Lösungsmengen bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Sa 30.01.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | a) [mm] M_1 [/mm] = {z [mm] \in \IC [/mm] | |z + i| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] }
b) [mm] M_2 [/mm] = {z [mm] \in \IC [/mm] | | [mm] \bruch{Re(z)}{2} [/mm] | [mm] \le \bruch{Im(z)}{4} [/mm] }
c) (z + [mm] \bruch{1}{i})*(z^3 [/mm] + 1) = 0
|
ich hab die musterlösung, aber ich weiß nicht so genau, wie man daraufkommt, deshalb bitte ich hier um eine erklärung.
a) [mm] M_1 [/mm] ist die Menge aller Punkte im Innern des Kreises um −i mit dem Radius 1/2 (ohne den Rand)
b) [mm] M_2 [/mm] ist der Bereich zwischen den Geraden y = −2x und y = 2x oberhalb der x-Achse (Geraden mit eingeschlossen).
c) ich habe [mm] z_1=i [/mm] und [mm] z_2=-1, [/mm] es sind noch 2 weitere Lösungen, bei denen ich nicht weiß, wie sie zustande kommen.
[mm] z_3=cos(\pi/3)+isin(\pi/3)=0,5+i0,5*\wurzel(3)
[/mm]
[mm] z_3=cos(5\pi/3)+isin(5\pi/3)=0,5-i0,5*\wurzel(3)
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 So 31.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo johnyan!
Sei $z \ := \ x+i*y$ , dann gilt:
$$|z+i| \ = \ |x+i*y+i| \ = \ |x+i*(y+1)| \ = \ [mm] \wurzel{x^2+(y+1)^2}$$
[/mm]
Es ergibt sich also folgende zu lösende Ungleichung:
[mm] $$\wurzel{x^2+(y+1)^2} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{2}$$
[/mm]
Durch Quadrieren erhält man eine Kreisgleichung.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 So 31.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
sei z:=x+iy also
Re(z)=x und Im(z)=y dann folgt aus der Voraussetzung
[mm] 2*|x|\le{y} [/mm] Also
I) [mm] 2*x\le{y} [/mm] für [mm] x\ge{0} [/mm] und
II) [mm] -2*x\le{y} [/mm] für [mm] x\le{0}
[/mm]
Das muss man sich mal aufzeichnen, dann siehst Du wo die Lösungsmenge liegt.
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 So 31.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] (z+\bruch{1}{i})*(z^3+1)=0
[/mm]
Die Gleichung hat Lösungen, wenn die einzelnen Faktoren Null werden.
Also z.B [mm] z^3+1=0
[/mm]
Sei [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] mir r>0 [mm] \Rightarrow z^3=r^3*e^{i*3\phi} [/mm] mit [mm] e^{i\phi}=cos(\phi)+i*sin(\phi)
[/mm]
Es ist also die Gleichung [mm] r^3*e^{i3\phi}=-1 [/mm] zu lösen. Daraus folgt schon mal r=1
Also ist nach Aufteilung in Real- und Imaginärteil folgendes zu lösen:
I) [mm] cos(3\phi)=-1 [/mm] und
II) [mm] sin(3\phi)=0
[/mm]
Die Sinusfunktion wird an den Stellen [mm] k*\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] Null. Jetzt muss man die Stellen finden wo auch der Cosinus -1 wird. Dann kommst Du auf die angegebenen Lösungen.
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 31.01.2010 | | Autor: | johnyan |
Vielen Dank schon mal, a) und b) verstehe ich jetzt.
nur bei c) ist es mir noch nicht ganz klar.
sinus hat bei [mm] k*\pi, k\in\IZ [/mm] seine Nullstellen, während cosinus bei [mm] (2k-1)*\pi [/mm] den Wert -1 annimmt. Dann heißt das doch, dass man für [mm] \phi [/mm] nur [mm] (2k-1)*\pi [/mm] einsetzen darf.
bei $ [mm] cos(3\phi)=-1 [/mm] $ heißt das z.B. [mm] 3\phi=1*\pi [/mm] => [mm] \phi=\pi/3
[/mm]
oder auch [mm] 3\phi=3*\pi [/mm] => [mm] \phi=\pi
[/mm]
oder auch [mm] 3\phi=5*\pi [/mm] => [mm] \phi=5*\pi/3
[/mm]
man geht nicht mehr weiter zu [mm] 3\phi=7*\pi, [/mm] weil dann wieder folgendes gilt:
[mm] 3\phi=7\pi/3=2\pi+\pi/3
[/mm]
stimmt meine Überlegung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 So 31.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
so ist es richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
mfg ullim
|
|
|
|
