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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 So 17.02.2013 | | Autor: | maaran |
| Aufgabe | Es sei Z0 = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) die Menge der Grundzahlzeichen. Dann soll die Menge Z der Zahlzeichen die folgenden Bedingungen erfüllen:
Fur alle Zeichen x und y,
1. wenn x ist Element von Z0, dann x ist Element von Z;
2. wenn x ist Element von Z und y ist Element von Z, dann ist xy Element von Z;
3. Z ist die kleinste Menge, welche die Bedingungen 1. und 2. erfüllt.
(Konvention: Zahlzeichen der Form 0x (mit x ist ungleich 0) schreiben wir so hin: x. Diese Konvention dürfen Sie beliebig oft anwenden!)
Aufgaben:
1. Finden Sie zunächst zwei Mengen, die die Bedingungen 1. und 2. erfüllen.
2.Überlegen Sie sich dann, warum es unendlich viele Mengen gibt, welche diese beiden Bedingungen erfüllen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vorschlag für Aufgabe 1:
M1=(1,2,3)
M2=(1,2,3,11,12,13,21,22,23,31,32,33)
Mir geht es mehr um die Lösung der Aufgabe 2., welche anscheinend begründet, weshalb der Zusatz der Bedingung 3 ("die kleinste Menge, die die vorherigen Bedingungen erfüllt") notwendig ist. Ich bin mir bei der Ausflösung nicht so ganz sicher, ob ich das erfasst habe.
Ist damit der Schnitt aller möglichen Mengen gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 So 17.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei Z0 = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) die Menge der
> Grundzahlzeichen. Dann soll die Menge Z der Zahlzeichen die
> folgenden Bedingungen erfüllen:
>
> Fur alle Zeichen x und y,
> 1. wenn x ist Element von Z0, dann x ist Element von Z;
>
> 2. wenn x ist Element von Z und y ist Element von Z, dann
> ist xy Element von Z;
>
> 3. Z ist die kleinste Menge, welche die Bedingungen 1. und
> 2. erfüllt.
>
> (Konvention: Zahlzeichen der Form 0x (mit x ist ungleich 0)
> schreiben wir so hin: x. Diese Konvention dürfen Sie
> beliebig oft anwenden!)
>
> Aufgaben:
> 1. Finden Sie zunächst zwei Mengen, die die Bedingungen
> 1. und 2. erfüllen.
>
> 2.Überlegen Sie sich dann, warum es unendlich viele Mengen
> gibt, welche diese beiden Bedingungen erfüllen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Vorschlag für Aufgabe 1:
> M1=(1,2,3)
> M2=(1,2,3,11,12,13,21,22,23,31,32,33)
Diese Mengen leisten beide nicht, was sie leisten sollen.
Bedingung 1 sagt doch, dass [mm] Z_0 [/mm] Teilmenge der gesuchten Menge sein soll.
>
> Mir geht es mehr um die Lösung der Aufgabe 2., welche
> anscheinend begründet, weshalb der Zusatz der Bedingung 3
> ("die kleinste Menge, die die vorherigen Bedingungen
> erfüllt") notwendig ist. Ich bin mir bei der Ausflösung
> nicht so ganz sicher, ob ich das erfasst habe.
> Ist damit der Schnitt aller möglichen Mengen gemeint?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 17.02.2013 | | Autor: | maaran |
Ok, neuer Versuch
Aufgabe 1:
x = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
M1= (0,....,99)
x= (0,...,9)
y= (0,...,99)
M2= (0,...,999)
Ist das richtig?
Aufgabe 2
Warum gibt es unendlich viele Mengen? Siehe oben, y ist nicht auf eine Menge festgelegt, daher können unterschiedliche xy-Elemente enstehen.
Heißt das nun, dass die kleinste Menge Z0 ist?
Welchen Zweck hat dann überhaupt hier der Zusatz der Bedingung 3?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 17.02.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo maaran!
> Ok, neuer Versuch
>
> Aufgabe 1:
> x = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
> y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
> M1= (0,....,99)
>
> x= (0,...,9)
> y= (0,...,99)
> M2= (0,...,999)
>
> Ist das richtig?
Nein. Ich glaube, du hast die Aufgabe nicht richtig verstanden...
Aus 1. folgt, dass die Menge [mm]Z_0=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}\subset Z[/mm] in [mm]Z[/mm] enthalten sein muss.
Das erfüllen deine zwei Mengen zwar, aber...
2. besagt, dass die "Zusammensetzung" zweier beliebiger Elemente von [mm]Z[/mm] wieder in [mm]Z[/mm] liegen soll. Betrachte etwa [mm]x=15\in M_1[/mm] und [mm]y=3\in M_1[/mm] aus deiner Menge oben. Dann liegt [mm]xy=153\not\in M_1[/mm].
