Lokale oder Globale Extrema < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
| Aufgabe | Bestimmen sie die lokalen und die globalen Extremwerte der funktion f im Intervall [ -4 ; 4 .
Klären sie welche Extrema Minima und welche Maxima sind.
a) f(x) = x³-6x²+9x-5
b) f(x) = x²/4 - 4/x |
Hi Leute,
also bei a) habe ich Minima 3/-5 und Maxima 1/-1 ausgerechnet.
aber ich verstehe das überhaupt nicht mit den globalen / lokalen extrema?
Kann mir das jemand erklären?
Naja und zu b) da habe ich gar keinen Plan wie die Ableitung sein soll und wie man alles ausrechnet?
Könntet ihr mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Bei einer Funktion f liegt an einer Stelle [mm] x_{0} [/mm] anschaulich ein lokales Maximum vor, wenn sowohl die Funktionswerte links als auch rechts in der Nähe von [mm] x_{0} [/mm] alle zunächst kleiner sind als [mm] f(x_{0}). [/mm] (Minimum-Definition ist analog mit "größer"). Eine Funktion kann also viele lokale Extrema haben. Die Sinusfunktion hat zum Beispiel haufenweisen lokale Extrema, immer bei [mm] \pi/2, 3\pi/2, [/mm] ....
Ein globales Maximum M(x,y) einer Funktion f in einem Intervall ist der Punkt, bei welchem die Funktion den größten Funktionswert annimmt, das braucht noch nichtmal ein Extrempunkt zu sein! An der ersten Funktion kann man verdeutlichen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei den Punkten C und D handelt es sich um lokale Extrempunkte, C ist ein lokales Maximum, D ein lokales Minimum. Die Extrema C und D erfüllen die Eigenschaften eines Extrempunkts, weil die Funktionswerte links und rechts von Ihnen entsprechend kleiner oder größer sind.
Das globale Maximum der Funktion f liegt nun gleich an zwei Stellen der Funktion:
- Einmal bei P(4|f(4)), weil wir die Funktion nur im Intervall von -4 bis 4 betrachten sollen und sie bei x = 4 den größten y-Wert annimmt, nämlich -1.
- Andererseits ist auch das lokale Maximum bei (1|-1) ein globales Maximum der Funktion f, weil es auch den größtmöglichen Funktionswert -1 hat.
Entsprechend liegt, wie man leicht sehen kann, das globale Minimum der Funktion nicht beim lokalen Minimum D, sondern bei P(-4|f(-4)), dort nimmt die Funktion im Intervall von -4 bis 4 nämlich den kleinsten Funktionswert an.
Wenn man keinen Taschenrechner zur Hand hat um die Graphen zeichnen zu lassen, geht man bei einer solchen Bestimmung von lokalen und globalen Extrempunkten folgendermaßen vor:
- Lokale Extrempunkte sind grundsätzlich alle, welche du durch die Bedingung f'(x) = 0 und [mm] f''(x)\not= [/mm] 0 herausgefunden hast.
- Die lokalen Extrempunkte können im vorgegebenen Intervall durchaus auch globale Extrempunkte sein, allerdings musst du nun noch die Randpunkte des Intervalls untersuchen. Du musst also einmal f(linker Randpunkt) und einmal f(rechter Randpunkt) berechnen und die Werte noch mit den y-Werten deiner herausgefundenen lokalen Extrempunkte vergleichen. Sind sie größer, dann sind an den Randpunkten die globalen Extrempunkte.
Viele Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
Und wie kann ich bei b) die Ableitung bilden?
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Hallo deaksen!
Forme um zu:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2}{4}-\bruch{4}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*x^2-4*x^{-1}$$
[/mm]
Nun die  Potenzregel vewenden ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
dann wäre also f'(x) = 0,5 x +4?
ist das richtig
bin irgendwie richtig überfordert :(
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> dann wäre also f'(x) = 0,5 x +4?
> ist das richtig
Hallo,
nein, das ist falsch.
Schau Dir an, wie Roadrunner Deine Funktion als Summe von x-Potnzen geschreiben hat, und wende stur die Potenzregel an.
Beschränken wir uns erstmal aufs Wesentliche:
Sei [mm] g(x)=x^{-1}.
[/mm]
Nun leite das mal fein sachte mit der Potenzregel ab.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
8x / 16 + 4 / x2
ist das richtig?
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Hallo deaksen!
Ich weiß zwar nicht, wo Du hier die 8 und die 16 herzauberst ... ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Aber wenn man noch kürzt, ist das Ergebnis korrekt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
wenn ich f'(x) 0 setze bekomme ich x = -2
ist das das einzigste extremwert?
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Hallo deaksen!
