Lokal invertierbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:52 So 13.06.2004 | | Autor: | Sonnenschein |
Hallo Leute!
Bräuchte da mal eure Hilfe!
Es sei f:IR²->IR², (x,y) |->(x²-y²,2xy). Zeige: f ist an jeder Stelle (x,y) ungleich (0,0) lokal invertierbar, nicht aber bei (0,0)
Danke im Voraus!
Lg
Sonnenschein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 So 13.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sonnenschein,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es sei f:IR²->IR², (x,y) |->(x²-y²,2xy). Zeige: f ist an
> jeder Stelle (x,y) ungleich (0,0) lokal invertierbar,
> nicht aber bei (0,0)
Lokal invertierbar heisst doch, dass das totale Differential [mm] $D_f$ [/mm] bijektiv ist.
Da das totale Differntial eine Matrix ist, kann die Bijektivität bequem über die Determinante überprüft werden: [mm] $D_f$ [/mm] bijektiv [mm] $\gdw$ $\det D_f\not=0$.
[/mm]
Hilft dir das schon weiter, oder sollen wir erst noch ein paar der Begriffe klären?
Schreib' uns doch mal deine weiteren Lösungsversuche oder ggfs. das Ergebnis zur Kontrolle.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Marc!
Also, erst einmal danke für die liebe Begrüßung und deine Hilfe :) und jetzt zu meiner Aufgabe:
Habe jetzt mal die totale Differenz berechnet und bin auf folgendes gekommen:
[mm] D\-{f} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
2x & -2y \\
2y & 2x
\end{pmatrix} [/mm]
Hab jetzt aber noch ein Problem wie ich zeigen kann, dass das bijektiv ist.
Weiters habe ich noch die Determinante berechnet:
det [mm] D\-{f} =\begin{vmatrix}
2 x & -2y \\
2y & 2x
\end{vmatrix} [/mm]
det [mm] D\-{f}=4x²+4y² [/mm] und daraus foglt, dann dass f überall lokal invertierbar ist außer in (0,0), oder????
Ich hoffe das stimmt so halbwegs!
Viele liebe Grüße
Sonnenschein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sonnenschein!
> Habe jetzt mal die totale Differenz berechnet und bin auf
> folgendes gekommen:
> [mm] D\-{f} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix} [/mm]
> Hab jetzt aber noch ein Problem wie ich zeigen kann, dass
> das bijektiv ist.
Das machst du mit der Determinante:
> Weiters habe ich noch die Determinante berechnet:
>
> det [mm] D\-{f} =\begin{vmatrix} 2 x & -2y \\ 2y & 2x \end{vmatrix} [/mm]
> det [mm] D\-{f}=4x²+4y² [/mm] und daraus foglt, dann dass f überall
> lokal invertierbar ist außer in (0,0), oder????
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $D_f$ [/mm] invertierbar [mm] $\gdw$ $\det D_f\not=0$ $\gdw$ $4x²+4y²\not=0$ $\gdw$ $x^2+y^2\not=0$ $\gdw$ $(x,y)\not=(0,0)$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Mal ne Frage zur lokalen Invertierbarkeit:
Irgendwie hängen wir mit der VL zurück oder ich habs verpeilt, aber das mit der Determinante als Beweis hab ich noch nich gehört irgendwie... vielleicht kommts auch noch, im Script find ich es aber spontan nich.
Wo finde ich diesen Zusammenhang anschaulich dargestellt oder kann mir jemand kurz den Ansatz dafür skizzieren?
Danke, Euer Micha!
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http://www-irm.mathematik.hu-berlin.de/~baum/Skript/kapitel6.ps