Logarithmus Gleichung lösen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Löse die Gleichungen:
a) lg(x) + lg(3) = lg(1 + x)
b) lg(x) = 2 lg(x) + lg(1 + x)
c) [mm] log_{2}(x) [/mm] + 8 = [mm] log_{2}(7x [/mm] - 8) |
Hallo,
soo also ich fang mal damit an was ich mir bei den Aufgaben gedacht habe.
a) also als erstes würde ich das auf der linken Seite zu lg(x * 3) zusammenfassen. So nun weiß ich nuch wie ich weiter vorgehen soll.
b) hier würde ich es auch zusammenfassen zu 3 lg(1/3 * 3x). Und hier weiß ich jetzt auch nicht weiter. Obwohl naja das ist falsch habe ich eben gemerkt.
c) so und hier habe ich überhaupt keine Ahnung.
Könnt ihr mir bitte helfen?
Vielen dank schonmal
Gruß Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Fr 13.02.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo 
wende die Logarithmus-Rechenregeln an:
lg(a) + lg(b) = lg(a*b)
lg(a) - lg(b) = [mm] lg(\bruch{a}{b})
[/mm]
a * lg(b) = [mm] lg(b^{a})
[/mm]
Außerdem musst du beachten, dass der Logarithmus eine injektive Funktion ist. Das bedeutet, dass bei zwei gleichen Funktionswerten schon die Urbilder (also die x-Stellen) gleich sind.
Z.B. bei 1) hast du ja nach deiner Umformung stehen
lg(3x) = lg(1+x)
Dann gilt schon 3x=1+x,
denn zwei unterschiedliche Eingaben können beim Logarithmus nie denselben Funktionswert liefern.
Es gilt also nun, die letzte Gleichung zu lösen.
2) und 3) sollten auch so zu lösen sein.
LG djmatey
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so ok guut
also bei b) x= 3x + 1 + x aber da kommt dann -1/2 = x raus und das kann ja nicht sein :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Fr 13.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Wieso? Die Gleichung lautet doch dann:
$$3x \ = \ x+1$$
Gruß
Loddar
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ja das was du gesagt hast ist bei der a) da kommt dann auch 1/2 raus
aber ich war schon bei der b wie ich geschrieben habe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Fr 13.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Auch hier ist mir eine Ungleichung unklar. Da kommt nach dem ersten Schritt heraus:
$$0 \ = \ [mm] \lg(x) +\lg(1+x)$$
[/mm]
$$0 \ = \ [mm] \lg[x*(x+1)]$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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so ok gut und wie gehts weiter?
sry hab keine ahnung
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> so ok gut
Hallo,
hast Du verstanden, wie man dahin gekommen ist?
> und wie gehts weiter?
Beiden Seiten "10 hoch". (lg ist doch bei Euch der Zehnerlogarithmus, oder?)
> sry hab keine ahnung
In der Tat wirken Deine Rechnungen so, als wäre das der Fall...
Aber mit etwas Üben kann man das lernen.
Gruß v. Angela
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könnt ihr mir bitte den rechenvorgang zum ergebnis der b zeigen
weil ich laube so wird das nichts mehr...:(
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> könnt ihr mir bitte den rechenvorgang zum ergebnis der b
> zeigen
> weil ich laube so wird das nichts mehr...:(
>>>> b) lg(x) = 2 lg(x) + lg(1 + x)
Hallo,
an diese Gkeichung kann man auf zweierlei Arten herangehen, ich erkläre Dir die eine:
1.
Du sammelst links alle Vielfachen von lg(x), rechts bleibt lg(1 + x) .
Dann beachtest Du, daß [mm] a*\lg(b)= lg(b^a) [/mm] gilt. Wenn Du das getan hast, hast Du auf beiden Seiten Logarithmen ohne Vorfaktor.
Leider weiß ich immer noch nicht, ob bei Euch lg der Zehner-, Zweier- oder natürliche Logarithmus ist, zu welcher Basis der also geht - aber Du wirst es nachschlagen können.
Wenn Du auf beiden Seiten "nackte" Logarithmen stehen hast, also sowas lg(r)=lg(s), dann kannst Du die Logarithmen durch Potenzieren fortbekommen.
Ich gehe jetzt davon aus, daß lg zur Basis 10 ist - für 2 oder e ginge das aber genauso:
lg(r)=lg(s)
liefert
[mm] 10^{\lg(r)} =10^{\lg(s)}. [/mm]
Weil 10^ gerade die Umkehrung
des Logarithmus ist, erhält man daraus
r=s.
