Log und e in einer Gleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Di 19.06.2012 | | Autor: | Jarkiro |
| Aufgabe | Bestimmen Sie, welche x € R der Gleichung
[mm] ln(\bruch{1}{2}(e^{x+3+ln(2)} [/mm] -1 ) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] ln(e^{10} [/mm] - [mm] e^{5} +\bruch{1}{4})
[/mm]
genügen |
Nabend,
ich habe diese Frage noch in keinen anderen Forum/Plattform gepostet.
An dieser Aufgabe scheitere ich, obwohl es eigentlich "nur" simples umformen nach x sein müsste. Ich habe eine Gleichung, will wissen für welches x sie gilt und muss nach X umstellen.
Meine erste Idee war dass auf der linken Seite das ln(2) in e sich ja problemlos vor das e ziehen läßt. Wenn ich das 1/2 rein rechne komm ich auf einen humanderen Bruch auf der linken Seite
[mm] ln(e^{x+3} [/mm] - 0,5)
Alerdings führt mich das auch dazu dass ich den Log von einer Summe von e nehmen soll ... was mir einfach nichts bringt. Renn da zur Zeit einfach gegen eine Wand, da ich nicht an das X rankomme.
Jemand ne Idee?
Grüße
Jar
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Hallo Jarkiro,
> Bestimmen Sie, welche x € R der Gleichung
>
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> [mm]ln(\bruch{1}{2}(e^{x+3+ln(2)}[/mm] -1 ) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm]ln(e^{10}[/mm] - [mm]e^{5} +\bruch{1}{4})[/mm]
>
> genügen
>
> Nabend,
>
>
> ich habe diese Frage noch in keinen anderen Forum/Plattform
> gepostet.
>
> An dieser Aufgabe scheitere ich, obwohl es eigentlich "nur"
> simples umformen nach x sein müsste. Ich habe eine
> Gleichung, will wissen für welches x sie gilt und muss
> nach X umstellen.
>
> Meine erste Idee war dass auf der linken Seite das ln(2) in
> e sich ja problemlos vor das e ziehen läßt. Wenn ich das
> 1/2 rein rechne komm ich auf einen humanderen Bruch auf der
> linken Seite
>
> [mm]ln(e^{x+3}[/mm] - 0,5)
>
> Alerdings führt mich das auch dazu dass ich den Log von
> einer Summe von e nehmen soll ... was mir einfach nichts
> bringt. Renn da zur Zeit einfach gegen eine Wand, da ich
> nicht an das X rankomme.
>
> Jemand ne Idee?
>
Wende zunächst auf beide Seiten der Gleichung
die Umkehrfunktion des ln an.
> Grüße
>
> Jar
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Jarkiro |
Okay, diesen Schritt habe ich auch schon überlegt. Bloß führt mich das in eine Sackgasse, bin ich zumindest der meinung.
Weil im Endeffekt kommt ich wenn ich exp() auf beiden seiten mache auf
[mm] e^{x+3}-\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{\bruch{1}{4}-e^{5} + e^{10}}
[/mm]
Bloß sehe ich einfach noch nicht wo es mir weiterhilft. Nochmal LN anwenden (um das x zu isolieren) macht keinen Sinn, dreh mich ja im Kreis. Dann war mein Gedanke erstmal die Wurzel wegzukriegen, sprich auf beiden Seiten quadrieren. Das führt mich zwar zu einen brauchbaren Gleichung auf der rechten Seite, allerdings entfernt es mich wieder vom x, wo ich ja eigentlich ran will.
[mm] (e^{x+3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] ^{2} = [mm] \bruch{1}{4} -e^{5} [/mm] + [mm] e^{10}
[/mm]
Sieht zwar alles schon besser aus, aber mir fehlt einfach irgendwo der springende Punkt wo ich darauf komme x = ???? . Tut mir leid wenn das etwas unstrukturiert wirkt, aber Gleichungen umstellen tu ich mich enorm schwer mit
Grüße
Jar
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Hallo Jakiro,
die Wurzel bekommst Du leicht weg, wenn Du nochmal über die zweite binomische Formel meditierst.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Jarkiro |
Jetzt verwirrst du mich gerade. Meinst du wirklich die Wurzel oder den Ausdruck auf der linken Seite (e^(x+3) - 1/2) ^ 2?
Da macht das Binom nämlich sinn und ich krieg schonmal die 1/2, bzw 1/4 weg. Setz mich da mal weiter ran und schau wie mich das weiter bringt. Danke schonmal bis hier hin
Grüße
Ein immer noch leicht verzweifelter Jar
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Hallo nochmal,
Meditation dauert manchmal länger. 
