expliziten Werten für [mm]r_1,w_1,w_2,w_3[/mm] angeben.
>
> Das wäre dann ja: E = [mm]\{ (1,1,1,1,) + \lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) | \lambda,\mu \in \IR\}[/mm]
Ja.
> > Um nun die Matrix [mm]A[/mm] und [mm]d[/mm] anzugeben, solltest du dir
> > nochmal anschauen, wie bei solchen inhomogenen
> > Gleichungssystemen [mm]Ax = d[/mm] eine Lösung ermittelt wird. Dazu
> > folgende Überlegungen:
> >
> > 1) Wie viele Nullzeilen hat [mm]A[/mm] ?
>
> A hat genau 2-Nullzeilen, da mein affines Erzeugnis eine
> Ebene ist und somit die Dimension 2 hat. Jetzt ist das
> Lineare Gleichungssystem nur dann lösbar, wenn der Rang
> der Matrix A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizenten
> Matrix (A|d) entspricht.
> Demnach müsste der Vektor d, ebenfalls zweidimensional
> sein.
Du meinst: Er muss auch bei zwei Komponenten eine Null haben (die den Nullzeilen von $A$ entsprechen).
> > 2) Kannst du ein [mm]A[/mm] angeben, so dass die Lösungen des
> > homogenen Gleichungssystems [mm]Ax = 0[/mm] gerade den
> > Untervektorraum [mm]\{\lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \lambda_3 w_3 | \lambda_i \in \IR\}[/mm]
> > ergeben?
>
> Damit der Unterraum 0-werden kann müsste der Stützvekotr
> wegfallen in meiner obigen gleichung.
>
> E = [mm]\{\lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) | \lambda,\mu \in \IR\}[/mm]
>
> Eine Basis der Ebene E wäre gegeben durch [mm]B=\{(-1,0,-1,1), (0,-1,-1,1)\}[/mm]
Ja.
> Um jetzt eine Matrix A zu bekommen die E als Lösungsmenge
> hat, müsste ich ja
>
> [mm]A\cdot v_i=0[/mm] mit i=1,2,3,4 rechnen.
Du meinst $A [mm] w_i [/mm] = 0$ für $i = 1,2$ (nur die beiden Basisvektoren der Ebene müssen im Kern der Matrix liegen, nicht die Ausgangsvektoren [mm] $v_i$, [/mm] welche den affinen Raum aufspannen)
> Daraus würde ich dann wieder gleichungen erhalten mit
> denen ich eine Matrix A aufstellen kann.
>
> Ich hab das jetzt mal gemacht und folgende Matrix A heraus
> bekommen:
>
> Ich sehe grade ich hatte mich vertan:
>
> [mm]\pmat{ a & b & c & d \\ e & f & g & h }\cdot v_i[/mm] = 0
>
> Damit erhält man die Gleichungen
>
> (1) -a - c + d = 0 [mm]\Leftrightarrow[/mm] a = d-c
>
> (2) -b - c + d = 0 [mm]\Leftrightarrow[/mm] d=b+c
>
> Also für (1) a=b und für (2) d=a+c
>
> Wähle a=b=1. Dann wähle ich d=0 und erhalte 0=1+c
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] -1=c
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 0 \\ e & f & g & h }[/mm]
>
> Nun muss ich wieder einen Linearunabhängigen Vektor finden
> welcher die obigen eigenschaften erfüllt, dass wäre z.B.
>
> (-1,-1,0,-1)
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & -1 }[/mm]
Ja, das sieht gut aus !
> > 3) Wieso ist das [mm]A[/mm] aus 2) genau das gesuchte [mm]A[/mm] und wie
> > bekommst du [mm]d[/mm]?
>
> Mh weil es sich nur um einen Stutzvektor (1,1,1,1) von
> meiner anderen Lösungsmenge unterscheidet?
Ja.
> Mh irgendwas muss ich sicher noch mit meinem Stutzvektor
> (1,1,1,1) machen.