Zur Konstruktion einer Menge die 1. und 2. erfüllt nimm dir die Grundmenge $Z$ und nimm alle möglichen Zusammensetzung mit auf. Also etwa 12, 13, 58,... Die Zusammensetzungen der der zusammengesetzten Zahlen müssen dann auch dazugenommen werden (also z.B. 1213, 1312, 1358,...) usw.
Für eine andere Menge, nimm z.B. -1 mit auf und betrachte wieder alle möglichen Zusammensetzungen.
> Aufgabe 2
>
> Warum gibt es unendlich viele Mengen? Siehe oben, y ist
> nicht auf eine Menge festgelegt, daher können
> unterschiedliche xy-Elemente enstehen.
>
> Heißt das nun, dass die kleinste Menge Z0 ist?
> Welchen Zweck hat dann überhaupt hier der Zusatz der
> Bedingung 3?
Löse erstmal Teil 1, dann kommst du bestimmt auch auf hier zu einer Antwort.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:31 Mo 18.02.2013 | | Autor: | maaran |
Danke dir, Fulla! Ich habe es jetzt besser verstanden, doch verstehe ich dann nicht, weshalb die Bedingung 3 überhaupt benötigt wird.
Denn wenn Bed. 1 und 2 befolgt werden, entsteht doch nur eine Menge (nämlich die der natürlichen Zahlen N) und eben nicht unendlich viele Mengen, wenn die Regeln befolgt werden.
Schließlich muss ich Z0 komplett übernehmen und alle deren Zusammensetzungen xy. Daher gibt es doch keine Menge, die mehr oder weniger Elemente als N enthalten. Daher bräuchte ich doch gar keinen Zusatz der Bedingung 3, da es nicht unendlich viele Mengen gibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 18.02.2013 | | Autor: | maaran |
Ich habe noch einen kleinen Hinweis zu der Aufgabe 2 erhalten:
Die Abschlussklausel 3 ist wichtig, denn allein durch
1. wenn x Element von Z0 ist, dann x Element von Z,
und
2. wenn x Element von Z und y Element von Z, dann xy Element von Z,
wird KEINE BESTIMMTE MENGE de finiert.
Aber es wird doch eigentlich durch die ersten beiden Bedingungen genau eine bestimmte Menge (nämlich die Menge der natürlichen Zahlen) definiert oder?
Ich verzweifele langsam an einer Sache, die zunächst so einfach schien...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mi 20.02.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
> Ich habe noch einen kleinen Hinweis zu der Aufgabe 2
> erhalten:
>
> Die Abschlussklausel 3 ist wichtig, denn allein durch
> 1. wenn x Element von Z0 ist, dann x Element von Z,
> und
> 2. wenn x Element von Z und y Element von Z, dann xy
> Element von Z,
>
> wird KEINE BESTIMMTE MENGE de finiert.
>
> Aber es wird doch eigentlich durch die ersten beiden
> Bedingungen genau eine bestimmte Menge (nämlich die Menge
> der natürlichen Zahlen) definiert oder?
> Ich verzweifele langsam an einer Sache, die zunächst so
> einfach schien...
Wenn du nur von [mm]Z_0[/mm] ausgehst, landest du bei den natürlichen Zahlen.
Aber wenn du z.B. [mm]Z_0\cup\{-1\}[/mm] als Anfangsmenge hernimmst, bekommst du eine andere (größere) Menge, nämlich die natürlichen Zahlen und alle Zahlen, die mit -1XYZ beginnen. So habe ich die Aufgabe jedenfalls verstanden, wobei hier fraglich ist, ob z.B. 56-173 eine sinnvolle Kombination ist und etwa zu -56173 wird...
Daran, dass mit xy die Multiplikation gemeint ist, wie HJKweseleit erwähnt hat, hab ich auch schon gedacht. Aber aufgrund der Notation 0x, was ja als x zu lesen ist, bin ich von der Zusammensetzung ausgegangen.
Mit der multiplikativen Auffassung bekommst du (wenn du von [mm]Z_0[/mm] ausgehst) die Menge [mm]\mathbb N_0\setminus\{\text{alle Primzahlen}> 7\text{ und deren Potenzen/Produkte}\}[/mm].
Hier kannst du durch hinzufügen von Primzahlen >7 oder auch wieder mit negativen Zahlen größere Mengen konstruieren.
Lieben Gruß,
Fulla
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Wenn die Aufgabe so gemeint ist, wie sie beschrieben wird, nämlich dass mit xy die Aneinanderreihung von Ziffern gemeint ist, dann ist sie ziemlich unsinnig:
Da die Ziffern von 0 bis 9 zu der Menge gehören müssen (1.) und jede Kombination der bisherigen Elemente, entstehen somit alle Zahlen. Wegen 4 und 7 die 47, wegen nun 47 und 1 die 471 und wegen nun 471 und 1 echt Köllnisch Wasser 4711.