[mm] e^{10}=(e^5)^2
[/mm]
Daher: [mm] e^{10}-e^5+\bruch{1}{4}=(e^5)^2+2*\bruch{1}{2}e^5+\left(\bruch{1}{2}\right)^2
[/mm]
Besser?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:35 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Jarkiro |
Mit dem Meditieren bin ich nicht ganz glücklich geworden, aber dafür inspiriert durch die Idee mit der Binomischen Formel ;)
Das war ja das letzte was ich hatte:
[mm] e^{x+3}-\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{\bruch{1}{4} -e^{5} + e^{10}}
[/mm]
Auf beiden Seiten quadriert, komme ich auf das:
[mm] (e^{x+3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] ^{2} = [mm] \bruch{1}{4} -e^{5} [/mm] + [mm] e^{10} [/mm]
Wenn ich den linken Term als Binom sehe, kann ich ihn umformen zu:
[mm] e^{2x+6} [/mm] - [mm] e^{x+3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] e^{10} [/mm] - [mm] e^{5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Das Viertel fliegt raus, damit habe ich
[mm] e^{10} [/mm] - [mm] e^{5} [/mm] = [mm] e^{2x+6} [/mm] - [mm] e^{x+3}.
[/mm]
Und eigentlich finde ich dass das schon ganz gut aussieht, allerdings hänge ich jetzt erneut bei diesen letzten Schritt. Ich bin mir zu 99% sicher dass die Umformung bis hier hin richtig ist. Allerdings werde ich noch nicht ganz schlau daraus, wie ich jetzt an das X rankomme =/. Einfach Log auf beiden Seiten geht ja nicht, da ich dann den Log auf eine Summe anwenden muss. Hier noch irgendwo ein kleiner Schieber?
Grüße
Jar
EDIT:
Also ich seh durch scharfes hinsehen dass x zwei sein muss, weil dann die rechte Seite der linken entspricht ... aber wie könnte ich das in einer Rechnung auch zeigen?
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Hallo Jakiro,
na, wird doch.
> Mit dem Meditieren bin ich nicht ganz glücklich geworden,
> aber dafür inspiriert durch die Idee mit der Binomischen
> Formel ;)
Wie schön. Glück ist übrigens auch keineswegs das Ziel aller Meditation, vielmehr Erkenntnis...
> Das war ja das letzte was ich hatte:
> [mm]e^{x+3}-\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{\bruch{1}{4} -e^{5} + e^{10}}[/mm]
Jaha.
> Auf beiden Seiten quadriert,
Igitt. Dabei verliert man doch womöglich Lösungen!
> komme ich auf das:
> [mm](e^{x+3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2})[/mm] ^{2} = [mm]\bruch{1}{4} -e^{5}[/mm] + [mm]e^{10}[/mm]
Ja, schon.
> Wenn ich den linken Term als Binom sehe,
Das ist er unzweifelhaft. Interessanter ist doch aber, dass der rechte Term ein Binom ist.
[mm] \bruch{1}{4}-e^5+e^{10}=\left(e^5-\bruch{1}{2}\right)^2
[/mm]
> kann ich ihn
> umformen zu:
>
> [mm]e^{2x+6}[/mm] - [mm]e^{x+3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] = [mm]e^{10}[/mm] - [mm]e^{5}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
>
> Das Viertel fliegt raus, damit habe ich
>
>
> [mm]e^{10}[/mm] - [mm]e^{5}[/mm] = [mm]e^{2x+6}[/mm] - [mm]e^{x+3}.[/mm]
>
> Und eigentlich finde ich dass das schon ganz gut aussieht,
Ja, das tut es. Man könnte z.B. [mm] y=e^{x+3} [/mm] setzen und einfach die pq-Formel anwenden, wenn man [mm] e^{2x+6}=(e^{x+3})^2 [/mm] erkennt. 
> allerdings hänge ich jetzt erneut bei diesen letzten
> Schritt. Ich bin mir zu 99% sicher dass die Umformung bis
> hier hin richtig ist.
Ja, aber ganz äquivalent ist sie nicht. Beim Quadrieren verändert man meist die Lösungsmenge.
> Allerdings werde ich noch nicht ganz
> schlau daraus, wie ich jetzt an das X rankomme =/. Einfach
> Log auf beiden Seiten geht ja nicht, da ich dann den Log
> auf eine Summe anwenden muss. Hier noch irgendwo ein
> kleiner Schieber?
Siehe oben: Substitution. Noch besser: vorher die Wurzel auflösen (Achtung - zwei Lösungen!)
Grüße
reverend
> EDIT:
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> Also ich seh durch scharfes hinsehen dass x zwei sein muss,
> weil dann die rechte Seite der linken entspricht ... aber
> wie könnte ich das in einer Rechnung auch zeigen?
...zwei sein kann...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:49 Do 21.06.2012 | | Autor: | Jarkiro |
Sooo, dann hier nochmal ein großes Danke an alle die mir Geholfen haben, hat mich ein ganzes Stück nach vorne gebracht ;)
Grüße
Jar
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