Wenn Du nach dieser Anleitung Deine Gleichung bearbeitest, hast Du, wenn Du an dieser Stelle angekommen bist, eine ganz normale Gleichung mit x ohne Logarithmen dastehen.
Nun versuch mal. Wenn Du bei den einzelnen Schritten nachfragst, macht das nichts. So kann dan ngleich wer gucken, ob Du richtig verstanden hast, was zu tun ist.
Gruß v. Angela
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ok das bedeutet lg(x) = lg(x²) + lg(1+x)
ja lg ist zehner logarithmus
aber dann verstehe ich nicht wie ich die logaritmen wegbekomme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Fr 13.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Fasse nun rechts gemäß [mm] $\log_b(x)+\log_b(y) [/mm] \ = \ [mm] \log_b(x*y)$ [/mm] zusammen.
Wie man den Logarithmus dann wegbekommt, hat Dr gerade Angela ausführlich beschrieben.
Gruß
Loddar
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ok ich habe das jetzt mehrmals durchgerechnetz aber ich komme immer auf eine leere lösungsmenge
könnt ihr mir bitte sagen was nun richtig ist?
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Hallo alexmeier,
> ok ich habe das jetzt mehrmals durchgerechnetz aber ich
> komme immer auf eine leere lösungsmenge
>
> könnt ihr mir bitte sagen was nun richtig ist?
Es ist richtig, daß die Lösungsmenge leer ist.
Poste doch mal Deine Rechenschritte.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Sa 14.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo alexmeier,
>
> > ok ich habe das jetzt mehrmals durchgerechnetz aber ich
> > komme immer auf eine leere lösungsmenge
> >
> > könnt ihr mir bitte sagen was nun richtig ist?
>
>
> Es ist richtig, daß die Lösungsmenge leer ist.
Wieso?
die Gleichung
0=lg(x(x+1)) lässt sich umformen zu
[mm] 1=x^2+x
[/mm]
bzw.
[mm] x^2+x-1=0. [/mm] Eine der beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung liegt im erlaubten Bereich.
Gruß Abakus
>
> Poste doch mal Deine Rechenschritte.
>
>
> Gruß
> MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Fr 13.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Löse die Gleichungen:
> a) lg(x) + lg(3) = lg(1 + x)
> b) lg(x) = 2 lg(x) + lg(1 + x)
> c) [mm]log_{2}(x)[/mm] + 8 = [mm]log_{2}(7x[/mm] - 8)
> Hallo,
>
> soo also ich fang mal damit an was ich mir bei den Aufgaben
> gedacht habe.
>
> a) also als erstes würde ich das auf der linken Seite zu
> lg(x * 3) zusammenfassen. So nun weiß ich nuch wie ich
> weiter vorgehen soll.
>
> b) hier würde ich es auch zusammenfassen zu 3 lg(1/3 * 3x).
> Und hier weiß ich jetzt auch nicht weiter. Obwohl naja das
> ist falsch habe ich eben gemerkt.
>
> c) so und hier habe ich überhaupt keine Ahnung.
Ersetzte 8 durch den gleichwertigen Ausdruck [mm]log_{2}(256)[/mm] , wende dann die Logarithmengesetze an.
Gruß Abakus
>
>
> Könnt ihr mir bitte helfen?
>
> Vielen dank schonmal
> Gruß Alex
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Hallo,
ich glaube mit Injektivität und co hiflt dem Fragensteller ehr weniger.
Es ist völlig legitim bei Gleichungen mit Logarithmus, beide Seiten als Exponenten von e zu schrieben. Ich kann das nicht so recht formulieren, ich zeigs dir am ersten Bsp:
> a) lg(x) + lg(3) = lg(1 + x)
Hier ist das Zusammenfassen nicht schlecht: lg(3x)=lg(1+x). Jetzt meine ich sowohl rechts, als auch links die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion dazuzufügen:
[mm] \gdw e^{lg(3x)}=e^{lg(1+x)} \gdw [/mm] 3x=1+x (da ja [mm] e^{lg(x)}=lg(e^x)=x)
[/mm]
> b) lg(x) = 2 lg(x) + lg(1 + x)
Hier müsstest du die Gleichung betrachten [mm] e^{lg(x)}=e^{2 lg(x)+lg(1+x)}
[/mm]
Ab jetzt kannst du alle Rechenregeln für die Exponentialfunktion nutzen!
An der c) kannst du dich ja selber mal probieren^^
lg Kai
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