> wenn ich f'(x) 0 setze bekomme ich x = -2
>
> ist das das einzigste extremwert?
"der einzige Extremwert", bitte!
Ja, das ist der einzige Kandidat für ein lokales Extremum. Zur Überprüfung, ob es sich auch um ein globales Extremum handelt, muust Du diesen Funktionswert sowie an den Definitionsrändern berechnen und vergleichen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
also wäre der Extremwert: f(-2)=3 und ein Minima oder habe ich das falsch ausgerechnet?
ist die die 2. Ableitung so richtig?
f''(x) = 2 / 4 - 8x / [mm] x^4?
[/mm]
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> also wäre der Extremwert: f(-2)=3 und ein Minima oder habe
> ich das falsch ausgerechnet?
Hallo,
ja, an der Stelle x=-2 hat die Funktion ein lokales Minimum, der zugehörige Funktionswert ist f(-2)=3, der zugehörigen Tiefpunkt ist der Punkt (-2/3).
Um zu entscheiden, ob es sich um ein globales Minimum handelt, mußt Du noch die Ränder des Definitionsbereiches anschauen.
>
> ist die die 2. Ableitung so richtig?
>
> f''(x) = 2 / 4 - 8x / [mm]x^4?[/mm]
Richtig ist das schon, allerdings würde man normalerweise schreiben: [mm] f''(x)=\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{8}{x^3}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
Danke :D
so eine Frage habe ich noch.
f(x)=2x³-14x²+4x+80
f'(x)=6x²-28x+4
So jetzt will ich die Extrempunkte rausfinden. Daher muss ich die p/q Formel nutzen nur irgendwie bekomme ich da übelste Brüche raus und mir kommt das irgendwie falsch vor?
f'(x)=6x²-28x+4 /:6
f'(x)=x²-4/2/3x+2/3
wenn man dann die pq Formel nutzen würde,
kommt am Ende für x1 ca 0,2 und für x2 ca 4,5 raus kann das hinhauen?
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> Danke :D
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> so eine Frage habe ich noch.
>
> f(x)=2x³-14x²+4x+80
>
> f'(x)=6x²-28x+4
>
> So jetzt will ich die Extrempunkte rausfinden. Daher muss
> ich die p/q Formel nutzen nur irgendwie bekomme ich da
> übelste Brüche raus und mir kommt das irgendwie falsch
> vor?
>
> f'(x)=6x²-28x+4 /:6
>
> [mm] f'(x)=x²-4\bruch{2}{3}x+2/3
[/mm]
>
> wenn man dann die pq Formel nutzen würde,
> kommt am Ende für x1 ca 0,2 und für x2 ca 4,5 raus kann das
> hinhauen?
Hallo,
das kommt hin.
Wenn man seinen Rechnungen nicht traut, kann man einfach mal [mm] f'(x)=x²-4\bruch{2}{3}x+2/3 [/mm] plotten und gucken, ob die Nullstellen so sind, wie errechnet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
Nur mal so ne Frage. Was ist plotten?
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> Nur mal so ne Frage. Was ist plotten?
Hallo,
zeichnen lassen, z.B. mit FunkyPlot oder
![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 Do 04.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
"Das globale Maximum der Funktion f liegt jedoch bei P(4|f(4)), weil wir die Funktion nur im Intervall von -4 bis 4 betrachten sollen und sie bei x = 4 den größten Wert annimmt, nicht beim lokalen Maximum C."
Ist hier das globale Maximum wirklich eindeutig und liegt in P(4/f(4))? Denn es gilt doch hier: f(4)=-1 aber auch im Punkt C f(1)=-1.
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Hallo kegel53,
du hast völlig recht, ich habs auch gemerkt. Also nach der Definition von Wikipedia eines globalen Maximums sind dann beide Punkte, also sowohl das lokale Maximum der Funktion als auch der Randpunkt P(4|f(4)) globale Extrema der Funktion f im Intervall [-4,4].
Danke für die Korrektur  , ich ändere es besser auch im Ausgangsartikel.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
So ich nochmal :D
also hoffe das habe ich jetzt richtig.
Ist das globale Minima bei 4/-1
und das maxima bei -4/-201????
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Hallo!
Ich vermute, es geht jetzt wieder um die Funktion
$f(x) = [mm] x^{3}-6*x^{2}+9*x-5$.
[/mm]
> Ist das globale Minima bei 4/-1
>
> und das maxima bei -4/-201????
Nicht ganz.
