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| Aufgabe | [mm] 4^x [/mm] - [mm] 3*2^x [/mm] + 2 = 0
Aufgabe: Berechnen sie x und geben sie die Lösungsmenge an |
Also ich würde hier wie folgt vorgehen. Zunächst einmal die Logarithmusgesetze anwenden und mir über die gemeinsame Basis Gedanken machen, da würde ich hier sagen handelt es sich um die 2.
Folgendes Logarithmus gesetz würde ich dann anwenden: $ [mm] \log_b x^y=y\cdot \log_b [/mm] x $
Aufgabe würde dann ja wie folgt aussehen:
[mm] 2^{2*x} [/mm] - [mm] 2^{3*x} [/mm] + 2 = 0
Meine Rückfrage hier: ist das richtig, oder hab ich hier schon einen Fehler gemacht. Wenn nein, dann müsste ich ja (ich tippe hier etwas ins blaue) mit [mm] 10^x [/mm] multiplizieren um den log aufzuheben, richtig?
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Hallo ShubNiggurath,
> [mm]4^x[/mm] - [mm]3*2^x[/mm] + 2 = 0
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> Aufgabe: Berechnen sie x und geben sie die Lösungsmenge an
> Also ich würde hier wie folgt vorgehen. Zunächst einmal
> die Logarithmusgesetze anwenden und mir über die gemeinsame
> Basis Gedanken machen, da würde ich hier sagen handelt es
> sich um die 2.
>
> Folgendes Logarithmus gesetz würde ich dann anwenden:
> [mm]\log_b x^y=y\cdot \log_b x[/mm]
>
> Aufgabe würde dann ja wie folgt aussehen:
>
> [mm]2^{2*x}[/mm] - [mm]2^{3*x}[/mm] + 2 = 0
Das stimmt leider nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Gleichung lautet korrekterweise: [mm]2^{2*x} - \red{3}*2^{x} + 2 = 0[/mm]
>
> Meine Rückfrage hier: ist das richtig, oder hab ich hier
> schon einen Fehler gemacht. Wenn nein, dann müsste ich ja
> (ich tippe hier etwas ins blaue) mit [mm]10^x[/mm] multiplizieren um
> den log aufzuheben, richtig?
Nein. Der Ausdruck [mm]2^{2*x}[/mm] kann laut Potenzgesetzen anders ausgedrückt werden.
Gruß
MathePower
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Also wenn die Gleichung: $ [mm] 2^{2\cdot{}x} [/mm] - [mm] \red{3}\cdot{}2^{x} [/mm] + 2 = 0 $ lautet, dann sehe ich noch ein Problem mit dem Mittelteil, dem"- [mm] \red{3}\cdot{}2^{x}" [/mm] Denn wie schaffe ich es die -3 umzuformen so dass ich als Basis zwei habe?
Oder liegt hier gar nicht das Problem und ein anderer Schritt sollte nun folgen? Bin für Hilfe wie immer dankbar :). Der Tipp mit den Potenzgesetzen ist sicher schon ein Hinweis, nur werden mir keine Grafiken da angezeigt die sicher hilfreich wären *gg*
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Hallo ShubNiggurath,
> Also wenn die Gleichung: [mm]2^{2\cdot{}x} - \red{3}\cdot{}2^{x} + 2 = 0[/mm]
> lautet, dann sehe ich noch ein Problem mit dem Mittelteil,
> dem"- [mm]\red{3}\cdot{}2^{x}"[/mm] Denn wie schaffe ich es die -3
> umzuformen so dass ich als Basis zwei habe?
Gar nicht.
>
> Oder liegt hier gar nicht das Problem und ein anderer
> Schritt sollte nun folgen? Bin für Hilfe wie immer dankbar
> :). Der Tipp mit den Potenzgesetzen ist sicher sthon ein
> Hinweis, nur werden mir keine Grafiken da angezeigt die
> sicher hilfreich wären *gg*
Ja, mir wird auch nichts angezeigt.
Alternative ist ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
Demnach kann [mm]2^{2*x}[/mm] als [mm]\left(2^{x}\right)^2[/mm] ausdrückt werden.
Damit erhält Du eine quadratische Gleichung:
[mm]\left(2^{x}\right)^2 - 3\cdot{}2^{x} + 2 = 0[/mm]
Gruß
MathePower
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danke schonmal für den hinweis - ich muss zugeben das sehe ich gerade zum ersten mal und das sagt mir noch immer nicht viel. Aber der hinweis auf die quadratische gleichung bedeutet ja, dass es wohl weitergehen muss mit
der p/q formel oder alternativ der quadratischen ergänzung.
