Logistisches Wachstum? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Di 11.01.2011 | | Autor: | Tobiii |
| Aufgabe 1 | | Ein Raum, der [mm] 30m^3 [/mm] Luft enthält, sei anfangs, d.h. zum Zeitpunkt t=0, frei von Kohlenmonoxyd. Vom Zeitpunkt t=0 an werde Zigarettenrauch, der 4% CO enthalte, mit einer Rate von 3 Litern/Sekunde in den Raum geblasen. Das Gemisch verlasse gut durcheinandergewirbelt den Raum mit der selben Rate. Wir bezeichnen mit f(t) die CO-Menge in Litern in diesem Raum zum Zeitpunkt t [s]. Es sei also f(0)=0. |
| Aufgabe 2 | | (a) Angenommen, die CO-Menge f(t) zu einem gegebenen Zeitpunkt t ist bekannt. Wie groß ist dann in etwa die CO- Menge nach einer sehr kurzen Zeit Delta T, d.h. wie kann f(t+delta t) approximiert werden? |
| Aufgabe 3 | | (b) Leiten Sie aus der ungefähren Gleichung aus Teil a eine Differentialgleichung für f her, indem Sie die Gleichung aus a zunächst so umformen, dass sie einen Differentialquotienten für f enthält, und dann delta t gegen Null gehen lassen. |
| Aufgabe 4 | (c) Verifizieren Sie durch Einsetzen, dass f(t)=1200(1-e^(-10^(-4)t))
die in Aufgabe b aufgestellte Differentialgleichung mit Anfangsbedingung f(0)=0 löst |
| Aufgabe 5 | | (d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die CO-Konz. in diesem Raum bei 0.012% liegt. |
Hallo, habei ein Problem beim Lösen der oberen Aufgabe, leider weis ich nicht mal, ob ich hier richtig gelandet bin. Aber es scheint, als ginge es um ein logistisches Wachstum, welches mit der Verhulst-Gleichung zu lösen ist (da Wachstumsfunktion mit Kapazitätsbeschränkung).
Mir gehts eigentlich hauptsächlich um die Aufgabe (a), die anderen habe ich nur zur Vollständigkeit aufgeschrieben.
Wie auch immer, ich versuche gerade einen Lösungsansatz für diese a- Aufgabe zu finden.
Liege ich da mit der Verhulst-Gleichung richtig?
f'(t)=af(t)(K-f(t)) , K=Kapazität.
Wenn ich jetzt f(t) aufstelle komme ich auf die Funktion:
f(t)=e^(lambda*t).
lambda (=L) = 0.12 (da 4% von 3Litern 0.12Liter sind)
t= Zeit in Sekunden
K= [mm] 30m^3
[/mm]
Also komme ich auf eine Approximation von:
f'(t)=a*e^(0.12t) (30-e^(0.12t)
ist das richtig, irgendwie hab ich ein saumäßig schlechtes Gefühl bei dieser Lösung!
Vielleicht weiß ja jemand ob das so stimmt, oder wo der Fehler liegt! Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tobii,
es handelt sich bei dieser Aufgabe nicht um logistisches Wachstum, sondern um beschränktes Wachstum - die Ingenieure nenne so etwas eine Sättigungsfunktion.
Wirf doch einmal einen Blick in das Schulbuch "Elemente der Mathematik"; in den Analysis-Band (LK) aus dem Schroedel-Verlag. Über deine städtische Bücherei oder über die Fernleihe. Da sind einige Wachstumstypen und ihre jeweiligen Differentialgleichungen mit Lösungen aufgeführt.
Ich nenne die Funktion einmal V(t) - Volumen des Kohlenmonoxids in Litern als Funktion der Zeit.
Dann hast Du einmal den Zuwachs von V(t):
+ $\frac{40 \; ml \ CO}{1\ Liter \ Luft}*3\ \frac{Liter \; Luft}{sec.} \; = \; 120 \frac{ml}{s} \; CO \; = \; 0,12 \; \frac{l}{s}$
und die Abnahme der wohlgemischten Luft:
- $\frac{V(t) \; Liter}{30.000 \; Liter}*3 \; \frac{Liter}{sec.} \; = \; V(t)*10^{-4} \; \frac{l}{s}$
Deine DGL heißt dann:
$ \dot V \; = 0,12 \; \frac{l}{s}-\frac{V(t)}{10^4} \; \frac{l}{s}$
$ \frac{dV}{dt}= 0,12 \; \frac{l}{s}-V(t)*10^{-4} \; \frac{l}{s}$
Lösung durch Trennung der Variablen:
$\int \frac{1}{0,12-V(t)*10^{-4}} \; dV = \int dt$
$-10^4*ln|0,12-V(t)*10^{-4}|=t+ln|C'|$
$ln|0,12-V(t)*10^{-4}|=-0,0001*t+ln|C|$
$0,12-V(t)*10^{-4}=C*e^{-0,0001*t}$
$V(t)*10^{-4}=0,12 \; \frac{l}{s}-C*e^{-0,0001*t} $
$V(t)=1200 \; l-C*10^4*e^{-0,0001*t}$
$V(t=0) \; = \; 0$
$V(t)=1200 \; l *\left(1-e^{-0,0001*t} \right )$
Die DGL des logistischen Wachstums ist hingegen:
$ \dot V \; = r*V(t)*(S-V(t))$
mit S = obere Schranke des Wachstums.
Die Lösung wäre hier (über eine Partialbruchzerlegung):
$V(t) \; = \; \frac{A*S}{A+(S-A)*e^{-r*G*t}}$
mit A = Anfangskonzentration bei t=0 (bzw. eine Anfangspopulation bei t=0).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Tobiii |
Hallo,
velen Dank für Deine Antwort, hat mir sehrt weitergeholfen!!!!!!
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