Falls wir uns nun aber ins 11-er-System begeben, fehlen natürlich alle Zahlen, die in ihrer Darstellung irgendwo die Ziffer A mit dem Wert 10 haben. Entsprechend im 12-er-System alle Zahlen, die irgendwo eine Ziffer A mit Wert 10 oder B mit Wert 11 haben usw. - falls wir diese Ziffern nicht mit in Z packen, aber Z soll ja minimal sein.
Obwohl das offenbar der Aufgabenstellung widerspricht - insbesondere der Erläuterung mit 0x - könnte man die Aufgabe auch so auffassen, dass mit xy das Produkt von x und y gemeint sein soll. In diesem Falle wird es interessant:
mit 2 muss dann auch [mm] 2*2=2^2 [/mm] dabei sein und deswegen auch [mm] 2*2*2=2^3 [/mm] usw., kurz: alle [mm] 2^n, [/mm] ebenso alle [mm] 5^n (4^n [/mm] sind schon durch die [mm] 2^n [/mm] erfasst), und alle [mm] 7^n [/mm] sowie alle Produkte daraus, kurz: Alle nat. Zahlen, die sich in Primfaktoren aus 2,3,5 und 7 zerlegen lassen. Jetzt wären 13 oder 33 nicht dabei.
Diese Menge hätte unendlich viele Elemente, ließe sich aber durch fortlaufende Zunahme einer weiteren Primzahl (oder einen Austausch) erweitern bzw. verändern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Di 19.02.2013 | | Autor: | chrisno |
Die Bedingung, das Z minimal sein soll, soll für die Aufgabe erst einmal nicht gelten. So lese ich das.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:47 Do 21.02.2013 | | Autor: | maaran |
Danke euch allen! Danke besonders für den wichtigen Hinweis mit den Zahlensystemen! Es sind die unterschiedlichen Zahlensysteme als Mengen gemeint, worauf ich gar nicht gekommen wäre. Es entstehen unendliche viele Mengen durch die unterschiedlichen Zusammensetzungen der Zahlensysteme beginnend mit dem 10er-System.
So würden unendlich viele Mengen entstehen und der Schnitt all dieser Mengen ist das Zehnersystem!
Übrigens als Zusatz zu den Antworten:
- negative Elemente sind nicht möglich, da in Z0 und somit auch in Z keine negativen Elemente enthalten sind und damit auch nicht bei einer Zusammensetzung von x und y entstehen können
- es ist die Zusammensetzung mit xy und nicht die Multiplikation gemeint
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Do 21.02.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo maaran,
> Danke euch allen! Danke besonders für den wichtigen
> Hinweis mit den Zahlensystemen! Es sind die
> unterschiedlichen Zahlensysteme als Mengen gemeint, worauf
> ich gar nicht gekommen wäre. Es entstehen unendliche viele
> Mengen durch die unterschiedlichen Zusammensetzungen der
> Zahlensysteme beginnend mit dem 10er-System.
>
> So würden unendlich viele Mengen entstehen und der Schnitt
> all dieser Mengen ist das Zehnersystem!
>
> Übrigens als Zusatz zu den Antworten:
> - negative Elemente sind nicht möglich, da in Z0 und
> somit auch in Z keine negativen Elemente enthalten sind und
> damit auch nicht bei einer Zusammensetzung von x und y
> entstehen können
Aber die Zahl A (im 11er-System) ist ja auch nicht in Z0.
Oder verstehe ich das falsch und z.B. im 11er-System ist [mm]Z_0=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A\}[/mm]?
> - es ist die Zusammensetzung mit xy und nicht die
> Multiplikation gemeint
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Fr 22.02.2013 | | Autor: | chrisno |
Hallo Fulla
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> Aber die Zahl A (im 11er-System) ist ja auch nicht in Z0.
Soll sie auch nicht sein. Gefordert ist nur, dass [mm]{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \in Z[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Fr 22.02.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
> Hallo Fulla
> >
> > Aber die Zahl A (im 11er-System) ist ja auch nicht in Z0.
> Soll sie auch nicht sein. Gefordert ist nur, dass
> [mm]{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \in Z[/mm]
Und wie unterscheidet sich dann die Menge, die man im 11er-System konstruiert von den natürlichen Zahlen? Die Elemente sind ja jeweils gleich...
Ich verstehe die Aufgabe so, dass mindestens [mm]Z_0=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\subset Z[/mm] sein muss. Durch die ganzen Kombinationen entsteht so [mm]Z=\mathbb N[/mm].
Es ist doch aber nicht verboten das 11er-System zu Grunde zulegen und mit [mm]Z_0^\prime:=Z_0\cup\{A\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A\}[/mm] zu beginnen. So konstruiert man die Menge [mm]Z^\prime=\mathbb N_{11}[/mm] (das sollen die "Natürlichen Zahlen im 11er-System" sein).
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Fr 22.02.2013 | | Autor: | chrisno |
Es ist nicht die Menge der natürlichen Zahlen, sondern die Menge "Zahlzeichen".
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