Lösungsmengen bestimmen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Berechnen sie die Lösungsmengen:
a) $|x-5|=3$
b) $|5-x| [mm] \leq [/mm] -x$ |
Meine Lösungsmengen:
a) [mm] $\mathbb [/mm] L = [mm] \{2, 8\}$
[/mm]
b) [mm] $\mathbb L_{12} [/mm] = [mm] \left]-\infty; 2,5 \right[
[/mm]
Stimmen die so?
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Moin bandchef,
> Berechnen sie die Lösungsmengen:
>
> a) [mm]|x-5|=3[/mm]
>
> b) [mm]|5-x| \leq -x[/mm]
>
> Meine Lösungsmengen:
>
>
> a) [mm]\mathbb L = \{2, 8\}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) [mm]$\mathbb L_{12}[/mm] = [mm]\left]-\infty; 2,5 \right[[/mm]
Nein, schau nochmal genauer hin.
x>0 geht nicht, da dann die rechte Seite negativ (klar).
Warum geht [mm] x\leq0 [/mm] auch nicht?
>
>
> Stimmen die so?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Meinst du so:
[mm] $\mathbb L_{12} [/mm] $ = $ [mm] \left]-\infty; 2,5 \right] [/mm] $
Wenn nicht hab ich das was du gerade dazu geschrieben hast nicht wirklich verstanden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mi 23.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Meinst du so:
>
> [mm]\mathbb L_{12}[/mm] = [mm]\left]-\infty; 2,5 \right][/mm]
Nein, siehe hier
>
>
> Wenn nicht hab ich das was du gerade dazu geschrieben hast
> nicht wirklich verstanden...
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Warum geht $ [mm] x\leq0 [/mm] $ auch nicht?"
Wenn ich nun mit -5 durchrechne:
$5-(-5) [mm] \leq [/mm] -(-5)$
$10 [mm] \leq [/mm] 5$
Sieht aus als ob das doch nicht geht.
Es geht also x>0 und [mm] $x\leq0$ [/mm] nicht. Was ist da dann mit der Lösungsmenge los?
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> Zitat: "Warum geht [mm]x\leq0[/mm] auch nicht?"
>
> Wenn ich nun mit -5 durchrechne:
das geht auch allgemein...
>
> [mm]5-(-5) \leq -(-5)[/mm]
> [mm]10 \leq 5[/mm]
>
> Sieht aus als ob das doch nicht geht.
>
> Es geht also x>0 und [mm]x\leq0[/mm] nicht. Was ist da dann mit der
> Lösungsmenge los?
Die ist leer.
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Sorry, aber wie schreibt man die allgemein? Ich bin grad echt blöd...
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> Sorry, aber wie schreibt man die allgemein? Ich bin grad
> echt blöd...
Der Fall ist [mm] x\leq0
[/mm]
Dann ist aber |5-x|=5-x>-x
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
[mm] $x\leq0:$
[/mm]
[mm] $|5-x|\leq [/mm] -x$
$5-x > -x $
$5>0$
oder wie? Warum kommt das gleich im Ungleichheitszeichen weg?
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> [mm]x\leq0:[/mm]
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> [mm]|5-x|\leq -x[/mm] [mm] \gdw
[/mm]
> [mm]5-x \red{\leq} -x[/mm] [mm] \gdw
[/mm]
> [mm]5\red{\leq}0[/mm]
Widerspruch, denn 5>0
>
> oder wie? Warum kommt das gleich im Ungleichheitszeichen
> weg?
Das habe ich geschrieben, weil offensichtlich 5>0. Da liegt aber der Widerspruch (s.o.).
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich fasse zusammen:
[mm] $x\leq [/mm] 0:$
$|5-x| [mm] \leq [/mm] -x [mm] \Rightarrow [/mm] 5 [mm] \leq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \text{Widerspruch}$
[/mm]
$x>0:$
Hier bekomm ich ja auch wieder einen Widerspruch raus. Ich wieß bloß nicht wie ich das allgemein formuliere!
Was muss ich da dann rechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich fasse zusammen:
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> [mm]x\leq 0:[/mm]
>
> [mm]|5-x| \leq -x \Rightarrow 5 \leq 0 \Rightarrow \text{Widerspruch}[/mm]
>
>
>
> [mm]x>0:[/mm]
>
> Hier bekomm ich ja auch wieder einen Widerspruch raus. Ich
> wieß bloß nicht wie ich das allgemein formuliere!
>
> Was muss ich da dann rechnen?
nicht viel:
Aus $x > [mm] 0\,$ [/mm] folgt unmittelbar $-x < [mm] 0\,.$ [/mm] Würde nun $|x-5| < -x$ gelten, so folgte $|x-5| < [mm] 0\,.$ [/mm] Aber der Betrag irgendeiner reellen (oder auch komplexen) Zahl ist stets [mm] $\ge 0\,,$ [/mm] so dass die letzte Ungleichung ($|x-5| < [mm] 0\,$) [/mm] nicht wahr sein kann.
(Falls es Dir unklar ist, machen wir einen einfachen Zwischenschritt, der aber manchmal für Klarheit sorgen kann:
Für reelles [mm] $x\,$ [/mm] ist auch $z:=x-5$ reell. Daher muss $|z| [mm] \ge 0\,$ [/mm] gelten. Das besagt aber gerade, dass $|x-5| [mm] \ge [/mm] 0$ gelten muss. Daher kann die obige Ungleichung $|x-5| < [mm] 0\,$ [/mm] nicht gelten.)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]x\leq0:[/mm]
>
> [mm]|5-x|\leq -x[/mm]
> [mm]5-x > -x[/mm]
> [mm]5>0[/mm]
>
> oder wie? Warum kommt das gleich im Ungleichheitszeichen
> weg?
Du musst das ganze mal logisch durchdenken und sauber aufschreiben:
Angenommen, es gelte $x [mm] \le [/mm] 0$ UND $|5-x| [mm] \le -x\,.$ [/mm] Wegen $x [mm] \le [/mm] 0$ ist dann $-x [mm] \ge [/mm] 0$ und damit $5-x [mm] \ge 5\,,$ [/mm] also $5-x > [mm] 0\,$ [/mm] bzw. insbesondere $5-x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Nach Definition des Betrages folgt daher
[mm] $$|5-x|=5-x\,$$
[/mm]
so dass $|5-x| [mm] \le [/mm] -x$ die Ungleichung
$$5-x [mm] \le [/mm] -x$$
implizieren würde. Nach Addition von [mm] $x\,$ [/mm] auf beiden Seiten eben dieser folgte dann der Widerspruch
$$5 [mm] \le 0\,,$$
[/mm]
so dass die Annahme, dass (gleichzeitig) $x [mm] \le [/mm] 0$ UND $|5-x| [mm] \le [/mm] -x$ nicht vertretbar ist, da sie zu einem Widerpruch ($5 [mm] \le [/mm] 0$) führt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Was ist dann mit dem fall x>0?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Was ist dann mit dem fall x>0?
der führt zu dem Widerspruch $|x-5| < [mm] 0\,.$ [/mm] S.o.
Gruß,
Marcel
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