Lösungsmenge eines lin. GLS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden inhomogenen linearen Gleichungssysteme:
a)
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5 \\ x6} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
b)
[mm] \pmat{ 3 & 0 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 & 6 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 } [/mm] |
Hallo erstmal :)
Ich habe die obere Matrix aus a) so weit vereinfacht, dass ich auf folgende Matrix komme:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & -5 & -2 & -4 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -3 & 6 }
[/mm]
Allerdings stelle ich an dieser Stelle mal wieder fest, dass ich nicht genau weiß, wie es weitergeht. Ich erinnere mich noch an die Wahl von freien Parametern, aber...
ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden inhomogenen
> linearen Gleichungssysteme:
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> a)
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 2 & 1 }[/mm]
> * [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5 \\ x6}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") diese Multiplikation ist nicht definiert, glaube, du hast dich verschrieben, es muss heißen [mm] ....\cdot{}\vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5}
[/mm]
>
> b)
> [mm]\pmat{ 3 & 0 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 & 6 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 }[/mm]
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> Hallo erstmal :)
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> Ich habe die obere Matrix aus a) so weit vereinfacht, dass
> ich auf folgende Matrix komme:
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & -5 & -2 & -4 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -3 & 6 }[/mm]
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> Allerdings stelle ich an dieser Stelle mal wieder fest,
> dass ich nicht genau weiß, wie es weitergeht. Ich erinnere
> mich noch an die Wahl von freien Parametern, aber...
>
> ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo newkrider,
also du hast erhalten:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & | & -1 \\ 0 & -5 & -2 & -4 & -2 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -3 & | & 6 }
[/mm]
Du suchst einen Lösungsvektor [mm] \vec{x}\in\IR^5 [/mm] mit 5 Komponenten, also [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5}, [/mm] der die Matrixgleichung von oben erfüllt.
Nun, du hast 5 Unbekannte und 3 Gleichungen, mithin 2 frei wählbare Variablen,
beginnen wir in der letzten Zeile und setzen zB. [mm] x_5=t [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Dann folgt mit der letzten Zeile: [mm] -2x_4-3t=6 \Rightarrow x_4=-3-\bruch{3}{2}t
[/mm]
Nun schauen wir uns die zweite Zeile an, hier haben wir wieder die Wahl:
Setzen wir [mm] x_3=s [/mm] mit [mm] s\in\IR
[/mm]
Setzte nun die Lösungen für [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] ein und berechne [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_1.
[/mm]
Versuche es mal von hier aus weiter, wir gucken gerne drüber
(Du kannst ja auch mal probieren, was herauskommt, wenn du statt [mm] x_5 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] mal [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] frei wählst)
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Mo 26.03.2007 | | Autor: | newkrider |
Hey schachuzipus,
danke für deine Hilfe und die schnelle Antwort.
Ich habe entsprechend weitergerechnet und habe folgendes Ergebnis erhalten:
[mm] x_{5} [/mm] = t
[mm] x_{4} [/mm] = -3 - [mm] \bruch{3}{2}t
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (13 + 4t - 5s)
[mm] x_{2} [/mm] = s
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(5 [/mm] + 2t - s)
Ich habe das Grundprinzip jetzt verstanden, danke nochmal für die Erklärung.
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> Ich habe entsprechend weitergerechnet und habe folgendes
> Ergebnis erhalten:
>
> [mm]x_{5}[/mm] = t
> [mm]x_{4}[/mm] = -3 - [mm]\bruch{3}{2}t[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (13 + 4t - 5s)
> [mm]x_{2}[/mm] = s
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(5[/mm] + 2t - s)
Hallo nochmal,
kann es sein, dass du bei der Lösung von [mm] x_1 [/mm] nen VZF hast?
Ich habe raus: [mm] x_1=\bruch{1}{2}(5\red{+}s+2t)
[/mm]
Die Lösung(smenge) kannst du noch schön aufschreiben als
[mm] \IL:=\{\vec{x}\in\IR^5:\vec{x}=\vektor{\bruch{5}{2} \\ 0 \\ \bruch{13}{2} \\ -3 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ -\bruch{5}{2} \\ 0 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ -\bruch{3}{2} \\ 1},s,t\in\IR\}
[/mm]
[mm] =\{\vec{x}\in\IR^5:\vec{x}=\bruch{1}{2}\cdot{}\vektor{5 \\ 0 \\ 13 \\ -6 \\ 0}+\tilde{s}\cdot{}\vektor{1 \\ 2 \\ -5 \\ 0 \\ 0}+\tilde{t}\cdot{}\vektor{2 \\ 0 \\ 4 \\ -3 \\ 2},\tilde{s},\tilde{t}\in\IR\}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:03 Di 27.03.2007 | | Autor: | newkrider |
Ja, war mein Fehler, auf dem Papier steht da auch ein Plus.
Schon wieder einen Schritt weiter ;)
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