>
> Für den kommt aber ja grade nicht [mm]A\cdot[/mm] x = 0 heraus.
>
> Ist das nicht irgendwie ein Problem?
Nein, das ist zunächst kein Problem.
Ein wichtiger Aspekt, den man sich beim Lösen von inhomogenen linearen Gleichungssystemen $Ax = d$ zu Nutze macht, ist, dass das $d$ im Vergleich zu $Ax = 0$ nur für eine Verschiebung der Lösungsmenge im Raum sorgt.
Ist also die Lösungsmenge von $Ax = 0$ ein bestimmter Untervektorraum $U$, dann ist die Lösungsmenge von $Ax = d$ gegeben durch eine Menge $U + p$ mit einem Vektor $p$ (Ist $U$ zum Beispiel eine Ebene, so bedeutet dass, dass die Lösungsmenge von $Ax = d$ dieselbe Ebene ist, nur verschoben im Raum).
Daraus kannst du schonmal schlussfolgern, dass das $A$, was du oben ermittelt hast, auf jeden Fall das gesuchte $A$ ist: Dein $A$ liefert den richtigen Lösungsraum $E$ bis auf einen Verschiebungsvektor [mm] $v_1$.
[/mm]
Um nun $d$ zu erhalten, musst du einfach $d = [mm] Av_1$ [/mm] mit deinem gewählten Ortsvektor [mm] $v_1$ [/mm] ausrechnen. Dadurch erreichst du offensichtlich, dass [mm] $v_1$ [/mm] in der Lösungsmenge deines Gleichungssystems liegt und damit wird der Lösungsraum $E$ genau richtig verschoben.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Sa 14.03.2015 | | Autor: | Nyuu |
> Hallo,
>
>
>
> > > Zunächst solltest du dir wie in dem anderen Thread klar
> > > machen, dass [mm]L_{Y}[/mm] auch einfach als das affine Erzeugnis
> > > von [mm]\{v_1,v_2,v_3,v_4\}[/mm] geschrieben werden kann (die
> > > Koordinatenabbildung ist linear). Wir können also die
> > > ganze Zeit im [mm]\IR^4[/mm] arbeiten und müssen und über diesen
> > > dubiosen zugrundeliegenden Vektorraum keine Gedanken
> > > machen.
> >
> > Okay wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist das
> > affine Erzeugnis von
> > [mm]Y:=\langle\{B_1,B_2,B_3,B_4\}\rangle_{af}[/mm] nichts anderes
> > als ein Untervektorraum
>
> Kein Untervektorraum (laut Definition müsste dann 0
> drinliegen), aber du ein in der Vorstellung "verschobener"
> Untervektorraum. Eine beliebige Ebene im Raum [mm]\IR^3[/mm], die
> nicht durch 0 geht, ist ja auch kein Untervektorraum.
>
> > der alle diese Punkte [mm]B_i[/mm] enthält.
> > Die Menge [mm]L_Y[/mm] besteht aus allen Koordinatenvektoren, die in
> > diesem "Raum" (ich würde jetzt erstmal erwarten, dass es
> > möglicherweise ein 3-dimensionaler Raum ist) aufspannen.
>
> ok.
>
> > Also bräuchte ich erstmal einen Stützvektor z.B. [mm]v_1.[/mm] Die
> > Richtungsvektoren ergeben sich dann ja ebenfalls über die
> > Differenz.
>
> Genau.
