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Hi,
ich hätt eine Frage zu dieser Aufgabe.;)
Für x>0 sei [mm] f(x)=\bruch{(lnx)^{2}}{x} [/mm]
a) Untersuche die Funktion von f. Zeichne den Graphen von f für 0<x<10.
-->Das ist einfach... [mm] f'(x)=\bruch{2(lnx)}{x^2}-\bruch{(lnx)^{2}}{x^{2}}
[/mm]
(NST=(1/0), TP(2/0,2) und Grenzwerte berechnen)
b) Es bezeichne g die von der 1.Achse verschiedene Tangente vom Koordinatenursprung O(0;0) aus an den Graphen von f.
Gib eine Gleichung für g an, und berechne den Inhalt der vom Graphen von f und der Tangente eingeschlossenen Fläche.
--> Wie berechne ich g.?g ist ja eine Tangente! Muss ich also die Gleichung einer Tangenten ausrechnen? Aber dass funktioniert doch nicht, da ich doch nur weiß dass (0/0) auf der Tangenten liegt und ein anderer Punkt der Funktion. Die Steigung der Tangente f'(0)--> ergibt jedoch keine Lösung, da die Funktion für 0 nicht definiert ist. Also wie müsste ich dann vorgehen?
Würde mich freuen, wenn ihr mir hilft.
Danke euch,
lieben Gruß.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 So 16.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi,
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> ich hätt eine Frage zu dieser Aufgabe.;)
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> Für x>0 sei [mm]f(x)=\bruch{(lnx)^{2}}{x}[/mm]
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> a) Untersuche die Funktion von f. Zeichne den Graphen von f
> für 0<x<10.
> -->Das ist einfach...
> [mm]f'(x)=\bruch{2(lnx)}{x^2}-\bruch{(lnx)^{2}}{x^{2}}[/mm]
> (NST=(1/0), TP(2/0,2) und Grenzwerte berechnen)
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> b) Es bezeichne g die von der 1.Achse verschiedene Tangente
> vom Koordinatenursprung O(0;0) aus an den Graphen von f.
> Gib eine Gleichung für g an, und berechne den Inhalt der
> vom Graphen von f und der Tangente eingeschlossenen
> Fläche.
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> --> Wie berechne ich g.?g ist ja eine Tangente! Muss ich
> also die Gleichung einer Tangenten ausrechnen? Aber dass
> funktioniert doch nicht, da ich doch nur weiß dass (0/0)
> auf der Tangenten liegt und ein anderer Punkt der Funktion.
> Die Steigung der Tangente f'(0)--> ergibt jedoch keine
> Lösung, da die Funktion für 0 nicht definiert ist. Also wie
> müsste ich dann vorgehen?
>
> Würde mich freuen, wenn ihr mir hilft.
>
>
> Danke euch,
> lieben Gruß.
Hallo,
du hst zwei Möglichkeiten:
1) du berechnest die Tangentengleichung für jeden beliebigen Kurvenpunkt (in Abhängigkeit von seiner x-Koordinate) und schaust abschließend, für welche x diese Tangente eine Ursprungsgerade ist.
2) Jede Ursprungsgerade hat die Form y=mx. Wenn sie Tangente an einem Punkt [mm] P(x_1|y_1) [/mm] ist, beträgt der Anstieg (in diesem speziellen Steigungsdreieck) [mm] \bruch{y_1}{x_1}.
[/mm]
Dein Ansatz ist dann [mm] f'(x)=\bruch{\bruch{(lnx)^{2}}{x}}{x}
[/mm]
Gruß Abakus
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Danke, deinen Ansatz habe ich nachvollziehen können,
aber warum ist jetzt [mm] f'(x)=\bruch{(lnx)^{2}}{x}
[/mm]
Danke nochmals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 So 16.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich nehme mal an, dass deine Ableitung f'(x) korrekt ist.
Du suchst also den Punkt, an dem deine Tangente den Graphen von f berührt.
Für den Punkt muss gelten: Steigung in dem Punkt, also dein f'(x) ist gleich der Steigung der Tangente, die du auch duch das Steigungsdreick $m=y(x)/x$ gegeben ist. Ist dir der Gedanke klar?
Dann weist du, dass y(x)=f(x)= deine Funktion ist. Und das ist genau das, was abakus gleich f'(x) gesetzt hat. Diesen Term setzt du mit deiner Ableitung gleich, und dann erhälst du mindestens ein x, für das f'(x)=m gilt.
Ist dir das Vorgehen klar?
Also: Sei [mm] x_0 [/mm] die Stelle, an der die gesuchte Tangente den Graphen von f berührt. Dann kannst du einmal die Steigung der Tangente als [mm] f'(x_0) [/mm] schreiben. du setzt also [mm] x_0 [/mm] in dein errechnetes [mm] f'(x_0) [/mm] ein.
