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| Aufgabe | Sei [mm] f_{a,b} (x,y)=(x^2+y^2)^2+a(x^2+y^2)+bx
[/mm]
Bestimmen sie für alle Parameterwerte a,b [mm] \in [/mm] R die jeweiligen lokalen Minima von [mm] f_{a,b} [/mm] |
Ich habe den Gradient gebildet und die zwei Gleichung die dabei rauskommen Null gesetzt. Die erste Gleichung (partielle Ableitung nach x)habe ich nach y aufgelöst und ich bekomme: [mm] y=\wurzel{-x^2-0,5a-b/4x} [/mm] raus. setzte ich dieses y in die zweite Gleichung ein, so erhalte ich eine Gleichung in Abhängigkeit von x, a und b. Diese lautet:
[mm] 2x^3+ax+0,5b=0 [/mm] wobei ich vorher schon gesagt habe, das Null nicht Null sein darf.
Wie löse ich die Gleichung nach x auf? Oder gibt es sonst noch eine Möglichkeit die Minima herauszufinden? Vielleicht gleich mit den 2. Ableitungen?
Hoffentlich kann jemand helfen! Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Do 06.06.2013 | | Autor: | hippias |
Ich wuerde hier mit der partiellen Ableitung nach $y$ anfangen: darin kann man $y$ ausklammern, sodass sich eine Fallunterscheidung ergibt. Unter anderem haengt die Loesung davon ab, ob $a$ positiv oder negativ ist.
Zweite Ableitungen habe ich nicht berechnet, aber es koennte durchaus ein, dass das etwas hilft, weil die Minima gesucht sind: vielleicht brauchen eigentlich schwierige Faelle dann gar nicht beruecksichtigt werden.
P.S. Das Problem hat nichts mit partiellen DGL zu tun.
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Danke =)
ich hab jetzt mal nach y aufgelöst, das in die andere Gleichung eingesetzt und die Hesse Matrix geschrieben. Wenn ich wissen möchte, für welche a und b diese positiv definit ist muss ich ja erst (x y)* Hesse Matrix und dann das Ergebnis als Skalarprodukt mit {x [mm] \choose [/mm] y} ausrechnen. Dabei kommt bei mir raus: [mm] x^2(-4a-8-b/(\wurzel{-1-0,5a}))+8xy\wurzel{-1-0,5a+1,5ba/4(\wurzel{-1-0,5a})}+8xy\wurzel{-1-0,5a+1,5ba/ \4 (\wurzel{-1-0,5a}}+y^2(8-3b/ \wurzel{-1-0,5a})
[/mm]
Wie sehe ich jetzt, wann das ganze positiv ist? Ich könnte die Klammern nach dem [mm] x^2 [/mm] und nach dem [mm] y^2 [/mm] positiv setzen, aber selbst dann, könnte durch x und y positiv bzw negativ ja noch keine Aussage für den mittleren Teil gemacht werden. Wie gehe ich vor??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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