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Hey ihr lieben 
ich stehe kurz vor meiner Ana 1 Klausur und hoffe ihr könnt mir nochmal helfen. Es geht um Folgendes:
ich soll ein L [mm] \in \IN [/mm] fixieren und zeigen, dass für alle x [mm] \ge [/mm] 1 die Ungleichung gilt:
log (x) < [mm] c_{L}*x^{1/L} [/mm] mit [mm] c_{L}:=(L!)^{1/L}
mein Ansatz:
ich würde als erstes [mm] c_{L} [/mm] ersetzen:
log (x) < [mm] ((L!)*x)^{1/L}
[/mm]
leider habe ich an dieser Stelle keine weitere Idee zur Lösung. kann mir vielleicht jemand von euch helfen?
Liebe Grüße
AnnaHundi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo AnnaHundi!
Hast die Aufgabenstellung korrekt abgetippt?
Ich habe mit die Graphen von [mm]\ln(x)[/mm] und [mm](L!\cdot x)^\frac 1L[/mm] plotten lassen: Der Logarithmus ist für alle [mm]x\in\mathbb R^+[/mm] kleiner...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Sa 25.01.2014 | | Autor: | AnnaHundi |
du hast recht. sorry, ich habe das Größer mit dem Kleinerzeichen vertauscht. Danke, dass du mich darauf aufmerksam gemacht hast
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Hiho,
setze $h(x) = [mm] \left(L!x\right)^\bruch{1}{L} [/mm] - [mm] \log(x)$ [/mm] und zeige $h(x) > 0$ über Kurvendiskussion.
Ich lass die Frage aber mal auf halb beantwortet, falls jemand eine schönere Idee hat.
Gruß,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 So 26.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Für x=1 ist die Ungl. richtig.
Sei also x>1 und L [mm] \in \IN. [/mm] Dann ist log(x)>0 und
[mm] x=e^{log(x)}=\summe_{k=0}^{\infty}\br{(log(x))^k}{k!}> \br{(log(x))^L}{L!}
[/mm]
FRED
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okay danke.
wenn ich dann also weiß, das [mm] x>\frac{log(x)}^{L}/{L!}
[/mm]
dann kann ich ja umformen zu:
[mm] \gdw [/mm] L! * x > [mm] log(x)^{L}
[/mm]
[mm] \gdw (L!*x)^{1/L} [/mm] >log(x)
damit ist die Ungleichung ja erfüllt oder?
eine Frage: wir haben ja hier immer > anstatt [mm] \ge [/mm] verwendet. In der vorgegebenen Ungleichung wir ja größer/gleich verwendet. Reicht es > zu verwenden wenn wir vorher die Ungleichung für x=1 bewiesen haben?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> okay danke.
> wenn ich dann also weiß, das [mm]x>\frac{log(x)}^{L}/{L!}[/mm]
Wir hatten doch [mm]x>\frac{log(x)^{L}}{L!}[/mm]
> dann kann ich ja umformen zu:
> [mm]\gdw[/mm] L! * x > [mm]log(x)^{L}[/mm]
> [mm]\gdw (L!*x)^{1/L}[/mm] >log(x)
>
> damit ist die Ungleichung ja erfüllt oder?
Ja
> eine Frage: wir haben ja hier immer > anstatt [mm]\ge[/mm]
> verwendet. In der vorgegebenen Ungleichung wir ja
> größer/gleich verwendet. Reicht es > zu verwenden wenn
> wir vorher die Ungleichung für x=1 bewiesen haben?
Ja
FRED
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> LG
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