Dann kannst du aber genauso gut über das Steigungsdreick gehen, das in deinem Spezialfall als [mm] m=y(x_0)/x_0 [/mm] geschrieben werden kann (da du ja weist, dass der zweite Punkt der Ursprung ist). Also setzt du für y(x)=f(x) ein. f(x) kennst du. Dann teilst du nochmal druch x, und hast einen zweiten Ausdruck für die Steigung der Tangente. Dann mit [mm] f'(x_0) [/mm] gleichsetzen und nach [mm] x_0 [/mm] auflösen. Dann bekommst du die Stelle, an der die gesuchte Tangente den Graphne berührt.
Ist das jetzt klarer? Jetzt solltest du auch verstehen, warum abakus das f'(x) so gesetzt hat.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Realbarca |
Danke für die ausfürliche Erklärung. Jetzt hats bei mir geklingelt ;)...
Schönen Gruß
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Ich hätte noch eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe mit derselben Funktion, nur diesmal in Form einer Funktionenschar.
Für k [mm] \in \IR [/mm] sei die Funktionenschar fk [mm] (x)=\bruch{(lnx)^2}{x^k}, [/mm] x>0.
Untersuche das Verhalten von fk(x) für x [mm] \to [/mm] 0 bzw. [mm] x\to \infty [/mm] in Abhängigkeit von k [mm] \in \IR [/mm] . Begründe (ohne Differentialrechnung), daß alle Graphen der Funktionen fk auf der 1. Achse einen Tiefpunkt haben. Bestimme die Ortslinie aller Hochpunkte.
--> Muss ich mithilfe dem Verhalten gegen 0 bzw. gegen [mm] \infty [/mm] herausfinden, ob alle Graphen der Funktionen einen Tiefpunkt haben?
Aber wie geht dass ohne zu rechnen?
-->Und was ist mit der Ortslinie aller Hochpunkte gemeint? ;(
Danke im Vorraus! ;)
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Hallo! 
> Ich hätte noch eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe mit
> derselben Funktion, nur diesmal in Form einer
> Funktionenschar.
>
> Für k [mm]\in \IR[/mm] sei die Funktionenschar fk
> [mm](x)=\bruch{(lnx)^2}{x^k},[/mm] x>0.
>
> Untersuche das Verhalten von fk(x) für x [mm]\to[/mm] 0 bzw. [mm]x\to \infty[/mm]
> in Abhängigkeit von k [mm]\in \IR[/mm] . Begründe (ohne
> Differentialrechnung), daß alle Graphen der Funktionen fk
> auf der 1. Achse einen Tiefpunkt haben. Bestimme die
> Ortslinie aller Hochpunkte.
>
> --> Muss ich mithilfe dem Verhalten gegen 0 bzw. gegen
> [mm]\infty[/mm] herausfinden, ob alle Graphen der Funktionen einen
> Tiefpunkt haben?
> Aber wie geht dass ohne zu rechnen?
Du kannst dir überlegen, dass bei [mm] x_0=1 [/mm] eine Nullstelle vorliegt, aber die Funktion selber nicht negativ wird, denn [mm] (ln(x))^2\ge0 [/mm] und [mm] x^k\ge0, [/mm] da x>0. Was muss dann [mm] x_0 [/mm] sein?
> -->Und was ist mit der Ortslinie aller Hochpunkte gemeint?
> ;(
>
Da du hier eine Funktionsschar hast, hängt der Hochpunkt gegebenfalls vom Scharparameter k ab. Eine Ortslinie ist nun die Funktion auf der alle Hochpunkte der Schar liegen.
Also fange erstmal an, indem du den Hochpunkt ausrechnest (mit Differentialrechnung).
> Danke im Vorraus! ;)
Gruß Patrick
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Hallo, danke für deine Mühe.
Was eine Ortslinie ist hab ich jetzt verstanden! Aber ich habe immer noch Probleme nachzuvollziehen, was du mit x=1 meinst. Das ist doch die Nullstelle, aber ich muss doch beweisen, dass alle Graphen der Funktion auf der x-Achse einen Tiefpunkt haben?
Ich wär dir sehr dankbar, wenn du das etwas einfacher erklären könntest. ;)
Gruß
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> Aber ich
> habe immer noch Probleme nachzuvollziehen, was du mit x=1
> meinst. Das ist doch die Nullstelle, aber ich muss doch
> beweisen, dass alle Graphen der Funktion auf der x-Achse
> einen Tiefpunkt haben?
Hallo,
Du betrachtest die Funktionenschar [mm] f_k [/mm] mit [mm] f_k(x):=\bruch{(\ln\ x)^2}{x^k}, [/mm] x>0.
Du hast festgestellt, daß alle Funktionen bei x=1 eine Nullstelle haben, dh. egal welche Funktion der Schar Du betrachtest, immer ist [mm] f_k(1)=0.
[/mm]
Was ist nun mit den Funktionswerten rechts und links der Stelle x=1?
Du kannst Dir überlegen, daß sie positiv sind. Also muß der Punkt (1/0) ein Tiefpunkt des Graphen sein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Di 18.03.2008 | | Autor: | Realbarca |
Ja danke, das hab ich nun auch verstanden!
Gruß
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