Meine Verwunderung rührt daher, weil ich bisher nur normale x² +x + Zahl hatte, mit einem doppelten exponenten [mm] (2^x)^2 [/mm] ist mir noch nichts untergekommen. Herrje :( Ich möchte wirklich nicht dich die ganze Arbeit machen lassen - aber muss dich dennoch um den nächsten Tipp bitten. Tut mir leid :/
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Hallo ShubNiggurath,
> danke schonmal für den hinweis - ich muss zugeben das sehe
> ich gerade zum ersten mal und das sagt mir noch immer nicht
> viel. Aber der hinweis auf die quadratische gleichung
> bedeutet ja, dass es wohl weitergehen muss mit
> der p/q formel oder alternativ der quadratischen
> ergänzung.
>
> Meine Verwunderung rührt daher, weil ich bisher nur normale
> x² +x + Zahl hatte, mit einem doppelten exponenten [mm](2^x)^2[/mm]
> ist mir noch nichts untergekommen. Herrje :( Ich möchte
> wirklich nicht dich die ganze Arbeit machen lassen - aber
> muss dich dennoch um den nächsten Tipp bitten. Tut mir leid
> :/
Nun, substitutiere [mm]u=2^{x}[/mm].
Dann steht da: [mm]u^{2}-3*u+2=0[/mm]
Diese quadratische Gleichung kannst Du nun bequem mit der pq-Formel lösen.
Und dann wieder zurücksubstituieren.
Gruß
MathePower
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nee oder??? ich dachte dass macht man nur bei [mm] x^4 [/mm] gleichungen - VERDAMMT noch eins :D danke dir!!!
(ich rechne die jetzt mal fix durch)
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also folgendes habe ich gemacht:
u²-3u+2=0
p/q formel:
1. 1,5 +/- [mm] \wurzel{2,25-2}
[/mm]
2. 1,5 +/- [mm] \wurzel{0,25}
[/mm]
3. 1,5 +/- 0,5
4. u1 = 2 ; u2 = 1
5. Wurzelziehen aus Lösungen von u
6. [mm] x1=\wurzel{2}; [/mm] x2/3= +/- 1
Frage: die Lösungsmenge soll sein: {0;1} - dann stimmt irgendwas mit meiner Rechnung doch nicht?
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Hallo!
Wurzelziehen ist hier falsch, denn du hast [mm] 2^x=u [/mm] und damit
1.: [mm] 2^x=1
[/mm]
2.: [mm] 2^x=2
[/mm]
Zum Lösen mußt du logarithmieren. Allerdings kannst du durch scharfes Hingucken auch direkt die Lösung hinschreiben!
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wieder was gelernt, dachte man muss bei sowas immer nochmal die Wurzel ziehen. man was hat der mir nur für eine aufgabe gegeben *g*
Ich weiß jetzt nicht wie ich mit den Ergebnissen 2 und 1 weitermachen soll. Also das mit dem logarithmieren ist mir ja nicht ganz so fremd, aber bezogen auf die ergebnisse weiß ich da jetzt nichts mit anzufangen. Wenn ich anstelle der x in der umgestellten ausgangsfunktion
[mm] (2^x)^2 [/mm] - [mm] 3*2^x+2 [/mm] = 0
die 1 einsetze, dann kommt null raus - das riecht ja schonmal richtig (auch wenn ich nicht glaube, dass es dann doch so einfach ist *gg* - denn setze ich die zwei ein, kommt != 0 raus. Somit wäre die Lösungsmenge ja nur 1, aber nicht 0. Wo hänge ich dieses mal?
PS: ich glaube diese Aufgabe verfolgt mich heute in meinen Träumen.
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Hallo ShubNiggurath,
> wieder was gelernt, dachte man muss bei sowas immer nochmal
> die Wurzel ziehen. man was hat der mir nur für eine aufgabe
> gegeben *g*
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> Ich weiß jetzt nicht wie ich mit den Ergebnissen 2 und 1
> weitermachen soll. Also das mit dem logarithmieren ist mir
> ja nicht ganz so fremd, aber bezogen auf die ergebnisse
> weiß ich da jetzt nichts mit anzufangen. Wenn ich anstelle
> der x in der umgestellten ausgangsfunktion
>
> [mm](2^x)^2[/mm] - [mm]3*2^x+2[/mm] = 0
>
> die 1 einsetze, dann kommt null raus - das riecht ja
> schonmal richtig (auch wenn ich nicht glaube, dass es dann
> doch so einfach ist *gg* - denn setze ich die zwei ein,
> kommt != 0 raus. Somit wäre die Lösungsmenge ja nur 1, aber
> nicht 0. Wo hänge ich dieses mal?
Setzen wir für [mm]2^{x}[/mm] die 2 ein:
[mm](2)^2 - 3*2+2 = 4 - 3*2+2=4-6+2=6-6=0[/mm]
>
> PS: ich glaube diese Aufgabe verfolgt mich heute in meinen
> Träumen.
Gruß
MathePower
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Ups kleiner Kunstfehler :D DANKE euch allen. Wirklich danke! *verbeug*
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