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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Do 19.05.2005 | | Autor: | Richy |
Kann mir mal bitte jemand den Therm:
[mm] log3\wurzel{a}+log3\wurzel\bruch{b³}{a}-3log3\wurzel{9b}
[/mm]
vorrechnen?
Ich bekomm da als ergebnis 1 raus. Aber die Lösung sagt da kommt -3 raus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Do 19.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Richy!
> Kann mir mal bitte jemand den Therm:
>
> [mm]log3\wurzel{a}+log3\wurzel\bruch{b³}{a}-3log3\wurzel{9b}[/mm]
>
> vorrechnen?
>
> Ich bekomm da als ergebnis 1 raus. Aber die Lösung sagt da
> kommt -3 raus.
Ich probiere es mal:
[mm] $\log_3(\sqrt{a}) [/mm] + [mm] \log_3 \left(\sqrt{\frac{b^3}{a}} \right) [/mm] - 3 [mm] \log_3(\sqrt{9b})$
[/mm]
$= [mm] \log_3(\sqrt{a}) [/mm] + [mm] \log_3 \left(\sqrt{\frac{b^3}{a}} \right) \red{+} \log_3 \left( \sqrt{9b}^{-3} \right)$
[/mm]
$= [mm] \log_3 \left( \sqrt{a} \cdot \sqrt{\frac{b^3}{a}} \cdot \frac{1}{\sqrt{9b}^3} \right)$
[/mm]
$= [mm] \log_3 \left( \sqrt{ \frac{a \cdot b^3}{a \cdot 9^3 \cdot b^3}} \right)$
[/mm]
$= [mm] \log_3 \left( \frac{1}{\sqrt{9}^3} \right)$
[/mm]
$= [mm] \log_3 \left(3^{-3} \right)$
[/mm]
$=-3$.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 19.05.2005 | | Autor: | Richy |
Danke erstmal
Heißt das dann dass wenn ich die Zahl vor dem log nach hinten zieh, das Vorzeichen mitnehmen muss? Und wenn ein Minus da stand, danach ein Plus ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Do 19.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Danke erstmal
>
> Heißt das dann dass wenn ich die Zahl vor dem log nach
> hinten zieh, das Vorzeichen mitnehmen muss? Und wenn ein
> Minus da stand, danach ein Plus ist?
Hallo Richy,
ich glaube, dass deine Frage nicht ganz verstanden wird.
Ich vermute, dass du dich auf die Umkehr hiervon beziehst:
$ = [mm] \log_3 \left(3^{-3} \right) [/mm] $
Den Ausdruck kannst du beliebig umformen:
$= [mm] -3*\log_{3}3$
[/mm]
[mm] $=-\log_{3}3^3$
[/mm]
[mm] $=\log_{3}3^{-3}$
[/mm]
Beantwortet dies deine Frage?
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 19.05.2005 | | Autor: | Richy |
Das oben hab ich dann ja geblickt aber jetz versteh ichs echt nich mehr, bitte rechne mir mal noch den Therm vor und dazu bitte sagen was du machst.
[mm] log_a(\bruch{a}{b})^{2}+log_{a}a^{b}+4\log_{a}\wurzel{b}-\bruch{\log_{10}a³}{\log_{10}a}
[/mm]
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Hi, Richy,
> [mm][/mm]
>
Ein paar grundsätzliche Regeln zuvor:
(1) r*log(a) = [mm] log(a^{r})
[/mm]
(2) log(a) + log (b) = log(a*b)
(3) log(a) - log(b) = [mm] log(\bruch{a}{b})
[/mm]
(4) [mm] log_{a}(b) [/mm] = [mm] \bruch{log_{c}(b)}{log_{c}(a)}
[/mm]
(5) log(1) = 0
(6) [mm] log_{a}(a) [/mm] = 1
Nun zu Deinem Term (ohne "h"!):
[mm] log_a(\bruch{a}{b})^{2}+log_{a}a^{b}+4\log_{a}\wurzel{b}-\bruch{\log_{10}a³}{\log_{10}a}
[/mm]
1. Schritt: Mit Hilfe "meiner" Regel (4) können wir den letzten Summanden in den [mm] log_{a} [/mm] verwandeln:
[mm] \bruch{\log_{10}(a³)}{\log_{10}(a)} [/mm] = [mm] log_{a}(a^{3})
[/mm]
Daher lautet Dein Term jetzt:
[mm] log_a(\bruch{a}{b})^{2}+log_{a}a^{b}+4\log_{a}\wurzel{b}-log_{a}(a^{3})
[/mm]
2.Schritt: Die 4 vor dem 3.Summanden wird mit Regel (1) in den log hineingezogen:
[mm] 4\log_{a}(\wurzel{b}) [/mm] = [mm] log_{a}((\wurzel{b})^{4}) [/mm] = [mm] log_{a}(b^{2})
[/mm]
3.Schritt: Nun geht's weiter wie Du's schon kennst (Regeln (2) und (3)):
[mm] log_{a}(\bruch{\bruch{a}{b})^{2}*a^{b}*b^{2}}{a^{3}}) [/mm] =
= [mm] log_{a}(\bruch{a^{2}*a^{b}*b^{2}}{b^{2}*a^{3}})
[/mm]
= [mm] log_{a}(\bruch{a^{b}}{a}) [/mm] (Hier wurde durch [mm] a^{2} [/mm] und durch [mm] b^{2} [/mm] gekürzt!)
= [mm] log_{a}(a^{b-1}) [/mm] (Verwendung der Potenzgesetze)
= [mm] (b-1)*log_{a}(a) [/mm] (Verwendung der Regel (1) von oben!)
= b - 1 (Verwendung der Regel (6) von oben!)
PS: Das alles gilt natürlich nur unter der Voraussetzung, dass a > 0 und auch b > 0 ist!
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