Logarithmische Differentation < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x) = [mm] a^{b^x}
[/mm]
=> f`(x) = [mm] a^{b^x} [/mm] * ln(a) * [mm] b^x*ln(b) [/mm] |
Hab das Ergebnis vorliegen, aber ich kann dem Lösungsweg nicht folgen. Habe keine Probleme bei einfacher logarithmischer Differentation, aber diese Verstehe ich nicht!? Soll ich 2 mal logharitmieren? Aber selbst dann mache ich was falsch. Wäre nett wenn mir da jemand weiterhelfen könnte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:34 So 30.09.2007 | | Autor: | Mumrel |
> f(x) = [mm]a^{b^x}[/mm]
>
> => f'(x) = [mm]a^{b^x}[/mm] * ln(a) * [mm]b^x*ln(b)[/mm]
[mm] $\bold{a^{b^x} }$
[/mm]
[mm] $=\bold{ e^{ln(a^{b^x})} }$
[/mm]
[mm] $=\bold{ e^{ln(a)*b^x} }$
[/mm]
[mm] $=\bold{ e^{ln(a)*e^{ln(b^x)}} }$
[/mm]
[mm] $=\bold{ e^{ln(a)*e^{ln(b) * x}} }$
[/mm]
So das jetz ableiten
[mm] e^{f(x)} [/mm] nach x ableiten ergibt [mm] e^{f(x)} [/mm] * f'(x) nach der Kettenregel
Also können wir den ganzen Turm wieder hinschrieben, bzw. gleich einfacher, den Ausgangsterm also [mm] a^{b^x}. [/mm] Das ist das erste Faktor.
f(x) wäre hier dann eben [mm] ln(a)*e^{ln(b) * x}.
[/mm]
f'(x) =
[mm] (ln(a)*e^{ln(b) * x})' [/mm] (jetzt weiter mit Produktregel)
= [mm] 0*e^{ln(b) * x} [/mm] + ln(a) * [mm] (e^{ln(b) * x})'
[/mm]
= ln(a) * [mm] (e^{ln(b) * x})' [/mm] (du erkennst den zweiten Faktor)
(jetzt wieder nach Kettenregel)
= ln(a) * [mm] e^{ln(b) * x} [/mm] * (ln(b) * x)'
= ln(a) * [mm] b^x [/mm] * ln(b)
Alles zusammen:
[mm] a^{b^x} [/mm] * ln(a) * [mm] b^x [/mm] * ln(b)
So einsichtig?
Grüße Murmel
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