>
>
>
>
> > Der Raum würde dann gegenfalls so aussehen:
> >
> > [mm]R=\{ v_1 + \lambda\cdot (v_2-v_1) + \mu \cdot (v_3-v_1) + t \cdot (v_4-v_1) | \lambda,\mu, t \in \IR\}[/mm]
> > = [mm]\{ (1,1,1,1,) + \lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) + t \cdot (-1,-1,-2,2) | \lambda,\mu, t \in \IR\}[/mm]
>
>
>
>
>
> > Der letzte Vektor [mm]v_4= v_3+v_2[/mm] lässt sich also
> > Linearkombinieren. Dementsprechend hätten wir hier doch
> > wieder eine Ebene:
> >
> > E = [mm]\{ (1,1,1,1,) + \lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) | \lambda,\mu \in \IR\}[/mm]
>
> >
> > Also wäre das affine Erzegnis von [mm]v_1,v_2,v_3,v_4[/mm]
> >
> > [mm]\langle \{v_1,v_2,v_3,v_4\}\rangle_{af}[/mm] = E
>
>
> So ist es !
>
>
>
> > > Genauso wie in dem dreidimensionalen Beispiel kannst du nun
> > > auch in deinem 4-dimensionalen Beispiel vorgehen. Du
> > > erwartest also einen 3-dimensionalen affinen Unterraum [mm]L_Y[/mm].
> > > Du kannst ja mal eine explizite Formel für [mm]L_Y[/mm] in der
> > > Form
> > >
> > > [mm]L_Y = \{r_1 + \lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \lambda_3 w_3 | \lambda_i \in \IR\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > mit expliziten Werten für [mm]r_1,w_1,w_2,w_3[/mm] angeben.
> >
> > Das wäre dann ja: E = [mm]\{ (1,1,1,1,) + \lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) | \lambda,\mu \in \IR\}[/mm]
>
>
> Ja.
>
>
> > > Um nun die Matrix [mm]A[/mm] und [mm]d[/mm] anzugeben, solltest du dir
> > > nochmal anschauen, wie bei solchen inhomogenen
> > > Gleichungssystemen [mm]Ax = d[/mm] eine Lösung ermittelt wird. Dazu
> > > folgende Überlegungen:
> > >
> > > 1) Wie viele Nullzeilen hat [mm]A[/mm] ?
> >
> > A hat genau 2-Nullzeilen, da mein affines Erzeugnis eine
> > Ebene ist und somit die Dimension 2 hat. Jetzt ist das
> > Lineare Gleichungssystem nur dann lösbar, wenn der Rang
> > der Matrix A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizenten
> > Matrix (A|d) entspricht.
> > Demnach müsste der Vektor d, ebenfalls zweidimensional
> > sein.
>
>
> Du meinst: Er muss auch bei zwei Komponenten eine Null
> haben (die den Nullzeilen von [mm]A[/mm] entsprechen).
>
>
> > > 2) Kannst du ein [mm]A[/mm] angeben, so dass die Lösungen des
> > > homogenen Gleichungssystems [mm]Ax = 0[/mm] gerade den
> > > Untervektorraum [mm]\{\lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \lambda_3 w_3 | \lambda_i \in \IR\}[/mm]
> > > ergeben?
> >
> > Damit der Unterraum 0-werden kann müsste der Stützvekotr
> > wegfallen in meiner obigen gleichung.
> >
> > E = [mm]\{\lambda\cdot (-1,0,-1,1) + \mu \cdot (0,-1,-1,1) | \lambda,\mu \in \IR\}[/mm]
>
> >
> > Eine Basis der Ebene E wäre gegeben durch [mm]B=\{(-1,0,-1,1), (0,-1,-1,1)\}[/mm]
>
>
> Ja.
>
>
> > Um jetzt eine Matrix A zu bekommen die E als Lösungsmenge
> > hat, müsste ich ja
> >
> > [mm]A\cdot v_i=0[/mm] mit i=1,2,3,4 rechnen.
>
>
> Du meinst [mm]A w_i = 0[/mm] für [mm]i = 1,2[/mm] (nur die beiden
> Basisvektoren der Ebene müssen im Kern der Matrix liegen,
> nicht die Ausgangsvektoren [mm]v_i[/mm], welche den affinen Raum
> aufspannen)
>
> > Daraus würde ich dann wieder gleichungen erhalten mit
> > denen ich eine Matrix A aufstellen kann.
