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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass L=L´ gilt.
L={(-1;4;1;0)+r(2;0;1;0) +s(1;-1;1;-1)|r,s [mm] \in \IR [/mm] }
L´={(2;3;3;-1)+t(3;-1;2;-1)+u(0;2;-1;2)|t,u [mm] \in \IR [/mm] } |
Wenn ich in jeder Lösungsmenge nur einen Parameter habe, schreibe ich das alles in n-Tupel-Form um und setze dann jeweils die Lösung für [mm] x_{1}, x_{2}, [/mm] usw gleich, löse nach einem Parameter auf und es müsste dasselbe herauskommen.
Aber das klappt nicht, wenn in jeder Lösungsmenge zwei Parameter sind.
Wie kann ich denn hier anfangen???
Dankeschön schon mal für jede Hilfe (:
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo weisseLilie,
> Zeigen Sie, dass L=L´ gilt.
>
> L={(-1;4;1;0)+r(2;0;1;0) +s(1;-1;1;-1)|r,s [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> L´={(2;3;3;-1)+t(3;-1;2;-1)+u(0;2;-1;2)|t,u [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Wenn ich in jeder Lösungsmenge nur einen Parameter habe,
> schreibe ich das alles in n-Tupel-Form um und setze dann
> jeweils die Lösung für [mm]x_{1}, x_{2},[/mm] usw gleich, löse
> nach einem Parameter auf und es müsste dasselbe
> herauskommen.
>
> Aber das klappt nicht, wenn in jeder Lösungsmenge zwei
> Parameter sind.
> Wie kann ich denn hier anfangen???
>
Der Anfang ist schon richtig. Setze also L=L'.
Damit wir herausfinden können, weshalb das nicht klappt,
poste Deine bisherigen Rechenschritte.
> Dankeschön schon mal für jede Hilfe (:
Gruss
MathePower
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Okay, also wenn ich [mm] x_{1} [/mm] von L und L´ gleichsetze, kommt das heraus:
-1+2r+s = 2+3t
t=-1+ [mm] \bruch{2}{3}r+\bruch{1}{3}s
[/mm]
für [mm] x_{2}
[/mm]
4-s = 3-t+2u
t=7+s+2u
für [mm] x_{3}
[/mm]
1+r+s = 3+2t-u
t= [mm] -1+\bruch{1}{2}r+\bruch{1}{2}s+\bruch{1}{2}u
[/mm]
für [mm] x_{4}
[/mm]
-s = -1-t+2u
t=s-1+2u
Soo, und müsste nicht eigentlich bei t dasselbe überall herauskommen?
Irgendwo ist bestimmt ein Denkfehler!! Hilfe, bitte ;)
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Muss ich t=r und s=u setzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 So 16.10.2011 | | Autor: | zetamy |
> Muss ich t=r und s=u setzen?
Nein.
> -1+2r+s = 2+3t
> t=-1+ $ [mm] \bruch{2}{3}r+\bruch{1}{3}s [/mm] $
> für $ [mm] x_{2} [/mm] $
> 4-s = 3-t+2u
> t=7+s+2u
Fehler. Du hast $3+4=7$ gerechnet, korrekt ist jedoch $3-4=-1$. Die Gleichung für $t$ ist also $t=-1+s+2u$ und damit identlich zur letzten gleichung.
> für $ [mm] x_{3} [/mm] $
> 1+r+s = 3+2t-u
> t= $ [mm] -1+\bruch{1}{2}r+\bruch{1}{2}s+\bruch{1}{2}u [/mm] $
> für $ [mm] x_{4} [/mm] $
> -s = -1-t+2u
> t=s-1+2u
Jede Gleichung lautet nun $t=-1+$"Rest". Eine Lösung ist also $r=s=u=0$ und $t=-1$. Zur Probe: Einsetzen in L und L'.
lg zetamy
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Dankeschön!
Ich habe das nachgerechnet und bekomme auch überall t=-1+Rest heraus.
Wenn ich für t=-1 und für r=s=u=0 einsetze, komme ich zu einer Lösung.
Aber ich soll doch zeigen, dass für jedes [mm] t,s,r,u\in \IR [/mm] die Lösungsmengen identisch sind.
Irgendwie leuchtet mir das noch nicht so richtig ein.....!
Und ich verstehe auch nicht, wieso t= -1 + Rest mir zeigt, dass L=L´ gilt, weil dieser Rest nur für [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] übereinstimmt. Für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] bekomme ich doch einen anderen Rest heraus....
?????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 So 16.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Die Mengen sind gleich, wenn sich jeder Punkt der Menge L auch in L' befindet und umgekehrt. Das bedeutet, jeder Punkt der Menge L muss sich durch die Beschreibung der Menge L' darstellen lassen.
Drücke r und s durch t und u aus, und setzte die so gefundenen Ausdrücke wieder in Deine vier Gleichungen ein. Werden alle vier Gleichungen ohne Widerspruch durch Deinen Ausdruck für r und s erfüllt sind die Mengen gleich.
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Den letzten Teil verstehe ich nicht so ganz.
Also r und s durch t und u ersetzen.
So etwa?
für [mm] x_{1}
[/mm]
-1+2t+u=2+3t
t=-3+u
für [mm] x_{2}
[/mm]
4-u=3-t+2u
t=-1+3u
für [mm] x_{3}
[/mm]
1+t+u=3+2t-u
t=-2+2u
[mm] x_{4}
[/mm]
-u=-1-t+2u
t=3u-1
Nur für [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] kommt dasselbe für t heraus.
Was habe ich falsch gemacht??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 So 16.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Aus Deiner ersten Gleichung folgt doch
[mm] t=\bruch{2}{3}r+\bruch{1}{3}s-1
[/mm]
und aus der zweiten, wenn Du den Fehler korrigiert hast den zetamy Dir gezeigt hat
t=2u+s-1 und daraus folgt durch einsetzten von t das gilt
[mm] u=-\bruch{1}{3}s+\bruch{1}{3}r
[/mm]
Die so gefundenen Werte setzt Du in die verbleibenden zwei Gleichungen ein und überprüfst, ob es dort Widersprüche gibt. Wenn nein sind die beiden Mengen gleich ansonsten nicht.
Falls es keine Widersprüche gibt, hast Du gezeigt, dass jeder Punkt der Menge L durch einen Punkt der Menge L' dargestellt werden kann, in dem Du die Parameter t und u entsprechend wählst, nämlich in Abhängigkeit von r und s.
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Vielen herzlichen Dank.
Ich bekomme für jedes u auf diese Weise dasselbe heraus.
:) :)
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