Erstens hast du Begriffe globales Minimum und globales Maximum vertauscht. Du hast ein globales Minimum bei (-4|-201). Und du hast ein "doppeltes" globales Maximum bei (4|-1) und (1|-1) = lokales Maximum. Bei beiden Punkten erreicht die Funktion ihren höchsten Funktionswert -1 in dem Intervall von -4 bis 4.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
Ich verstehe nicht warum man 2 globale Maximums hat?
einmal habe ich bei 4/-1 das globale Maxima
und bei 1/-1 das lokale Maxima
heißt das wenn das lokale maxima kleiner ist als das globale ist es automatisch ein zweites globales maxima?
Sorry für die ganzen Fragen aber das Thema ist echt für mich totales Neuland :(
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Hallo!
Ein globales Maximum einer Funktion f in einem Intervall [a,b] ist der höchste Punkt (d.h. der Punkt mit der größten y-Koordinate), welchen die Funktion f im Intervall [a,b] erreicht.
Deine Funktion f erreicht im Intervall [a,b] nun aber zweimal den maximalen y-Wert -1, nämlich einmal beim lokalen Maximum (1|-1) und einmal an der rechten Intervallgrenze (4|-1). Deswegen sind beide Punkte globale Maxima.
> heißt das wenn das lokale maxima kleiner ist als das
> globale ist es automatisch ein zweites globales maxima?
Nein, natürlich nicht. Aber hier ist das lokale Maximum zufällig genauso "hoch" wie der Funktionswert am rechten Intervallrand, deswegen müssen beides globale Maxima sein.
Viele Grüße, Stefan.
PS.:
Es heißt:
Ein Maximum / Minimum / Extremum
Mehrere Maxima / Maxima / Extrema
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> Ich verstehe nicht warum man 2 globale Maximums hat?
>
> einmal habe ich bei 4/-1 das globale Maxima
> und bei 1/-1 das lokale Maxima
>
> heißt das wenn das lokale maxima kleiner ist als das
> globale ist es automatisch ein zweites globales maxima?
Hallo,
ich weiß ja nicht, ob Du uns necken willst...
Jedenfalls bekomme ich beim Lesen Deines Textes Blitze in den Augen, und Ohren und Fußnägel rollen sich schneckenförmig.
Es heißt
ein Minimum, viele Minima.
Für Maximum und Extremum entsprechend:
Eselsbrücke: in der Einzahl -mum. Schließlich hast Du auch nur eine Mum.
Wenn Du es Dir nicht merken kannst, dann nimm halt Tielpunkt, Hochpunkt, Extremwert. Da blamierst Du Dich nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
Nein will niemanden necken oder ähnliches.
Nur mit geht die Berechnung durch den Kopf und nicht das ich aufpassen muss das ich mich richtig ausdrücken muss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 04.06.2009 | | Autor: | deaksen |
So und nochmal
bei Aufgabe b)
wäre f(4)=3
f(-4)=5 ----> globales Maxima
f(1)=-3,75 -----> globales Minima
ist das richtig so?
Gibt es eigentlich ne richtige Formel um Maxima/Minima auszurechen oder muss ich immer in f(x) einen Wert des Intervalls einsetzen?
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> So und nochmal
>
> bei Aufgabe b)
>
> wäre f(4)=3
> f(-4)=5 ----> globales Maximum
> f(1)=-3,75 -----> globales Minimum
>
>
> ist das richtig so?
Hallo,
es stimmen die Funktionswerte, aber globales Minimum und Maximum sind nicht richtig.
Möglicherweise liegt es daran, daß ich in einer meiner vorhergehenden Antworten einen unvollständigen Tip gegeben habe.
Deine Funktion hat ja eine Definitionslücke bei x=0, und das Verhalten der Funktion rechts und links von dieser Stelle muß man sich auch gut anschauen.
Berechne spaßeshalber mal
[mm] f(-\bruch{1}{1000}) [/mm] und [mm] f(\bruch{1}{1000}).
[/mm]
Diese Funktion hat kein globales Minimum und kein globales maximum.
>
> Gibt es eigentlich ne richtige Formel um Maxima/Minima
> auszurechen oder muss ich immer in f(x) einen Wert des
> Intervalls einsetzen?
Ich weiß jetzt nicht recht, was Du meinst. Worum genau geht es?
Wenn Du globale Extrema wissen willst von Funktionen, die über Intervallen mit Endpunkten definiert sind, mußt Du zusätzlich zu den ermittelten lok. Extremwerten die Funktionswerte an den Endpunkte einsetzen und vergleichen.
Solche Funktionen haben immer ein glob. Max und ein glob. Min.
Die vorliegende Funktion ist etwas anders: sie ist nämlich nicht über solch einem Intervalle definiert, sondern es ist ein Punkt, die 0, ausgenommen.
Deine Funktion besteht aus zwei getrennten "Zweigen".
Hier mußt Du noch schauen, was um die 0 herum geschieht.
Gruß v. Angela
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