> >
> > Ich hab das jetzt mal gemacht und folgende Matrix A heraus
> > bekommen:
> >
> > Ich sehe grade ich hatte mich vertan:
> >
> > [mm]\pmat{ a & b & c & d \\ e & f & g & h }\cdot v_i[/mm] = 0
> >
> > Damit erhält man die Gleichungen
> >
> > (1) -a - c + d = 0 [mm]\Leftrightarrow[/mm] a = d-c
> >
> > (2) -b - c + d = 0 [mm]\Leftrightarrow[/mm] d=b+c
> >
> > Also für (1) a=b und für (2) d=a+c
> >
> > Wähle a=b=1. Dann wähle ich d=0 und erhalte 0=1+c
> > [mm]\Leftrightarrow[/mm] -1=c
> >
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 0 \\ e & f & g & h }[/mm]
> >
> > Nun muss ich wieder einen Linearunabhängigen Vektor finden
> > welcher die obigen eigenschaften erfüllt, dass wäre z.B.
> >
> > (-1,-1,0,-1)
> >
> > A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & -1 }[/mm]
>
>
> Ja, das sieht gut aus !
>
>
>
> > > 3) Wieso ist das [mm]A[/mm] aus 2) genau das gesuchte [mm]A[/mm] und wie
> > > bekommst du [mm]d[/mm]?
> >
> > Mh weil es sich nur um einen Stutzvektor (1,1,1,1) von
> > meiner anderen Lösungsmenge unterscheidet?
>
> Ja.
>
> > Mh irgendwas muss ich sicher noch mit meinem Stutzvektor
> > (1,1,1,1) machen.
> >
> > Für den kommt aber ja grade nicht [mm]A\cdot[/mm] x = 0 heraus.
> >
> > Ist das nicht irgendwie ein Problem?
>
> Nein, das ist zunächst kein Problem.
> Ein wichtiger Aspekt, den man sich beim Lösen von
> inhomogenen linearen Gleichungssystemen [mm]Ax = d[/mm] zu Nutze
> macht, ist, dass das [mm]d[/mm] im Vergleich zu [mm]Ax = 0[/mm] nur für eine
> Verschiebung der Lösungsmenge im Raum sorgt.
>
> Ist also die Lösungsmenge von [mm]Ax = 0[/mm] ein bestimmter
> Untervektorraum [mm]U[/mm], dann ist die Lösungsmenge von [mm]Ax = d[/mm]
> gegeben durch eine Menge [mm]U + p[/mm] mit einem Vektor [mm]p[/mm] (Ist [mm]U[/mm]
> zum Beispiel eine Ebene, so bedeutet dass, dass die
> Lösungsmenge von [mm]Ax = d[/mm] dieselbe Ebene ist, nur verschoben
> im Raum).
>
>
> Daraus kannst du schonmal schlussfolgern, dass das [mm]A[/mm], was
> du oben ermittelt hast, auf jeden Fall das gesuchte [mm]A[/mm] ist:
> Dein [mm]A[/mm] liefert den richtigen Lösungsraum [mm]E[/mm] bis auf einen
> Verschiebungsvektor [mm]v_1[/mm].
>
> Um nun [mm]d[/mm] zu erhalten, musst du einfach [mm]d = Av_1[/mm] mit deinem
> gewählten Ortsvektor [mm]v_1[/mm] ausrechnen. Dadurch erreichst du
> offensichtlich, dass [mm]v_1[/mm] in der Lösungsmenge deines
> Gleichungssystems liegt und damit wird der Lösungsraum [mm]E[/mm]
> genau richtig verschoben.
Ah okay vielen dank ich habs nun verstanden :)
Die berechnung von [mm] v_1 [/mm] stellt ja kein Problem dar.
Vielen dank für die Mühe,
mfg. Nyuu
|
|
|
|
