www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Mathe Klassen 8-10" - Logarithmus Gleichung
Logarithmus Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe Klassen 8-10"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Logarithmus Gleichung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Do 01.03.2007
Autor: MarekG

a sei eine zu nächst nicht näher festgelegte reele Zahl.
Lösen Sie

[mm]2^x+2^{a} = 2^{x+a}[/mm]

Welche Einschränkung muß man für a machen, um sicher zustellen, dass die Gleichung lösbar ist?

Also ich raff hier gar nix geschweige denn das lösen????
Kann mir einer helfen???
Danke
Gruß Marek


        
Bezug
Logarithmus Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Do 01.03.2007
Autor: leduart

Hallo
> a sei eine zu nächst nicht näher festgelegte reele Zahl.
>  Lösen Sie
>  
> [mm]2^x+2^{a} = 2^{x+a}[/mm]
>  
> Welche Einschränkung muß man für a machen, um sicher
> zustellen, dass die Gleichung lösbar ist?
>  
> Also ich raff hier gar nix geschweige denn das lösen????
>  Kann mir einer helfen???

Zum Glueck musst du sie nicht loesen, sondern nur feststellen, wann oder ob  sie ne Loesung haben.
setz mal a=0 und ueberleg, warum es keine Loesung gibt.
dann untersuch, obs sonst immer loesungen gibt!
Loesungen gibts, wenn man stellen x findet wo die linke Seite kleiner als die Rechte und welche wo sie groesser ist als die rechte. dann gibts ne Stelle dazwischen, wo sie gleich sind.
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Logarithmus Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Do 01.03.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Marek,

die Gleichung [mm] 2^x+2^{a}=2^{x+a} [/mm] ist etwas langwierig zu lösen:

Falls du daran interessiert bist, ich habs mal probiert - war interessant ;-)

[mm] 2^x+2^{a}=2^{x+a} \Rightarrow 2^x+2^{a}=2^x\cdot{}2^{a} \Rightarrow \bruch{2^x+2^{a}}{2^x}=2^{a} [/mm] , denn [mm] 2^x\ne [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x

[mm] \Rightarrow 1+\bruch{2^{a}}{2^x}=2^{a} \Rightarrow 2^{a-x}=2^{a}-1 [/mm]

Nun verwende die Definition der allg. Potenz [mm] b^c=e^{c\cdot{}ln(b)} [/mm]

[mm] \Rightarrow e^{(a-x)\cdot{}ln(2)}=2^{a}-1 [/mm]  Nun den ln drauf loslassen:

[mm] \Rightarrow ln\left(e^{(a-x)\cdot{}ln(2)}\right)=ln\left(2^{a}-1\right) [/mm]

[mm] \Rightarrow (a-x)\cdot{}ln(2)=ln\left(2^{a}-1\right) \Rightarrow a\cdot{}ln(2)-x\cdot{}ln(2)=ln\left(2^{a}-1\right) \Rightarrow a\cdot{}ln(2)-ln\left(2^{a}-1\right)=x\cdot{}ln(2) [/mm]

[mm] \Rightarrow \bruch{a\cdot{}ln(2)-ln\left(2^{a}-1\right)}{ln(2)}=x [/mm]

[mm] \Rightarrow a-\bruch{ln\left(2^{a}-1\right)}{ln(2)}=x [/mm]

Wenn diese Rechnung so stimmt, kannst du hier auch die Einsachränkung für a ablesen:

Der ln ist nur für positive Argumente definiert, also muss [mm] 2^{a}-1>0 [/mm] sein, also [mm] 2^{a}>1 \Rightarrow e^{a\cdot{}ln(2)}>1 \Rightarrow a\cdot{}ln(2)>ln(1)=0 \underbrace{\Rightarrow}_{ln(2)>0} [/mm] a>0  [Umformungen wie oben mit ln und e]


Alles ohne Gewähr ;-)


Gruß

schachuzius


Bezug
                
Bezug
Logarithmus Gleichung: Auflösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Fr 02.03.2007
Autor: MarekG

Naja ich hätte es nciht lösen können aber da ich ja ein Lösungsheft habe sieht es folgendermassen aus.
[mm]2^x + 2^{a}= 2^{x+a}[/mm]

[mm]2^x + 2^{a} = 2^{a}2^x[/mm]

nach [mm] 2^x [/mm] auflösen

[mm]2^x = \bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm]

[mm]x0 \log[2]\bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm]

die einzige Einschränkung ist das

[mm] \bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm]

positiv sein muß da sonst der Log nicht existiert.

[mm] \bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm] > 0 [mm] \gdw 2^{a}-1>0 [/mm]
immer positiv ist.
Aus [mm] 2^{a}- [/mm] > 0 folgt aber a > 0

das steht in der Lösung..






Bezug
                        
Bezug
Logarithmus Gleichung: kleine Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:33 Sa 03.03.2007
Autor: Loddar

Hallo Marek!



> die einzige Einschränkung ist das [mm]\bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm]
> positiv sein muß da sonst der Log nicht existiert.
>  
> [mm]\bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm] > 0 [mm]\gdw 2^{a}-1>0[/mm] immer positiv ist.

Das timmt so aber nicht. Um diese Ungleichung zu lösen, musst Du hier folgende Fallunterscheidung machen:

Fall (1)   [mm] $2^a-1 [/mm] \ > \ 0$    [mm] $\gdw$ $2^a [/mm] \ > \ 1$   [mm] $\gdw$ [/mm]   $a \ > \ 0$

[mm]\bruch{2^{a}}{2^{a}-1} \ > \ 0[/mm]   [mm]\gdw[/mm]   [mm]2^{a} \ > \ 0*\left(2^a-1\right)[/mm]   [mm]\gdw[/mm]   [mm]2^{a} \ > \ 0[/mm]

Diese Ungleichung ist für alle [mm] $a\in\IR$ [/mm] erfüllt, und damit auch für alle $a_$ dieses Falles $a \ > \ 0$ .


Fall (2)   [mm] $2^a-1 [/mm] \ < \ 0$    [mm] $\gdw$ $2^a [/mm] \ > \ -1$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm]   keine Lösung für [mm] $a\in\IR$ [/mm] : dieser Fall kann also gar nicht eintreten.


Damit lautet die Einschränkung also:  $a \ > \ 0$


Gruß
Loddar


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe Klassen 8-10"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de